3.3.2 抛物线的简单几何性质教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 人教A版 选择性必修第一册 教学设计-2026-2027学年 数学 高二

一、课型

课题

抛物线的简单几何性质

课型

新授课

课时：1

本节为高中数学人教A版选择性必修第一册第三章"圆锥曲线的方程"中"3.3.2 抛物线的简单几何性质"的新授课，安排1课时完成。

二、学习目标

1. 理解并掌握抛物线 （）的范围、对称性、顶点与离心率 这四项基本几何性质，能依据方程判断开口方向并求出焦点坐标与准线方程。

2. 经历从方程出发推导几何性质的过程，体会用代数方法研究曲线性质的数形结合思想，提升逻辑推理与数学抽象素养。

3. 能运用抛物线定义将焦点弦长 转化为 的形式，解决直线与抛物线相交的简单综合问题。

三、学情分析

学生在前节已学习抛物线的定义与标准方程，对 （）这一形式较为熟悉，并已具备从椭圆方程出发研究范围、对称性等几何性质的经验，为本节学习奠定了方法基础。

但学生对"以 代 判断对称性"的代数操作还不够熟练，容易将抛物线的对称轴与椭圆的长轴混淆；在焦点弦问题中，学生倾向于直接套用两点间距离公式，而忽视利用抛物线定义将 转化为 的数形结合方法，这是本节学习的主要障碍。

四、教学过程

1. 复习引入。教师在黑板上写出抛物线 （）的标准方程，提问学生该方程对应的焦点坐标与准线方程是什么。预设学生回答：焦点为 ，准线为 。教师追问：椭圆和双曲线都有范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，抛物线是否也有类似的性质？由此引出本节课题。

2. 范围探究。教师引导学生从方程 （）出发分析变量取值范围。因为 ，，所以 ；而 可取任意实数，即 。这表明抛物线上的点 均在 轴的右侧，开口方向与 轴正方向相同。当 的值增大时， 的值也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

3. 对称性与顶点探究。教师提问：将方程中的 换成 ，方程是否改变？预设学生回答：，方程不变。教师归纳：以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称；抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。教师继续引导：令 ，得 ，即抛物线和它的轴的交点为原点。抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，因此抛物线的顶点就是坐标原点。

4. 离心率探究。教师指出：抛物线上的点 与焦点 的距离和点 到准线的距离 的比 ，叫做抛物线的离心率，用 表示。由抛物线的定义可知 ，因此 。教师追问：椭圆离心率 ，双曲线 ，抛物线 ，三者有何区别？预设学生回答：抛物线离心率恒为1，不随 的变化而改变。

5. 焦点弦问题探究。教师给出教材中的典型问题：斜率为 的直线过抛物线 的焦点 ，与抛物线交于 、 两点，求 的值。教师引导学生利用定义推导：设 、，由 知 ，，，准线为 。由抛物线定义，，，于是 。教师追问 的来源，引导学生联立直线方程 与 ，整理得 ，由韦达定理得 。