3.3利用导数研究函数的极值、最值 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的极值、最值”核心考点，依据课标要求梳理极值定义、求法及最值求解步骤，对接高考评价体系，分析极值点条件、闭区间最值等高频考点，归纳求极值、参数范围、最值三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+分层突破+素养导向”，如以“已知极值点求参数”为例，通过导数零点分析、单调性判断培养数学思维与运算素养，详解极值验证、最值比较等得分技巧，助力学生掌握高考核心题型，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

3.3　利用导数研究函数的极值、最值 第三章 2027 课标要求 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 3.体会导数与函数的单调性、极值、最大(小)值的关系. 备考指导 函数的极值和最值是高考必考内容,一般以函数的单调性为工具,进一步探究函数的极值或最值.涉及取值范围、最值,恒成立或存在性问题、证明问题,大多可转化为函数的最值或极值问题来解决.主要考查数学运算和逻辑推理的数学素养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.函数的极值 (1)定义 温馨提示1.函数的极值是一个局部概念,是函数在某个点处的函数值与它附近的函数值相比较是最大的或是最小的,因而端点不是函数的极值点. 2.函数在定义域的某个区间内极大值或极小值不一定唯一,也可能不存在,并且函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. 3.函数在极值点处的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点. 4.若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. (2)求可导函数极值的步骤如下: ①确定函数f(x)的定义域,并求f'(x); ②求方程 f'(x)=0 的根; ③检查方程 f'(x)=0 的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值 (1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点处取得. (2)一般地,求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求函数f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 问题思考 函数有极值是否一定有最值?有最值是否一定有极值? 极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要不在端点处取得,则必定在极值处取得. 若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值一定是函数的最值. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对可导函数f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的充要条件.(　　) (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.(　　) (3)函数的极大值不一定比极小值大.(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. (　　) × × √ √ 2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定正确的是(　　) A.当x=c时,f(x)有极小值 B.f(x)没有极大值 C.当x=b时,f(x)有极大值 D.f(a)=0 A 在x=c附近的左侧,f'(x)<0,f(x)单调递减,在x=c附近的右侧,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x=c时,f'(c)=0,f(x)取得极小值,A正确;从题中图象上看,f'(x)=0有三个解,在a,c之间的一个解记为x0,则在x=x0附近的左侧,f'(x)>0,f(x)单调递增,在x=x0附近的右侧,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x=x0时,f'(x0)=0,f(x)取得极大值,B错误;x=b是y=f'(x)的极大值点,不是f(x)的极大值点,C错误;题中图象只是说明f'(a)=0,至于f(a)是否为0,没有依据,D错误. 4.函数f(x)=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是　　　　　.  8 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 求函数的极值 例1　已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 可知f(1)=1,f'(1)=-1, 故曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 ①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(0,+∞)内是增函数, 函数f(x)无极值; ②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a. 又当x∈(0,a)时,f'(x)<0; 当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0, 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得利用导数研究函数极值的一般流程: 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练1 若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 A 由题意可得,f'(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)·ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0,得a=-1. 即f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 即当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 求与函数极值有关的参数范围 命题角度1 由极值的存在性求参数的取值范围 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知函数f(x)=x(ln x-ax) (a∈R,x>0)在区间 上存在极大值,则实数a的取值范围是　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度2 由极值的个数求参数的取值范围 例3　已知函数 ,若x=2是函数f(x)唯一的极值点,则实数k的取值范围为(　　) A.(-∞,e] B.[0,e] C.(-∞,e) D.[0,e) A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在区间(a,b)内不是单调函数,可转化为f'(x)=0根的个数问题求解;若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间内没有极值. 2.已知函数极值点的个数求参数,解决此类问题可转化为函数y=f'(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练2 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) B ∵f'(x)=3x2+2ax+(a+6), 由已知可得f'(x)=0有两个不相等的实根, 即Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0. 得a>6或a<-3. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练3 已知函数 存在两个极值点x1,x2,求实数m的取值范围. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 求函数的最值 2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的思路: (1)若所给的闭区间[a,b]不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f'(x)=0在区间[a,b]上的根,计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. (2)若所给的闭区间[a,b]含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值. 提醒:求函数在无穷区间(开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,借助图象观察得到函数的最值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练4 (1)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(　　) A.[-3,+∞) B.(-3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,-3] D 由题意知f'(x)=3x2+6x-9. 令f'(x)=0,解得x=1或x=-3. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,且f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3. 故选D. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解 ①∵f(x)=excos x,∴f'(x)=ex(cos x-sin x),则f'(0)=1, ∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=1,又f(0)=e0cos 0=1, ∴切线方程为y-1=1×(x-0),即y=x+1. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 利用导数求函数的极值与最值的综合问题 典例　已知函数 (1)若函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且x2≥x1(e为自然对数的底数),求f(x2)-f(x1)的最大值. 解题心得解决函数的极值、最值综合问题的策略 (1)求函数的极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的取值范围. (2)求函数的最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论. (3)若函数在给定闭区间上存在极值,则一般要将极值与端点函数值进行比较才能确定函数的最值. 变式训练 已知函数 的导函数f'(x)的两个零点为x1=-3和x2=0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点, 且f'(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以当-3<x<0时,g(x)>0,即f'(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). 本 课 结 束 函数的极值 满足条件 极小值点 与极小值 ①函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;②若f(x)在x=a处可导,则f'(a)=0;③在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值 极大值点 与极大值 ①函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;②若f(x)在x=b处可导,则f'(b)=0;③在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值 极值与 极值点 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点 3.已知函数f(x)=-bx2+a2x-在x=1处取得极值0,则a+b=　　　　　.  - 由题意知f'(x)=ax2-2bx+a2, ∵f(x)在x=1处取得极值0, ∴f'(1)=a-2b+a2=0,f(1)=-b+a2-=0, ∴a=1,b=1或a=-,b=- ∵当a=1,b=1时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,函数没有极值, ∴a=1,b=1不成立, ∴a=-,b=-,故答案为- ∵f(x)=2x3-2x2,∴f'(x)=6x2-4x. 令f'(x)=0,得x=0或x= ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-,f(2)=8, ∴函数f(x)=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值为8. 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1- (1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-(x>0), (2)由f'(x)=1-(x>0)知, x (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 例2　(1)若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. f'(x)=x2-ax+1,函数f(x)在区间内有极值点等价于f'(x)=0有两个不相等的实数解,且在区间内有解. 由f'(x)=0有两个不相等的实数解,得Δ=(-a)2-4>0,解得a<-2或a>2. 由f'(x)=0在区间内有解,得a=x+在区间内有解. 又x+,所以2≤a<综上所述,实数a的取值范围是 f'(x)=1+ln x-2ax=x, 设g(x)=(x>0),则g'(x)=-, 令g'(x)>0,解得x<1,即g(x)在区间上单调递增; 令g'(x)<0,解得x>1,即g(x)在区间(1,e)上单调递减. 所以g(x)max=g(1)=1.又g(e)=, 则当2a,即a时,f(x)先递增后递减,即函数存在极大值. f(x)=-k 因为函数f(x)=-k, 所以函数f(x)的定义域是(0,+∞), 所以f'(x)=-k 因为x=2是函数f(x)唯一的极值点, 所以x=2是导函数f'(x)=0的唯一解, 所以y=-k在区间(0,+∞)内无变号零点. 设g(x)=,则g'(x)= 当x∈(0,1)时,g'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0, 即g(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增, 则g(x)min=g(1)=e. 结合g(x)=与y=k的图象(图略),知k≤e. g(x)=ln x-mx+ 解 因为g(x)=ln x-mx+, 所以g'(x)=-m-=-(x>0). 令h(x)=mx2-x+m,要使g(x)存在两个极值点x1,x2, 则方程mx2-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x2, 故只需满足解得0<m< 故m的取值范围为(0,). 例4　(1)已知函数f(x)=x3-x2-x+m在区间[0,1]上的最小值为,则实数m的值为　　　　　.  由f(x)=x3-x2-x+m,可得f'(x)=x2-2x-1.令x2-2x-1=0,可得x=1± 当x∈(1-,1+)时,f'(x)<0, 即函数f(x)在区间(1-,1+)内单调递减, 即f(x)在区间[0,1]上单调递减, 故f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1), 即-1-1+m=,解得m=2. (2)已知函数f(x)=-ln x. ①求f(x)的单调区间; ②求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.(其中e是自然对数的底数) 解 ①因为f(x)=-ln x=1--ln x,f(x)的定义域为(0,+∞), 所以f'(x)= 由f'(x)>0,得0<x<1;由f'(x)<0,得x>1. 故f(x)=1--ln x在区间(0,1)内单调递增, 在区间(1,+∞)内单调递减. ②由①知f(x)在区间上单调递增,在区间[1,e]上单调递减, 故f(x)在区间上的最大值为f(1)=1-1-ln 1=0. 又f=1-e-ln=2-e,f(e)=1--ln e=-,且f<f(e), 所以f(x)在区间上的最小值为f=2-e. 故f(x)在区间上的最大值为0,最小值为2-e. x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 (2)已知函数f(x)=excos x,g(x)=ax. ①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; ②设F(x)=g(x)-f(x),当a≥0时,求函数F(x)在区间上的最大值和最小值; ③当x∈时,试写出一个实数a的值,使得y=f(x)的图象在y=g(x)的图象下方.(不需要说明理由) ②设F(x)=g(x)-f(x)=ax-excos x,则F'(x)=a-ex(cos x-sin x), 令h(x)=F'(x),则h'(x)=-[ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)]=2exsin x. ∵x,h'(x)=2exsin x>0,∴h(x)=F'(x)在区间上单调递增,F'(x)≥F'=a-=a. ∵a≥0,∴F'(x)≥0,∴F(x)在区间上单调递增, F(x)min=F=acosa-, F(x)max=F=acos ③∵当x时,y=f(x)的图象在y=g(x)的图象下方, ∴当x时,F(x)=[g(x)-f(x)]min>0. 由②知,当a≥0时,F(x)min=a-,由F(x)min>0,解得a>, 只需取a>的值即可.∴a可取4. f(x)=ln x+x2-ax+a(a∈R). 解:(1)∵f'(x)=+x-a(x>0), 且f(x)在区间(0,+∞)内单调递增, ∴恒有f'(x)≥0, 即+x-a≥0恒成立,∴a≤. ∵x+≥2=2,当且仅当x=1时,取“=”,∴a≤2. ∴当函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数时,实数a的取值范围是(-∞,2]. (2)∵f(x)在x=x1和x=x2处取得极值,且f'(x)=+x-a=(x>0), ∴x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个实数根, 由根与系数的关系,得x1+x2=a,x1x2=1, ∴f(x2)-f(x1)=ln)-a(x2-x1)=ln) =ln=ln. 设t=(t≥),令h(t)=ln t-(t≥), 则h'(t)==-<0, 则h(t)在区间[,+∞)内是减函数, 即h(t)≤h()=, 故f(x2)-f(x1)的最大值为. f(x)=(a>0) 解 (1)f'(x)= (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 则 解得a=1,b=5,c=5,即f(x)= 由(1)可知当x=0时,f(x)取得极大值f(0)=5, 故f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者. 而f(-5)==5e5>5=f(0), 故函数f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值是5e5. $