2.3.1有理数的乘方（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数乘方的概念、符号法则及\(a^n\)、\(-a^n\)与\((-a)^n\)的辨析。课堂导入通过A4纸对折厚度变化的实际操作，从有理数乘法过渡到相同因数乘法的简便运算，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光中的抽象能力，通过\((-2)^4\)与\(-2^4\)等实例辨析发展数学思维中的推理意识，用符号准确表达乘方关系强化符号意识。采用问题驱动和分层训练，帮助学生理解概念本质，教师可通过清晰脉络提升教学效率。

第二章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 2.3.1 有理数的乘方（第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解乘方的意义，掌握乘方、幂、底数、指数的概念及其相互关系，能准确指出一个乘方式子中的底数和指数. 能正确进行有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算的符号法则，理解 an、－an 与（－a）n 的区别，能正确辨析三者的意义和运算结果. 经历从实际问题抽象出乘方概念的过程，培养观察、分析、归纳和概括的能力. 情境导入 宇宙竟然装不下一张纸！ 情境导入 思考 很难想象，一张纸在多次对折之后居然连宇宙都容不下，同学们先准备一张A4纸，将它不断对折，看看你能折几次，对应的厚度又是多少? 一张纸 对折一次 对折两次 对折三次 假设每张纸厚0.1mm，那么每对折一次，厚度变成多少？如果对折了n次之后呢？ 情境导入 0.1mm mm mm mm 与这两个式子有什么特点？ 两个算式中的因数都相同 在数学和实际问题中，经常会遇到这种因数相同的乘法运算。为了书写简便，我们引入一种新的运算——乘方。今天我们就来学习"有理数的乘方". 新知探究 探究一：乘方的概念 探究 计算边长为2的正方体一面的面积以及它的体积，你有什么发现？ 面积 体积 共同特征： 它们都是乘法; 并且它们各自的因数都相同. 记作 读作：2的平方（或2的二次方） 记作 读作：2的立方（或2的三次方） 新知探究 探究一：乘方的概念 探究 如果是多个负数和分数相乘，是否也有同样的规律? 记作 读作“－2的4次方”； 记作 读作" 的5次方" 是4个－2相乘 是5个相乘 新知探究 探究一：乘方的概念 个2 个a 个a 仿写 结合以上式子形式以及计算结果，你能得出什么规律？ 知识小结 探究一：乘方的概念 一般地，个相同的因数 相乘，即 （个），记作 ，读作"的次方"。 乘方的定义：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 知识归纳 幂 新知探究 探究一：乘方的概念 知识归纳 底数 相同乘数 指数 乘数的个数 乘方的结果叫做幂 幂 在 中， 叫做底数 底数 在 中， 叫做指数 指数 新知探究 有理数直接除法计算 【分析】题考查乘方的定义，表示个相乘（ 为正整数），据此可得答案. 在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 有理数乘方的计算 教材例题 【分析】因为 就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算. 计算： (1) ； (2) ； (3) ． 解：（1）； （2）； （3）． 注：当底数是负数时，必须加上括号 新知探究 探究二：乘 方的运算与符号法则 探究 结合以上例题，观察并思考：负数的幂的正负与指数有什么关系？ (1)3个−4相乘⇒(−4) × (−4) × (−4) 奇数个“-”号 (2)4个−2相乘⇒(−2)×(−2)×(−2)×(−2) 偶数个“-”号 奇数个“-”号 结果为负 结果为正 结果为负 探究 新知探究 探究二：乘 方的运算与符号法则 再计算一些乘方的例子，结合例 1，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？ (1)=_______ (2) =_______ (3) =_______ (4) =_______ -49 －216 -9 指数为偶 结果为正 指数为偶 结果为正 指数为奇 结果为负 指数为奇 结果为负 规律总结： 当指数是______数时，负数的幂是______数； 当指数是______数时，负数的幂是______数. 奇 负 偶 正 知识小结 探究二：乘 方的运算与符号法则 ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③ 0的任何正整数次幂都是0. 知识归纳 有理数乘方的符号法则 补充：任何数的偶次幂都是非负数. 新知巩固 有理数乘方的运算与符号法则 【分析】本题考查了乘方运算，先结合𝑘是一个正整数，得出2𝑘−1是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数解答. 已知是一个正整数，那__________． 解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 新知探究 探究三：、 与的区别与联系 探究 我们强调过底数是负数时要加括号。那么请大家思考： 与 － 相等吗？为什么？ 表示4个－2相乘 即（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16 －表示4个2相乘的积的相反数 即 －（2×2×2×2）＝－16 所以与 －不相等，它们的意义不同，底数不同，结果也不同. 结果不同 新知探究 探究三：、 与的区别与联系 探究 进一步思考：、与区别与联系？ （1）意义不同： 表示个相乘的积； 表示个相乘的积的相反数； 表示 个相乘的积。 （2）底数不同： 的底数是。 和的底数都是； 新知探究 探究三：、 与的区别与联系 （3）联系： ，且、都与互为相反数（a≠0）； ②当n为偶数时， ，且、都与互为相反数（a≠0）； ③若=0，则 ①当n为奇数时 用计算器计算乘方 教材例题 【分析】利用计算器的乘方功能输入带括号的负数底数，完成乘方运算，同时可结合符号法则预判结果正负. 用计算器 和 . 解: 用带符号键 用计算器计算有 显示结果为 显示结果为 因此, , . 【分析】根据乘方和乘法的意义列式即可. 巩固训练1 有理数幂的概念理解 计算的算式是（    ） A． B． C． D． 解：原式表示10个2相加，10个3相乘，再将结果相加， 10个2相加即为，10个3相乘即为， 那么原式， 故选：A． 巩固训练1 有理数幂的概念理解 变式题 1. 计算 A. B. C. D. 解: 2.为了简便, 可以将记为 . 解: 根据乘方的定义,个相同的因数 相乘, 记为 的 次方, 即 . 巩固训练2 有理数的乘方运算 【分析】根据绝对值与偶次方的非负性，当两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此求出x、y的值，再代入计算𝑥+𝑦即可. 若，则的值为____． 解：∵， ∴且， 解得：，， 则． 巩固训练2 有理数的乘方运算 变式题 下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 巩固训练3 有理数乘方逆运算 【分析】根据乘方的定义，寻找有理数𝑎和整数𝑛，使得=16，写出其中一组即可. 已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 解：因为， 所以该乘方运算可以是（或、等，任选其一即可）． 故答案为：（或或或）． 巩固训练3 有理数乘方逆运算 变式题 若，，且，则的值为______． 解：∵， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， 又∵ ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 巩固训练4 乘方运算的符号规律 【分析】根据乘方的非负性，确定最大值即可. 已知的最大值为______． 解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 巩固训练4 乘方运算的符号规律 变式题 下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意 课堂总结 本节课你学到了什么？ 29 30 $