4.1 认识三角形 同步训练 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册“4.1 认识三角形”同步练，以“基础巩固-灵活应用-综合拓展”分层设计，覆盖三角形概念、性质及应用，培养抽象能力、推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形外角、内角和、三边关系、基本概念|选择题1-8（如外角识别、内角计算）、填空题14-15（边角关系），夯实概念理解| |中档|性质灵活应用、多结论判断、规律探究|选择题9-12（折叠问题、图形规律）、填空题13-17（三边组合、绝对值化简），提升推理能力| |提升|综合应用、数学建模与规律概括|解答题18-22（面积计算、角平分线与高综合、内外点分割规律），发展创新意识与应用意识|

湘教版（2024）八年级上册 4.1 认识三角形 同步训练 一、选择题 1.图中，∠1是△ABC的外角的是（　　） A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（　　） A.110 B.100 C.55 D.45 3.已知三角形三边的比为2：4：5，则对应的边上的高的比为（　　） A.2：4：5 B.5：4：2 C.10：5：4 D.4：5：10 4.如图所示，△ABC中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则△ABC的面积是（   ） A.25 B.30 C.35 D.40 5.“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是(    ) A.基本事实 B.定理 C.定义 D.条件 6.用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　） A.1 cm、2 cm、3 cm B.4 cm、4 cm、8 cm C.2 cm、6 cm、5 cm D.3 cm、5 cm、9 cm 7.如图，CD∥AB，∠A＝35°，∠DCB＝55°，则△ABC的形状为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 8.图中有　　个三角形． A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ）             A. B. C. D. 10.如图所示，，，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 11.如图，线段把△ABC分为面积相等的两部分，则线段 是（ ）    A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.以上都不对 12.如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A.10 B.15 C.21 D.28 二、填空题 13.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是     个。 14.如图，中，与的夹角是            ，的对边是            ，，的公共边是            ．    15.如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有             个三角形． 16.若a、b、c是三角形的三边，则            ． 17.从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是     ． 三、解答题 18.如图，△ADC中边AC与边AD的夹角与△ACB中哪两条边的夹角是同一个角？ 19.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 20.如图，在中，，平分，于点E，若．       (1)求的度数； (2)求的度数． 21.(1)如图，在△ABC中，是高，是角平分线，它们相交于点，．求和的度数．     22.题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？ 问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示： 继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格： 拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格： 概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________． 湘教版（2024）八年级上册 4.1 认识三角形 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.图中，∠1是△ABC的外角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∠1是△ABC的外角的是： 故选：D． 2.如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（　　） A.110 B.100 C.55 D.45 【答案】B 【解析】由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°， 故选：B． 3.已知三角形三边的比为2：4：5，则对应的边上的高的比为（　　） A.2：4：5 B.5：4：2 C.10：5：4 D.4：5：10 【答案】C 【解析】根据三角形的面积不变，则三角形的三条高与三条边的比成反比， 对应的边上的高的比为：：10：5：4． 故选：C． 4.如图所示，△ABC中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则△ABC的面积是（   ） A.25 B.30 C.35 D.40 【答案】B 【解析】解：如图， ∵，同高，，， 是的中点，∴同理可知， 又，，， ． 故选：B． 5.“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是(    ) A.基本事实 B.定理 C.定义 D.条件 【答案】C 【解析】解：“有两条边相等的三角形是等腰三角形”是“等腰三角形的定义”. 故选C. 6.用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（　　） A.1 cm、2 cm、3 cm B.4 cm、4 cm、8 cm C.2 cm、6 cm、5 cm D.3 cm、5 cm、9 cm 【答案】C 【解析】A.1+2＝3，长度是1 cm、2 cm、3 cm的三根木棒不能做成三角形框架，故A不符合题意； B.4+4＝8，长度是4 cm、4 cm、8 cm的三根木棒不能做成三角形框架，故B不符合题意； C.2+5＞6，长度是5 cm、2 cm、6 cm的三根木棒能做成三角形框架，故C符合题意； D.3+5＜9，长度是3 cm、5 cm、9 cm的三根木棒不能做成三角形框架，故D不符合题意． 故选：C． 7.如图，CD∥AB，∠A＝35°，∠DCB＝55°，则△ABC的形状为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【答案】D 【解析】∵CD∥AB，∠DCB＝55°， ∴∠B＝∠DCB＝55°， ∵∠A＝35°， ∴∠ACB＝180°﹣55°﹣35°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故选：D． 8.图中有　　个三角形． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】图中有，，共3个三角形． 故选：C． 9.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（   ）             A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 10.如图所示，，，则下列结论正确的有（    ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】解：∵ ∴不平分，故①错误； ∵∴不平分，故②错误； ，平分，故③正确； ∵∴不平分,故④错误； 又，，即， 平分，故⑤正确． 故选：． 11.如图，线段把△ABC分为面积相等的两部分，则线段 是（ ）    A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.以上都不对 【答案】B 【解析】解：作， ∴，， ∵，即， ∴，即线段是三角形的中线． 故选：B．    12.如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A.10 B.15 C.21 D.28 【答案】C 【解析】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 二、填空题 13.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是     个。 【答案】3 【解析】解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个． 故答案为：3． 14.如图，中，与的夹角是            ，的对边是            ，，的公共边是            ．    【答案】 【解析】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是， 故答案为：，，． 15.如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有             个三角形． 【答案】10 【解析】解：图中有 共10个三角形， 故答案为： 16.若a、b、c是三角形的三边，则            ． 【答案】 【解析】解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17.从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是     ． 【答案】 【解析】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)，即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)，则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 三、解答题 18.如图，△ADC中边AC与边AD的夹角与△ACB中哪两条边的夹角是同一个角？ 【答案】AC，AB 【解析】解：△ADC中边AC与边AD的夹角是∠A，而∠A也是△ACB的一个角，这个角是边AC与边AB的夹角. 19.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【解析】解：图中共有5个三角形，分别是． 20.如图，在中，，平分，于点E，若．       (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵，∴； （2）∵平分，∴， ∵，∴， ∴ 21.(1)如图，在△ABC中，是高，是角平分线，它们相交于点，．求和的度数．     【答案】=120°，=10°； 【解析】解：是的高，∴， ∴在中，， 在中，， ∵、是角平分线， ， ， ∴=40°-30°=10°， 在中，. 答：=120°，=10°． 22.题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？ 问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示： 继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格： 拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格： 概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________． 【答案】继续探究：图见解析，7，；拓展联系：4，6，8，；概括提升： 【解析】解：继续探究：如图， 在三角形纸片内部给定1个点,得到3个三角形; 在三角形纸片内部给定2个点,得到5个三角形; 在三角形纸片内部给定3个点,得到7个三角形; 在三角形纸片内部给定n个点,得到(2n+1)个三角形; 故填表得： 拓展联系：如图： 在四边形纸片内部给定1个点,得到4个三角形; 在四边形纸片内部给定2个点,得到6个三角形; 在四边形纸片内部给定3个点,得到8个三角形; 在四边形纸片内部给定n个点,得到(2n+2)个三角形; 填表如下： 概括提升： (3)设纸片的边数为m,内部给定1个点,得到m个三角 形, 内部给定2个点,得到(m+2)个三角形, 内部给定3个点,得到(m+2×2)个三角形, 内部给定n个点,得到(2n+m-2)个三角形, ∴x=2n+n-2. 学科网（北京）股份有限公司 $