4.3.2 独立性检验-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

4.3.2 独 效果评价 1.若由一个2x2列联表中的数据计算得 到X=7.213,则有( ) a=PX2≥k) 0.1 0.05 0.010.005 0.001 2.7063.841 6.6357.879 10.828 A.90%的把握认为两个随机事件有关 B.95%的把握认为两个随机事件有关 C.99%的把握认为两个随机事件有关 D.99.9%的把握认为两个随机事件有关 2.在研究肥胖与高血压的关系时，通过 收集数据、整理分析数据得到“高血压与肥 胖有关”的结论，并且在犯错误的概率不超 过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下 列说法中正确的是（) A.在100个高血压患者中一定有肥胖 的人 B.在100个肥胖的人中至少有99人患 有高血压 C.在100个高血压患者中可能没有肥胖 的人 D.肥胖的人至少有99%的概率患有高 血压 3.为了解学生是否经常锻炼与性别的关 系，某校随机抽取了40名学生进行调查， 按照性别和锻炼情况整理出如下的2x2列 联表。 不经常锻炼 经常锻炼 总计 女生 14 21 男生 8 11 o 总计 22 18 40 第四章概率与统计。 立性检验 n(ad-be)2 注：X(a+b)c+d)(a+e)(6+d)' n=a+b+c+d. 根据这些数据，给出下列四个结论： ①依据频率稳定于概率的原理，可以认 为学生是否经常锻炼与性别有关； ②依据频率稳定于概率的原理，可以认 为学生是否经常锻炼与性别无关； ③有95%的把握认为学生是否经常锻炼 与性别有关； ④没有95%的把握认为学生是否经常锻 炼与性别有关， 其中正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4.两个随机事件A,B的2×2列联表 如下. B B 总计 10 18 28 A m 26 m+26 总计 10+m 44 54+m 则当m取下面何值时，A与B有关的可 能性最小() A.8 B.9 C.14 D.19 5.有甲、乙两个班级进行数学考试，按 照大于或等于85分为优秀，85分以下为非 优秀统计成绩，得到如表所示的列联表 练 77 高中数学选择性必修第二册人教B版 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 30 总计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，其 成绩优秀的概率为号，则下列说法正确的是 A.c的值为30，b的值为35 B.c的值为15，b的值为50 C.根据列联表中的数据，有95%的把 握认为成绩是否优秀与班级有关 D.根据列联表中的数据，没有95%的 把握认为成绩是否优秀与班级有关 6.根据两个随机事件的观测数据，计算 得到X=2.974,则( ) a=PX2≥k) 0.1 0.05 0.010.005 0.001 2.7063.841 6.6357.87910.828 A.有90%的把握认为两个随机事件 有关 B.两个随机事件有关，这个结论犯错 误的概率不超过0.05 C.没有90%的把握认为两个随机事件 有关 D.两个随机事件无关，这个结论犯错 误的概率不超过0.05 7.假设随机事件A与B的数据如下表. B B 总计 a atb A c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d （78)练 对于以下数据，能说明A与B有关系 的可能性最大的一组为() A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=3,b=2,c=4,d=5 8.(多选题)下列有关独立性检验的四 个说法中正确的是() A.两个随机事件的2×2列联表中，对 角线上数据的乘积相差越大，说明两个随机 事件有关系成立的可能性就越大 B.对随机事件X与Y的随机变量X2来 说，X的值越小，“X与Y有关”的可信度 越低 C.从独立性检验，可知有95%的把握 认为秀顶与患心脏病有关，我们说某人秃 顶，那么他有95%的可能患有心脏病 D.从独立性检验，可知有99%的把握 认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概 率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌 有关 9.(多选题)某中学为了解学生是否喜 欢阅读与性别的关系，为此对学生是否喜欢 阅读进行普查，得到下表. 男生 女生 总计 喜欢 280 280+p 不喜欢 120 120+9 总计 280+q 120+p 400+p+9 附：X= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. ax=PX≥k) 0.1 0.050.01 0.001 2.7063.8416.635 10.828 已知男生喜欢阅读的人数占男生人数的 石，女生喜欢侧读的人数占女生人数的 5 则下列说法正确的是() A.g=120,p=180 B.从该中学随机选一名学生，该学生 有90%的可能喜欢阅读 C.有99%的把握认为学生是否喜欢阅 读与性别有关 D.没有99.9%的把握认为学生是否喜欢 阅读与性别有关 10.某中学统计了一个班40名学生中每 名学生的英语成绩和语文成绩，并制成了一 个不完整的2x2列联表，如下， 英语成绩 英语成绩 总计 及格 不及格 语文成绩 20 及格 语文成绩 11 不及格 总计 25 40 则 99%的把握认为学生的英语 成绩与语文成绩有关.（填“有”或“没 有”) 11.某医疗研究所为了检验某种血清预 防感冒的作用，把500名使用该血清的人与 另外500名未使用该血清的人一年中的感冒 次数进行统计，并利用2x2列联表计算得 X≈3.918，对此四名同学给出了以下说法： ①有95%的把握认为“这种血清能起到 第四章概率与统计。 预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，则他在一年中 有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%. 其中正确说法的序号是 12.有两个随机事件X和Y,其中一组 统计数据的2x2列联表如下。 Y 总计 X 15-a 15 x 20-a 30+a 50 总计 20 45 65 其中a,15-a均为大于5的整数，则当 时，在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“X与Y有关” 13.某校组织了团史知识测试，测试成 绩分为优秀与非优秀两个等级.随机抽查了 高一年级、高二年级各100名学生的测试成 绩，统计数据如下表 高一年级成绩 优秀 非优秀 女生 36 14 男生 32 18 高二年级成绩 优秀 非优秀 女生 44 6 男生 38 12 练 79 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 (1)根据给出的数据，完成下面的2×2 列联表： 优秀 非优秀 总计 女生 男生 总计 (2)根据(1)中列联表，判断能否有 90%的把握认为测试成绩是否优秀与性别 有关？ n(ad-bc)2 附：(a+b)c+aie)6+M, 其中n=a+b+ c+d. a=PX2≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.7063.841 6.635 14.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在 该批棉花中随机抽取了容量为120的样本， 测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm 纤维长度是棉花质量的重要指标)，所得数 据均在区间[20,32]内，从20开始，组 距为2确定计数区间，制作成如图所示的频 率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm 的棉花为优质棉， (1)求频率分布直方图中a的值. (80)练 (2)已知抽取的容量为120的样本棉花 产自A,B两个试验区，部分数据如表. A试验区 B试验区 总计 优质棉 10 非优质棉 30 总计 120 将2×2列联表补充完整.判断能否有 99.9%的把握认为是否为优质棉与A,B两 个试验区有关？ (3)若从这批120个棉花样本中随机抽 取3个，其中有X个是优质棉，求X的分 布列和数学期望， n(ad-be)2 附：X产ab)c+da+c)b+d)' 其中n=a+b+ c+d. a=PX≥k)） 0.1 0.05 0.010.005 0.001 k 2.7063.8416.6357.87910.828 ↓频率 组距 0.2----- 2a 0 20222426283032纤维长度/mm 第14题图 提升练习 15.两个随机事件A,B的样本频数如 下表，其中a=10,b=21,c+d=35.若有95% 的把握认为A与B有关，则c的值可以为 A A B a 6 d A.3 B.7 C.5 D.6 16.某校准备开设羽毛球兴趣班，在全 校范围内采用简单随机抽样的方法分别抽取 了男生和女生各100名作为样本，调查学生 是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图 所示的等高堆积条形图， (1)根据等高堆积条形图，填写下列 2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，认为该校学生是否喜欢羽毛 球运动与性别有关？ 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 (2)已知该校男生与女生人数相同，将 样本的频率视为概率，现从全校学生中随机 抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的 学生人数为X,求P(X=m)取得最大值时 m(m∈N)的值. 附： a=PX2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.0050.001 k 2.706 3.841 6.6357.87910.828 第四章概率与统计。 n(ad-bc)2 参考公式：X-(a4bC+a4e6+,其中 =a+b+c+d. 1.00 0.75 838 0.25 0.00 男生女生 口不喜欢☐喜欢 第16题图 练(8111.正0.99【解析】由表中数据，得y随x的增 大而增大，.该人每次最多答对题数y与次数x之间是 ∑w-7元 正相关，= V-7xVΣ- 600-7×4x19 68 17 V140-7x4xV2695-7x192V7x2V427x2.45 ≈0.99 12.e0【解析】令2=lny,由题得z=x-a.x=1+2+3+4 4 =多，346=号，心号3，解得a=2,2+ 4 2.将x=8代人上式，得z=10,y=e“,预估第8个月 预制菜市场规模为e0万元 13.解：(1)由条形统计图，得=写×1+2+3+4+ 5)-3,7广=写×(204+20+298+396+482)=320. ÷∑6k-=(1-34(2-343-34(4-345-3 10,∑(x-可(0-刀=(-2)x(-116)+(-1)x(-100)+0x(-2) ∑x-用(0y-习 +1×76+2×162=732, V-Vo 732 732 732=0.98 V10×V5596020V1339 748 川接近1，y与x具有很强的线性相关关系. 5 (x-司0-司 (2)6= 732=73.2,=-6x 立(- 10 320-73.2×3=100.4,.=73.2x+100.4. 由题意，知2026年对应的年份代码为7，当x=7 时，=73.2×7+100.4=612.8， 故预测2026年该公司的研发人数约为613. 14.解：(1)由y=cd,得lny=lnc+xlnd,令w=lny, 则w=lnc+xlnd,由题意，可得其相关系数 立(x-)w-） i=1 76 n= ). -=0.95. V4000x1.6 (ω-)2 参考答案。 由=a+bx2,u=x2,得=a+bu,由题意，可得其相关 ∑(u-m0-习 系数r2= 6×105 ≈0.96. V3x103×1296 .0.96>0.95,y与u的线性相关性较强，.回归方程= a+bx2更合适. (2)由(1)可知=+6x2更适合作为这个地区未成年 男性体重y与身高x的回归方程，令u=x2,则=+6u,则 立w-0g-7 6= -0=0.002,i-6m35.7-0.02x ∑(u-m 18750=-1.8,=0.002x2-1.8. (3)当x=170时，y=0.002×1702-1.8=56. 56×0.8=44.8,56×1.2=67.2,.该未成年男性的体 重应控制在[44.8,67.2]内. 提升练习 15.C【解析】由已知，可得x=3+4+6+7=5,= 4 2+2.5+4.5+7=4,4=1.2x5+a,解得=-2,8=1.2x-2. 4 由z=ny,得lny=1.2x-2,y=e2-2=e2.el2,则c=e2.故 选C. l6.e3【解析】对y=ce两边同时取对数，可得 Iny=ln (ce )=Inc+lne"*=cxx+lnc,=cx+lnc=0.3x+a, 20 可得c2=0.3,1nc1=a,由∑x,=600,∑lny,=120,可得x= = 30,lny=z=6,代入=0.3x+a,可得a=-3,则lnc1=a=-3, .c1=e3 4.3.2独立性检验 效果评价 1.C【解析】X=7.213>6.635,.有99%的把握认 为两个随机事件有关.故选C 2.C【解析】在犯错误的概率不超过0.01的前提 下认为这个结论是成立的，有99%的把握认为“高血 压与肥胖有关”，只是该结论成立的可能性为99%，与 有多少个人患高血压无关，更谈不上概率，故A,B,D 不正确，C正确.故选C 3.B【解析】由表可知女生有21人，其中经常锻炼 95 高中数学选择性必修第二册人教B版 的有7人，频率为7号，男生有19人，其中经容段 炼的有1人，频率为号号了，依据频率稳定于 概率的原理，可以认为学生是否经常锻炼与性别有关， 故①正确，②错误；‘X=40x14x1-7x8)2≈2,431< 21×19x22×18 3.841,:.没有95%的把握认为学生是否经常锻炼与性别 有关，故③错误，④正确.故选B. 4.C【解析】在两个随机事件的2x2列联表中，lad- bcl的值越小，两个随机事件有关的可能性越小.令lad- bcl=0,得10x26=18m,解得m≈14.4，.当m=14时，A 与B有关的可能性最小.故选C. 5.C【解析】：在全部105人中随机抽取1人，其 成绩优秀的概率为号，成绩优秀的人数为105×号 30,.∴.非优秀的人数为105-30=75，.c=30-10=20,b= 75-30=45,.X=105x10x30-20x452=36=6.109> 30x75×50x55 55 3.841,∴.有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关. 故选C. 6.A【解析】，X2=2.974<3.841,,.没有95%的把握 认为两个随机事件有关，X2=2.974>2.706,∴.有90%的 把握认为两个随机事件有关.故选A. 7.D【解析】对于选项A,B,C都有lad-bcl=10- 12=2,对于选项D,有lad-bc=15-8=7,显然7>2.故 选D. 8.ABD【解析】对于A,两个随机事件的2x2列联 表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个随机事 件有关系成立的可能性就越大，故A正确：对于B,对 随机事件X与Y的随机变量X来说，X的值越小，“X 与Y有关”的可信度越低，故B正确；对于C,从独立 性检验，可知有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关， 不是说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病，故 C错误；对于D,从独立性检验，可知有99%的把握认 为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1% 的前提下认为吸烟与患肺癌有关，故D正确.故选ABD. 9.ACD【解析】由题意，知280=0(280+)，p= (120+p),解得g=120,p=180,故A正确.补全2x2 列联表如表所示 96 男生 女生 总计 喜欢 280 180 460 不喜欢 120 120 240 总计 400 300 700 从该中学随机选一名学生，该学生喜欢阅读的概率 P460=65.79%,故B错误.X2-700x280x120-180x1202 700 460x240×400x300 ≈7.609,6.635<7.609<10.828，.有99%的把握认为学 生是否喜欢阅读与性别有关，没有99.9%的把握认为学 生是否喜欢阅读与性别有关，故C,D正确.故选ACD. 10.有【解析】由题意，可得2×2列联表如下 英语成绩 英语成绩 及格 不及格 总计 语文成绩 及格 20 4 24 语文成绩 5 11 16 不及格 总计 25 15 40 X-40x20x14x52=1.111>6.635,有99%的 25x15×24×16 把握认为学生的英语成绩与语文成绩有关」 11.①【解析】·X≈3.918>3.841，.有95%的把握 认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故填①。 12.9【解析】由题意，知X2≥6.635，即 65[a(30+a)-(20-a)(15-a)2-13(13a60Y≥6635，又 20x45×15×50 5400 .a>5且15-a>5,a∈Z,.∴a=9. 13.解：(1)由题得2×2列联表如下 优秀 非优秀 总计 女生 80 20 100 男生 70 30 100 总计 150 50 200 (2)'X=200x(80x30-70x20)2 ≈2.667<2.706，.没 100x100x150x50 有90%的把握认为测试成绩是否优秀与性别有关， 14.解：(1)由2(a+2a+4a+0.2+4a+a)=1,解得a= 0.025. (2)抽取的优质棉的样本数为120x2(4a+a)=120x2× 0.125=30,则抽取的非优质棉的样本数为120-30=90， 则2x2列联表如下， A试验区 B试验区 总计 优质棉 10 20 30 非优质棉 60 30 90 总计 70 50 120 2X-120x10x30-20x602≈10.286<10.828， 30x90x70x50 .没有99.9%的把握认为是否为优质棉与A,B两 个试验区有关 (3)X的取值范围为0,1,2,3}， 则Px-0)-忌-号87P=1=C-60 Ci2028084 P(X=2)=CC=3915 Ci028084’ 3-号-05 所以X的分布列如下表 X 0 2 3 P 2937 12015 3915 29 7021 28084 28084 2006 .∴E(X)=0x293 +1x12015 2x 3915 29 3 7021 28084 2808 +3×20064 提升练习 15.A【解析】由题意， 得2×2列联表如下. A A 总计 B 10 21 31 B 35-c 35 总计 10+c 56-c 66 则X2=66x[10(35-c)-21c2 当c=3时，X2≈5.831> 31×35×(10+c)(56-c) 3.841;当c=5时，X2≈3.024<3.841；当c=6时，X2≈ 2.045<3.841；当c=7时，X2≈1.292<3.841.故选A. 16.解：(1)由题意，2×2列联表如下 喜欢 不喜欢 总计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 总计 130 70 200 参考答案。 X2-200x75x45-55x252=8.791>6.635. 100×100x130x70 .·.能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该 校学生是否喜欢羽毛球运动与性别有关 (2)由列联表，可知该校学生喜欢羽毛球运动的频 率为80品随机变量X-B30,品， =m号-品 要使P(X=m)取得最大值，则需 c品-品=c81- c8-品=c号1-8 20/, 解得383≤m≤40，又meN,当m=20时，P涩 20 m)取得最大值. 一"阶段性练习卷（八) 1.A【解析】.变量x和y正相关，则回归直线的 斜率为正，故可以排除选项C和D.样本点的中心在 回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和 B中的直线方程进行检验，可以排除B.故选A. 2.C【解析】对于变量X与Y而言，Y随X的增大 而增大，故变量Y与X正相关，即>0；对于变量U与 V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关， 即r2<0,故r2<0<r.故选C. x0- 3.A【解析】方法一：利用公式6= ∑- 0.56.=bx=997.4.∴.回归直线方程为y=0.56x+997.4. 方法二：元=20，y=1008.6,将x,了代入各直线方 程检验，可知选A. 4.C【解析】A,B是对X2的误解，99%的把握认为 吸烟和患肺病有关，是指通过大量的观察试验得出的一 个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能 这100个人全健康. 5.A【解析】=72x8x18-4x322≈4.726>3.841. 22×50x40x32 故选A 6.D【解析】事件A与B相互独立，则A与B,A与 97