2.1.1有理数的加法分层训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦有理数的加法，通过三层递进设计实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第一部分（必做）|有理数加法法则、符号判断、基础运算|以情境题（如潜水器位置）和概念辨析题为主，强化抽象能力与运算准确性| |第二部分（必做）|绝对值与加法综合、实际应用、逆向推理|通过幻方、数轴移动等题型，提升推理意识与模型应用能力| |第三部分（选做）|规律探究、复杂数阵与数列求和|设计环形数阵、周期数列等创新题，发展创新意识与高阶思维|

七年级数学 · 2.1.1 有理数的加法 · 分层训练 2.1.1 有理数的加法 分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 9 题） 1．某潜水器以海平面为0 m，某时刻位于−12 m处，随后上升7 m。此时潜水器的位置表示的数是（　　） A．−19 B．−5 C．5 D．19 2．计算（−）+的结果是（　　） A．− B．− C． D． 3．图中规定“○”表示+1，“●”表示−1。图示所表示的加法算式及结果是（　　） A．5+8=13 B．（−5）+8=3 C．5+（−8）=−3 D．（−5）+（−8）=−13 4．小明计算（−9）+4时，写成“和取负号，9+4=13，所以结果为−13”。他的错误是（　　） A．和的符号判断错误 B．异号两数的绝对值应相减 C．应先把两个加数都变为正数 D．异号两数相加的和一定为0 5．若a<0，b>0，且a+b>0，则一定有（　　） A．|a|>|b| B．|a|<|b| C．|a|=|b| D．无法确定 6．若x与−2.7互为相反数，则x+（−2.7）的值为（　　） A．−5.4 B．−2.7 C．0 D．5.4 7．已知a+b=0，c<0，则a+b+c与c的关系是（　　） A．a+b+c>c B．a+b+c=c C．a+b+c<c D．无法确定 8．下列说法正确的是（　　） A．两个负数相加，和一定大于任一加数 B．任意两数相加，和的绝对值都等于两数绝对值之和 C．互为相反数的两个数相加得0 D．一个数加上负数，所得的和一定是负数 9．计算2+（−1）+（−2）+3时，最简便的分组是（　　） A．[ 2+（−2）]+[（−1）+3] B．[ 2+（−1）]+[（−2）+3] C．[ 2+3]+[（−1）+（−2）] D．按原顺序依次相加最简便 二、填空题（共 5 题） 10．同号两数相加，和取________的符号，并把绝对值________；互为相反数的两个数相加，和为________。 11．如图，数轴上点P表示−1。从P向右移动2个单位长度到点Q，则Q表示的数是________；相应的加法算式是________________。 12．a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是−的相反数，d是到原点距离为2的负数，则a+b+c+d=________。 13．在横线上填数，使（−2）+________=0。这个数与−2的绝对值________（填“相等”或“不相等”）。 14．三个有理数的和为0，其中两个数分别为−和，则第三个数是________。 三、解答题（共 3 题） 15．计算（能简便的要简便）： （1）−8.6+3.75+8.6+（−2.25）； （2）（−2）+3+2+（−1）。 16．某粮库一天内6次库存变化如下（入库记为正，出库记为负）： （1）利用加法交换律、结合律计算这6次变化的总和； （2）若当天开始时库存为125 t，求6次变化结束后的库存量。 17．某学习小组用流程图整理“异号且绝对值不等的两数相加”的法则，如图。 （1）补全图中A、B两处的内容； （2）按流程计算2+（−3）； （3）若a>0，b<0且a+b>0，说明|a|与|b|的大小关系。 第二部分（必做） 四、选择题（共 6 题） 18．若|a|=，|b|=，且a+b=1，则b的值是（　　） A．− B．− C． D． 19．已知m+n=−4，n+p=1，则m+2n+p的值为（　　） A．−5 B．−3 C．3 D．5 20．如图，数轴上A、B、C、D四点表示的数分别为a、b、c、d，且A、D关于原点对称，B、C关于原点对称，则a+b+c+d的值是（　　） A．−11 B．− C．0 D． 21．如图是一个三阶“幻方”，每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都为0，则x的值为（　　） A．−5 B．−3 C．3 D．5 22．已知a>0，b<0，且a+b<0，则（　　） A．|a|>|b| B．|a|<|b| C．|a|=|b| D．无法比较 23．图中标出了−2，−1，0，1，2，3，4这7个整数点。能使x+（−2）>0成立的整数点x共有（　　）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 五、填空题（共 4 题） 24．若a+b=−，c+d=，e=−，则a+b+c+d+e=________。 25．若a、b同号，且|a|=，|b|=，则|a+b|=________。 26．若x+（−）+=0，则x=________。 27．已知a<0，b<0，c>0，且a+b+c=0，则c=________________（用含绝对值的式子表示）。 六、解答题（共 3 题） 28．已知a>0，b<0，c<0，且|a|=|b|+|c|。 （1）判断a+b+c的值，并说明理由； （2）若|b|=2.4，|c|=3.6，求a与b+c的值。 29．某文具店记录一款笔记本一天内6次库存变化（进货记为正，售出记为负）如下： （1）计算这6次库存变化的总和； （2）若当天营业开始时库存为280本，求6次变化后的库存量。 30．数轴上点A表示−3。一只小甲虫从A出发，依次移动+5、−4、+7、−6个单位长度（向右为正，向左为负）。 （1）写出算式并求四次移动后的终点表示的数； （2）四次移动后的各停点中，哪一次移动后离原点最远？距离是多少？ （3）若再移动m个单位长度（仍以向右为正、向左为负）后恰好回到原点，求m。 第三部分（选做·附加） 31．如图，六个数放在圆周上，圆心处为−2。规定：每一条直径上的三个数之和都为−1。 （1）求图中x、y的值； （2）不把六个圆周上的数逐个相加，求这六个数的和。 32．把数列1，−2，3，−4按这个顺序不断重复，共写2026个数。求这2026个数的和。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B（−5） 解析：以海平面为0，上升7 m记为+7 m，因此当前位置为（−12）+7=−5（m）。−12与7异号，且12>7，和取负号，绝对值为12−7=5。 2．答案：B（−） 解析：（−）与异号，先通分得=。因为>，和取负号，绝对值为−==，所以结果为−。 3．答案：C 解析：图中有5个“+1”和8个“−1”，表示5+（−8）。先把5对+1与−1配成0，还剩3个−1，所以5+（−8）=−3。 4．答案：B 解析：（−9）与4异号，且|−9|>|4|，所以和取负号这一点没有错；错误在于异号两数相加时，和的绝对值应为较大的绝对值减去较小的绝对值，即9−4=5，而不是9+4。因此（−9）+4=−5。 5．答案：B（|a|<|b|） 解析：a<0，b>0，二者异号。异号两数相加的和为正，说明正数b的绝对值较大，所以|b|>|a|，即|a|<|b|。 6．答案：C（0） 解析：x与−2.7互为相反数，因此x=2.7。互为相反数的两个数相加得0，所以x+（−2.7）=2.7+（−2.7）=0。 7．答案：B（a+b+c=c） 解析：由a+b=0，得a+b+c=0+c=c。这体现了先把互为相反数的两个加数结合“凑0”的简便方法。 8．答案：C 解析：A错误，例如（−2）+（−3）=−5，−5小于−2和−3；B错误，只有同号相加等特定情形才有|a+b|=|a|+|b|；C正确，互为相反数的两个数之和为0；D错误，例如5+（−2）=3>0。 9．答案：A 解析：A中2与−2互为相反数，先相加得0；−1与3相加时整数部分和分数部分都较容易处理。分组后原式=0+[（−1）+3]=2。其余分组没有充分利用“凑0”。 10．答案：相同；相加；0 解析：同号两数相加，和的符号与两个加数相同，和的绝对值等于两个加数绝对值之和；互为相反数的两个数绝对值相等、符号相反，相加得0。 11．答案：；（−1）+2= 解析：从P向右移动2个单位长度表示加2。计算（−1）+2=−+=−+=，所以Q表示。 12．答案：− 解析：a=1，b=−1；c是−的相反数，所以c=；d是到原点距离为2的负数，所以d=−2。于是a+b+c+d=1+（−1）++（−2）=0−=−。 13．答案：2；相等 解析：要使两个数的和为0，这两个数必须互为相反数，所以横线上填2。互为相反数的两个数到原点的距离相等，因此绝对值相等。 14．答案：− 解析：先算已知两个数：−+=−+=。要使三个数的和为0，第三个数应为的相反数，即−。 15．答案：（1）1.5；（2）2 解析：（1）−8.6+3.75+8.6+（−2.25）=[−8.6+8.6]+[3.75+（−2.25）]=0+1.5=1.5。 （2）（−2）+3+2+（−1）=[（−2）+2]+3+（−1）=0+2=2。 16．答案与解析： （1）总变化量=18+（−12.5）+（−7.5）+9+（−4）+6=[18+9+6]+[（−12.5）+（−7.5）+（−4）]=33+（−24）=9（t）。 （2）开始库存为125 t，总变化量为+9 t，所以结束后的库存为125+9=134（t）。“+9 t”表示入库量比出库量合计多9 t。 方法提示：处理多项有理数加法时，可先把正数、负数分别结合，也可优先把能凑整、凑0的数结合，以减少符号错误。 17．答案与解析： （1）A：和的符号取绝对值较大的加数的符号；B：和的绝对值等于较大的绝对值减去较小的绝对值。 （2）2与−3异号，且3>2，所以和取负号；绝对值为3−2==1。因此2+（−3）=−1。 （3）a>0，b<0且a+b>0，说明异号相加后和取正数a的符号，因此a的绝对值较大，即|a|>|b|。 本题把“判断符号—比较绝对值—计算和的绝对值”组织成流程。流程图的目的不是增加步骤，而是把最容易出错的“先定符号”与“再算绝对值”明确分开。 第二部分（必做） 18．答案：D（） 解析：a只能取±，b只能取±。四种符号组合的和分别为4、−1、1、−4。只有a=−，b=时a+b=1，因此b=。 19．答案：B（−3） 解析：利用加法结合律把m+2n+p看成（m+n）+（n+p）。已知m+n=−4，n+p=1，所以m+2n+p=−4+1=−3。 20．答案：C（0） 解析：A、D关于原点对称，所以a+d=0；B、C关于原点对称，所以b+c=0。由加法交换律和结合律，a+b+c+d=（a+d）+（b+c）=0。 21．答案：C（3） 解析：幻方每一横行的和都为0。第三行给出1+x+（−4）=0，可得x−3=0，所以x=3。代回第二列：−3+0+3=0，也符合题意。 22．答案：B（|a|<|b|） 解析：a>0，b<0，二者异号，而a+b<0，说明和的符号与负数b相同。因此b的绝对值较大，即|b|>|a|，所以|a|<|b|。 23．答案：B（2个） 解析：x+（−2）>0等价于x−2>0，所以x>2。图中给出的整数点−2，−1，0，1，2，3，4中，只有3、4满足条件，共2个。也可从数轴理解：从x向左移动2个单位后仍在原点右侧，必须有x>2。 24．答案：− 解析：a+b与c+d互为相反数，先结合可得（a+b）+（c+d）=−+=0，因此a+b+c+d+e=0+e=−。 25．答案： 解析：a、b同号，所以|a+b|=|a|+|b|=+=+=。 26．答案： 解析：（−）+=−+=−=−。于是x+（−）=0，所以x=。 27．答案：|a|+|b| 解析：a<0，b<0，所以a+b=−（|a|+|b|）。又a+b+c=0，因此正数c必须与a+b互为相反数，所以c=|a|+|b|。 28．答案与解析： （1）a+b+c=0。因为b<0，c<0，所以b+c=−（|b|+|c|）；而a>0且|a|=|b|+|c|，于是a=|b|+|c|，故a与b+c互为相反数。 （2）|b|+|c|=2.4+3.6=6，所以a=6；b+c=−（2.4+3.6）=−6。 29．答案与解析： （1）总变化量=60+（−35）+25+（−40）+（−18）+12=[60+25+12]+[（−35）+（−40）+（−18）]=97+（−93）=4（本）。 （2）营业开始时有280本，总变化量为+4本，因此6次变化后库存为280+4=284（本）。 关键点：进货与售出分别用正、负有理数表示。求库存的“净变化”应带着符号直接相加；正结果表示库存增加，负结果表示库存减少。 30．答案与解析： （1）终点表示的数为−3+5+（−4）+7+（−6）。利用交换律、结合律可算：=[−3+（−4）+（−6）]+（5+7）=−13+12=−1。 （2）各次移动后的停点依次为2、−2、5、−1，到原点的距离依次为2、2、5、1，所以第3次移动后离原点最远，距离为5个单位长度。 （3）此时在−1处，要回到原点需向右移动1个单位长度，因此m=1。 第三部分（选做·附加） 31．答案与解析： （1）竖直直径上的三个数为5、−2、−4，它们的和为−1，符合规则。另一条直径有−3、−2、x，所以−3+（−2）+x=−1，得x=4；第三条直径有、−2、y，所以+（−2）+y=−1，得y=−。 （2）每条直径上“两个圆周数+圆心数”的和为−1，圆心数为−2，所以每一对相对的圆周数之和都是1。三对相对数的和分别都是1，因此六个圆周数的总和为1+1+1=3。 本题用“整体配对”代替逐个相加。看到环形数阵、对称图形或成对数据时，可以先寻找固定的“成对和”，再利用加法结合律计算。 32．答案与解析： 每4个数为一组：1+（−2）+3+（−4）=−2。因为2026=4×506+2，所以前2024个数共有506组，和为506×（−2）=−1012；最后两个数仍是1、−2，和为−1。 因此这2026个数的和为−1012+（−1）=−1013。检验：每完整一组都使总和减少2，余下两个数再减少1，结果应为负数，与−1013的符号相符。 方法归纳与易错提醒： ① 有理数加法先判断“同号、异号、互为相反数或含0”，再确定和的符号，最后计算和的绝对值。 ② 异号相加最容易出错：绝对值不等时应“较大绝对值减较小绝对值”，和的符号跟绝对值较大的加数相同，不能把绝对值直接相加。 ③ 多个有理数相加时，优先寻找“相反数凑0、同号结合、凑整、同分母分数结合”等结构；加法交换律和结合律只改变顺序与分组，不改变和。 ④ 数轴、正负筹码、流程图、幻方、环形数阵等模型，本质上都在表达有理数的符号、绝对值和加法关系。读图时先把图形信息转化为有符号的数或等式。 ⑤ 实际问题中，入库/售出、上升/下降、向右/向左等相反意义的量，要先约定正负，再按有理数加法求“净变化”。 ⑥ 校验答案时至少检查两点：符号是否符合规则；绝对值或数量大小是否符合情境。分数计算还要检查通分、约分和带分数互化是否正确。 汪老师编写 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $