25.2.3 因式分解法 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程——因式分解法”，通过“知识链接”回顾ab=0性质、提公因式法等旧知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解因式分解法原理并将一元二次方程转化为一次方程求解。 资料以分层探究（提公因式、整体提取、平方差公式）结合变式训练，典型例题与当堂检测覆盖易错点，培养学生运算能力和推理意识，帮助体会“降次”“转化”思想，提升自主学习与问题解决能力。

第二十五章　一元二次方程　25.2 解一元二次方程（第4课时）——因式分解法 【学习目标】 ① 理解并掌握用因式分解法解一元二次方程的原理：若两个因式乘积为 0，则 ab＝0 ⇔ a＝0 或 b＝0； ② 会根据方程特点，选用提公因式、平方差公式等方法将左边因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； ③ 体会“降次”与“转化”的数学思想，能灵活选择适当方法解一元二次方程。 【学习重难点】 重点：用因式分解法解一元二次方程（右边化为 0、左边因式分解、化归为一次方程）。 难点：根据方程特征选择恰当的因式分解方法；移项变形与符号处理（如提取公因式时的变号）。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 若 ab＝0，则 a＝________ 或 b＝________。 2. 方程 （x－1）（x－2）＝0 的两个根分别是 ＝________，＝________。 3. 用提公因式法分解因式： 　　(1) －5x ＝ x·________－5·________ ＝________； 　　(2) x（x＋1）－2（x＋1） ＝ (x＋1)·(________－________) ＝________。 【自主探究】 探究1　解形如 a＋bx＝0 的方程（先移项，再提公因式） 【例1】解下列方程： (1) －5x＝0： 　　解：提公因式，得 ________＝0， 　　∴ x＝0，或 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 (2) 5＝4x： 　　解：移项，得 ________＝0， 　　提公因式，得 ________＝0， 　　∴ x＝0，或 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 【变式1】解下列方程： (1) －2x＝0： 　　解：提公因式，得 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 (2) ＝6x： 　　解：移项，得 ________＝0， 　　提公因式，得 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 探究2　解含有公因式 （x＋m） 的方程（整体提取公因式） 【例2】解下列方程： (1) x（x＋1）－2（x＋1）＝0： 　　解：把 (x＋1) 看作公因式，提公因式得 ________＝0， 　　∴ x－2＝0，或 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 (2) （2x－3＝2x－3： 　　解：移项，得 （2x－3－________＝0， 　　提公因式 (2x－3)，得 ________＝0， 　　∴ 2x－3＝0，或 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 【变式2】解下列方程： (1) x（x－3）－2（3－x）＝0： 　　提示：3－x＝－(x－3)，原式＝x(x－3)＋________(x－3)＝0， 　　解得 ＝________，＝________。 (2) 3y(y－1)＝2y－2： 　　解：化为 3y(y－1)＝2(y－1)，移项，得 ________＝0， 　　提公因式，得 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 探究3　利用平方差公式 －＝（a＋b）（a－b） 解方程 【例3】解下列方程： (1) 4－121＝0： 　　解：因为 4＝(2x)²，121＝11²，用平方差分解，得 ________＝0， 　　∴ 2x＋11＝0，或 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 (2) （2x－1＝（3－x： 　　解：移项，得 （2x－1－________＝0， 　　用平方差公式，得 [(2x－1)＋(3－x)][(2x－1)－(3－x)]＝0， 　　化简得 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 【变式3】解下列方程： (1) －100＝0： 　　解：用平方差公式，得 ________＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 (2) （x－2＝（2x＋3： 　　解：移项得 （x－2－________＝0， 　　用平方差，得 ________＝0，化简为 (3x＋1)(－x－5)＝0， 　　∴ ＝________，＝________。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例A：解方程 （2x－3＝2x－3。 　　第一步：移项，得 ________＝0； 　　第二步：提公因式，得 ________＝0，∴ ＝________，＝________。 　 例B：解方程 （x－2＝（2x＋3。 　　第一步：移项，得 ________＝0； 　　第二步：平方差分解，得 ________＝0，∴ ＝________，＝________。 　 【当堂检测】 1. 方程 ＝2x 的根是（　　） 　　A. x＝2　　　B. x＝－2　　　C. ＝0，＝2　　　D. ＝0，＝－2 2. 已知三角形的两边长分别是 3 和 7，第三边长是方程 x（x－5）－10（x－5）＝0 的一个根，则该三角形的第三边长是________。 3. 解下列方程： 　　(1) 2y(2y－1)＝3－6y；　　　(2) （3y－1＝4－12y。 4. （易错）若实数 x，y 满足 （＋＋2）（＋－1）＝0，则 ＋ 的值是________。 5. 若实数 k，b 是方程 （x－2＝6－3x 的两个根，且 k＞b，则一次函数 y＝kx＋b 的图象不经过第________象限。 　　A. 一　　B. 二　　C. 三　　D. 四 【学习小结】 1. 因式分解法的理论依据：若两个因式的乘积为 0，则______________________________。 2. 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 　　(1) 把方程右边整理为____； 　　(2) 把方程左边______________； 　　(3) 令每个因式等于____，分别解两个一元一次方程。 3. 常用的因式分解方法有________、________（如平方差公式）等。 【拓展延伸】 思考：解一元二次方程有哪几种基本方法？对方程 －4x＝0，分别用配方法和因式分解法求解，比较哪种方法更简便，并说说因式分解法的适用条件。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 0；0 2. ＝1，＝2 3. (1) x，x，x（x－5）；(2) x，2，（x－2）（x＋1） 二、自主探究 探究1 例1　(1) x（x－5）＝0；x－5＝0；＝0，＝5 　　　　　 (2) 5－4x＝0；x（5x－4）＝0；5x－4＝0；＝0，＝ 　　 变式1　(1) x（x－2）＝0；＝0，＝2 　　　　　 (2) －6x＝0；x（x－6）＝0；＝0，＝6 探究2 例2　(1) （x－2）（x＋1）＝0；x＋1＝0；＝2，＝－1 　　　　　 (2) 2x－3；（2x－3）（2x－4）＝0；2x－4＝0；＝，＝2 　　 变式2　(1) 2；（x－3）（x＋2）＝0；＝3，＝－2 　　　　　 (2) 3y（y－1）－2（y－1）＝0；（y－1）（3y－2）＝0；＝1，＝ 探究3 例3　(1) （2x＋11）（2x－11）＝0；2x－11＝0；＝－，＝ 　　　　　 (2) （3－x；（x＋2）（3x－4）＝0；＝－2，＝ 　　 变式3　(1) （x＋10）（x－10）＝0；＝－10，＝10 　　　　　 (2) （2x＋3；[ (x-2)+(2x+3) ][ (x-2)-(2x+3) ]=0，即 （3x＋1）（－x－5）＝0；＝－，＝－5 三、合作交流 例A：解：（2x－3－（2x－3）＝0，（2x－3）（2x－4）＝0， 　　2x－3＝0 或 2x－4＝0，∴＝，＝2。 例B：解：（x－2－（2x＋3＝0，[ (x-2)+(2x+3) ][ (x-2)-(2x+3) ]=0， 　　（3x＋1）（－x－5）＝0，∴＝－，＝－5。 四、当堂检测 1. C 2. 5。解析：x（x－5）－10（x－5）＝0 ⇒ （x－5）（x－10）＝0 ⇒ x＝5 或 x＝10；三角形两边为 3、7，第三边需满足 7－3＜x＜7＋3，即 4＜x＜10，故第三边＝5。 3. (1) 2y(2y－1)＝3(1－2y) ⇒ 2y(2y－1)＋3(2y－1)＝0 ⇒ （2y－1）（2y＋3）＝0 ⇒ ＝，＝－； 　 (2) （3y－1＋12y－4＝0 ⇒ （3y－1）（3y－1）＋4（3y－1）＝0 ⇒ （3y－1）（3y＋3）＝0 ⇒ ＝，＝－1。 4. 1。解析：＋≥0，故 ＋＋2≥2＞0，只能 ＋－1＝0，∴ ＋＝1。 5. B。解析：（x－2＝6－3x ⇒ －x－2＝0 ⇒ （x－2）（x＋1）＝0，x＝2 或 －1；k＞b 得 k＝2，b＝－1，一次函数 y＝2x－1 的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限。 五、学习小结 1. 至少其中一个因式为 0（即 a＝0 或 b＝0）。 2. (1) 0；(2) 进行因式分解；(3) 0。 3. 提公因式法；公式法（平方差公式）。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $