2.2.3直线的一般式方程课件2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，系统梳理其定义、斜率及截距，通过课前基础认知衔接点斜式等旧知，课堂重难突破围绕方程转化、参数问题及平行垂直应用，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以微思考（如A/B/C为0时直线类型）深化数学抽象，典例剖析（含参数直线过定点）提升逻辑推理，规律总结提炼转化策略与参数方法。学生能夯实基础并发展核心素养，教师可直接用于课堂教学以提高效率。

2.2.3　直线的一般式方程 目 标 素 养 知 识 概 览 1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的一般式方程,提升数学抽象的核心素养. 2.掌握一般式与其他形式之间的相互转化,提升逻辑推理的核心素养. 课前·基础认知 1.直线的一般式方程 我们把关于x,y的二元一次方程　Ax+By+C=0　(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.  2.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 形式 方程 适用条件 点斜式 y-y0=k(x-x0) 表示斜率　存在　的直线  斜截式 y=kx+b 表示斜率存在的直线 两点式   斜率存在,且不为　0　  截距式   　a≠0,且b≠0　  一般式 Ax+By+C=0 均适用 微思考(1)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)一定表示直线吗? (2)当A=0,或B=0,或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线? 提示:(1)一定. (2)①若A=0,则y=- ,表示与y轴垂直的一条直线. ②若B=0,则x=- ,表示与x轴垂直的一条直线. ③若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线. 课堂·重难突破 一 直线的一般式方程与其他形式的转化 典例剖析 1.(1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足　　　　　　　　.  (2)若直线l在y轴上的截距等于5,且与直线4x+2y-1=0平行,则直线l的一般式方程为　　　　　　　　.  答案:(1)m≠-3　(2)2x+y-5=0 解析:(1)若方程不能表示直线,则m2+5m+6=0且m2+3m=0. 解方程组 得m=-3,所以当m≠-3时,方程表示一条直线. (2)(方法一)因为直线4x+2y-1=0的斜率k= =-2,直线l与直线4x+2y-1=0平行,所以直线l的斜率kl=-2. 又直线l在y轴上的截距等于5,所以其斜截式方程为y=-2x+5,化为一般式方程是2x+y-5=0. (方法二)因为直线l与直线4x+2y-1=0平行,所以设其方程为4x+2y+D=0(D≠-1). 又因为直线l在y轴上的截距等于5,所以 =5,解得D=-10,所以直线l的方程为4x+2y-10=0,即2x+y-5=0. 规律总结 求直线的一般式方程的策略 (1)对直线的一般式方程,一般有如下约定:方程一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数为正;x,y的系数和常数项一般不出现分数;无特殊要求时,所求直线方程的结果写成一般式. (2)在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,通常先根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,再转化为一般式. 学以致用 1.根据下列条件分别写出直线的方程,并把它转化为一般式方程. (1)斜率是 ,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. (2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式为4x-y-2=0. 二 由直线的一般式方程求解参数或参数的范围 典例剖析 2.已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围. (1)证明:(方法一)将直线l的方程整理为y-=a,则直线l的斜率为a,且过定点A,而点A在第一象限内,故不论a为何值,直线l总经过第一象限. (方法二)直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0. ∵上式对任意的a总成立,∴必有即直线l过定点A.而点A在第一象限内,故不论a为何值,直线l总经过第一象限. (2)解:由(1)知,直线OA的斜率为k==3.如图,要使直线l不经过第二象限,需斜率a≥kOA=3,故实数a的取值范围为[3,+∞). 规律总结 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 学以致用 2.已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程,求证:不论k取何实数,直线l必过定点M,并求出点M的坐标. 解:整理直线l的方程得(x+y)+k(x-y-2)=0.无论k取何实数,该式恒成立, 所以直线l经过定点M(1,-1). 三 直线的一般式方程下的平行与垂直问题 典例剖析 3.(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值; (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2: (a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 解:(1)(方法一) 当m=0时,显然直线l1与l2不平行. 解得m=2或m=-3. ∴实数m的值为2或-3. (方法二)当m=-1时,直线l1:x=-2,l2:x-3y+2=0,直线l1不平行于l2. 解得m=2或m=-3.∴实数m的值为2或-3. (2)当1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0显然垂直; 若l1⊥l2,则k1k2=-1, 综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 规律总结 1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略: 直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0, (1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0); (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 2.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法: (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C); (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 学以致用 3.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的一般式方程,l'满足: (1)过点(-1,3),且与直线l平行; (2)过点(-1,3),且与直线l垂直. 解:(方法一)将已知直线l的一般式方程化为y=-x+3,即直线l的斜率为-. (1)由直线l'与直线l平行,得直线l'的斜率为-. 又直线l'过点(-1,3),由点斜式知直线l'的方程为y-3=-(x+1),整理得3x+4y-9=0. (2)由直线l'与直线l垂直,得直线l'的斜率为, 又直线l'过点(-1,3),由点斜式知直线l'的方程为y-3=(x+1), 即4x-3y+13=0. (方法二)(1)由直线l'与直线l平行,可设直线l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12). 将点(-1,3)代入上式得m=-9. 故所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由直线l'与直线l垂直,可设直线l'的方程为4x-3y+n=0. 将点(-1,3)代入上式得n=13. 故所求直线方程为4x-3y+13=0. 随堂训练　 1.(多选题)已知直线l的方程是Ax+By+C=0,则(　　). A.A2+B2≠0 B.若C=0,则直线l必过原点 C.若A·B>0,则直线l必过第三象限 D.若A·B>0且A·C<0,则直线l不过第三象限 答案:ABD 解析:因为在直线的一般式方程中,A,B不同时为0,所以A2+B2≠0,故A正确.若C=0,当x=y=0时,A·0+B·0=0,所以直线l过原点,故B正确.若A·B>0且A·C<0,则 >0,所以直线经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限,故C错误,D正确.故选ABD. 2.已知直线l经过点P(2,1),且与直线2x-y+2=0平行,那么直线l的方程是(　　). A.2x-y-3=0 B.x+2y-4=0 C.2x-y-4=0 D.x-2y-4=0 答案:A 解析:由题意可设所求的方程为2x-y+c=0(c≠2), 将点P(2,1)的坐标代入方程,可得4-1+c=0, 即c=-3, 故所求直线的方程为2x-y-3=0,故选A. 3.已知直线的方程为kx-y+1-3k=0,无论k取何实数,直线都恒过点(　　). A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1) 答案:C 解析:直线方程可化为y-1=k(x-3),故无论k取何实数,直线都恒过点(3,1). 4.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0.若l1∥l2,则a=　　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　　.  解析:直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0,分别化为 5.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值: (1)直线l的斜率为-1; (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. $