河南郑州女子高级中学2026-2027学年高二上学期入学测试数学试卷

《2026～2027学年度第一学期高二年级入学考试》 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（   ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 4．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（ ） ①； ②； ③． A． 0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A．1 B． C． D． 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7．在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，平面，，分别为，上的点，且，，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则与相互独立 B．若与互斥，则 C．方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D．数据的第百分位数为 10． 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A． B．的外接圆面积为 C．若，则满足条件的三角形仅有个 D．周长的最大值为 11．如图，在平行六面体 中，, ，点,分别是棱,的中点，则下列说法中正确的有（ ） A． B．向量 , , 共面 C． D．若 ，则该平行六面体的高为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为___________． 13．学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为___________ 14．在棱长为2的正四面体 中， 是 的中点，则 和 所成角的余弦值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知 ，，且向量 与向量 的夹角为． （1）求 与 的值； （2）求向量 与向量 的夹角的余弦值． 16．（15分）郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． 17．（15分）．如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18．（17分）在中，角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若是锐角，且，求的面积． 19．（17分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 为 的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 《2026~2027学年度第一学期高二年级入学考试》答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B D A C C B 二、多选题 9 10 11 ABC AC ACD 三、填空题 12． 13．220 14． 四、解答题 15．解：（1）因为，且向量与向量的夹角为， 所以． ． （2）， 所以，，所以． 向量与向量的夹角的余值． 16．解：（1）由频率分布直方图得，，解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 设中位数为，因为组的频率为，组的频率为，组的频率为，因此，故； （2）由（1）知，成绩在，的频率之比为． 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 17．解：（1）如图所示，以为原点，分别为轴建系． 则， 设平面的一个法向量为， 则，，取，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． （2）设点到平面的距离，，． 18．解：（1）由以及正弦定理得，， 所以， 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为． 19．证明：∵三棱柱中，平面， ∴平面，∴，又， 即，∴两两垂直， ∴以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设平面的法向量为， 由取，得， ∵，∴，又平面，所以平面． [解析]由平面，可知平面的一个法向量为， 由（1）可得平面的一个法向量为， ．由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $