4.3.2 独立性检验-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦“独立性检验”，引导学生理解2×2列联表的统计意义，通过教学方式对比、性别与运动关系等实例引入，先讲解列联表构造与概率估计，再过渡到χ²统计量及独立性检验步骤，搭建从基础到应用的学习支架。 资料以新课标核心素养为导向，结合臭氧环境实验、微生物增长研究等生活实例培养数学抽象与建模能力，分层习题（基础填空、综合应用）强化数学运算，帮助学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题，提升解决实际问题的能力。

数学　选择性必修 第二册 RJ 4.3.2　独立性检验 课程标准：1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 教学重点：1.掌握作2×2列联表的方法.2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤． 教学难点：1.独立性检验的基本思想和χ2的含义.2.利用独立性检验解决简单实际问题． 核心素养：1.通过学习2×2列联表及其统计意义培养数学抽象素养.2.通过利用独立性检验解决实际问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　2×2列联表及随机事件的概率 把随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式，核心的数据是中间的4个格子，这样的表格通常称为2×2列联表． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 记n＝a＋b＋c＋d，则由表可知： (1)事件A发生的概率可估计为P(A)＝； (2)事件B发生的概率可估计为P(B)＝； (3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)＝． 知识点二　独立性检验 　(1)在2×2列联表中，定义随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 任意给定一个α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)．若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2<k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验． (2)统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示． α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [提醒]　查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的χ2相比较. 1．(2×2列联表)某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下面2×2列联表所示，则其中m＝________，n＝________． 单位：人 80分及以上 80分以下 总计 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 总计 56 44 n 答案：26　100 2．(独立性检验的基本思想)为了调查高中生的性别与是否喜欢踢足球之间有无关系，一般需要收集数据：______________________________． 若χ2≈7.8，则得到的正确结论是在犯错误的概率不超过________的前提下，可以认为“高中生喜欢踢足球与性别有关”． 答案：高中男、女生中喜欢和不喜欢踢足球的人数　1% 题型一　2×2列联表 例1　在一项有关医疗保健的社会调查中，调查的男性为530人，女性为670人，发现其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的2×2列联表． [解]　作2×2列联表如下： 单位：人 喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食 总计 男 117 413 530 女 492 178 670 总计 609 591 1200 【感悟提升】　作2×2列联表的关注点 (1)作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误． (2)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别． 【跟踪训练】　 1．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表． 单位：人 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 解：根据所给数据，完成2×2列联表如下： 单位：人 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 总计 55 45 100 题型二　独立性检验的基本思想 例2　在吸烟与患肺病这两个随机事件中，下列说法正确的是(　　) A．若χ2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个人患有肺病 B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指不超过5%的可能性使得推断出现错误 D．以上三种说法都不正确 [解析]　独立性检验的结果反映的是有关或无关的概率的大小，故A，B错误，C正确． [答案]　C 【感悟提升】　独立性检验的基本思想 (1)独立性检验的结果反映的是有关或无关的概率． (2)要研究A，B两个随机事件彼此是否相关，通过2×2列联表构造随机变量χ2.如果χ2的观测值较大，那么在一定程度上说明两个随机事件有较大把握相关． 【跟踪训练】　 2．(1)给出下列实际问题，其中不可以用独立性检验解决的是(　　) A．喜欢参加体育锻炼与性别是否有关 B．喝酒者得胃病的概率 C．喜欢喝酒与性别是否有关 D．青少年犯罪与上网成瘾是否有关 答案：B 解析：独立性检验主要是对两个随机事件是否有关进行检验，故不可用独立性检验解决的问题是B项．故选B. (2)通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下的2×2列联表： 单位：人 男 女 总计 爱好该项运动 40 20 60 不爱好该项运动 20 30 50 总计 60 50 110 由χ2＝，算得 χ2＝≈7.8. 附表： α＝P(χ2≥k) 0.05 0.01 　0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(　　) A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为是否爱好该项运动与性别有关 B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为是否爱好该项运动与性别无关 C．有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关 D．有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别无关 答案：C 解析：根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否爱好该项运动与性别有关，即有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．故选C. 题型三　独立性检验的实际应用 例3　一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1 32．6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7．8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2 19．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 (1)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表； 单位：个 ＜m ≥m 对照组 试验组 (2)根据(1)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 　　[解]　(1)依题意，可知这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数， 第20位数据为23.2，第21位数据为23.6， 所以m＝＝23.4， 故列联表为 单位：个 ＜m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 (2)由(1)可得，χ2＝＝6.4＞3.841， 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． 【感悟提升】　利用独立性检验解决实际问题的步骤 (1)根据实际问题的需要确定允许推断“两个随机事件有关”的显著性水平α，然后查表确定分位数k； (2)利用公式χ2＝计算随机变量χ2； (3)如果χ2≥k，推断“A与B有关”犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“A与B有关”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“A与B有关”． 【跟踪训练】　 3．微生物生态学的研究表明，水生生物中存在大量的有益微生物，这些有益水生微生物对于维持水质平衡具有非常重要的作用．研究人员为了研究某种有益水生微生物在特定营养物质浓度下的增长速率与水体类型(淡水或咸水)的关系，对100个水体环境样本中的有益水生微生物在一段时间内的数量进行了观察，经统计得到如下的列联表： 单位：个 快速增长 未快速增长 总计 淡水环境 a 25 咸水环境 10 b 总计 100 已知从这100个水体环境样本中随机抽取1个，该水体环境中的有益水生微生物属于“快速增长”的概率为. (1)求a，b； (2)在犯错误的概率不超过1%的前提下，能否认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关？在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，能否认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.01 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 解：(1)由题意，得＝，解得a＝30， 又a＋10＋25＋b＝100，解得b＝35， 所以a＝30，b＝35. (2)由(1)得，2×2列联表如下： 单位：个 快速增长 未快速增长 总计 淡水环境 30 25 55 咸水环境 10 35 45 总计 40 60 100 因为χ2＝≈10.774>6.635，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关． 因为χ2≈10.774<10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，不能认为该有益水生微生物“快速增长”与水体环境类型有关． 1.独立性检验显示：在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是(　　) A．在100个男性中约有90人喜爱喝酒 B．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10% C．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10% D．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90% 答案：D 解析：独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A，B错误；由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至多为10%，故C错误，D正确．故选D. 2．某工厂为了调查工人月收入与文化程度的关系，随机抽取了部分工人月收入情况，得到如下的2×2列联表： 单位：人 月收入4000元以下 月收入4000元及以上 总计 高中文化以上 9 44 53 高中文化及以下 19 30 49 总计 28 74 102 附表： α＝P(χ2≥k) 0.1 0.025 0.01 k 2.706 5.024 6.635 由上表中数据计算得χ2＝≈6.073，则认为工人月收入与文化程度有关系的把握为(　　) A．1% B．99% C．2.5% D．97.5% 答案：D 解析：由于6.073>5.024，故在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为工人月收入与文化程度有关系，即有97.5%的把握认为工人月收入与文化程度有关系． 3．(多选)下列关于χ2统计量的说法正确的是(　　) A．可以为负值 B．χ2的值越大，认为两个事件有关系的把握越大 C．当χ2的值很小时，不能推定两个事件不相关 D．χ2＝ 答案：BC 解析：χ2的值不可能为负值，故A错误；易知B正确；χ2的值很小时，只能说两个事件的相关程度低，不能推定两个事件不相关，故C正确；χ2＝，故D错误．故选BC. 4．为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表： 单位：人 爱运动 不爱运动 总计 男生 m 12 30 女生 8 20 总计 n 50 则m＝________，n＝________． 答案：18　24 解析：依题意可得2×2列联表如下： 单位：人 爱运动 不爱运动 总计 男生 18 12 30 女生 8 12 20 总计 26 24 50 故m＝18，n＝24. 5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表： 单位：人 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计 30 20 50 则在犯错误的概率不超过________(用百分数表示)的前提下，可以认为喜爱打篮球与性别有关． 答案：0.5% 解析：χ2＝＝ ≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为喜爱打篮球与性别有关． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 独立性检验的概念及辨析 独立性检验的基本思想 计算χ2的值；判断两事件有关系的把握 列联表；χ2的计算及两事件是否有关的判断 利用给定的事件有关的犯错误的概率求参数 根据列联表直观分析两事件是否有关 列联表中数据变化对χ2值的影响 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 在给定犯错误的概率的条件下判断两事件是否有关 求列联表中的参数；判断两事件有关系的把握 在给定犯错误的概率的条件下判断两事件是否有关 独立性检验与二项分布相结合 利用给定的事件有关犯错误的概率求参数 在给定犯错误的概率的条件下判断两事件是否有关 统计、二项分布、独立性检验的综合 一、选择题 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．事件A与B独立，即两个事件互不影响 B．事件A与B关系越密切，则χ2就越大 C．χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据 D．若判定两事件A与B相关，则A发生B一定发生 答案：AB 解析：由事件的独立性知，A正确；由独立性检验的意义知，B正确；χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C不正确；若事件A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D不正确．故选AB. 2．利用独立性检验对两个随机事件是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　) A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635 C．χ2≥7.879 D．χ2<7.879 答案：C 解析：有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率不超过0.5%，对应的k的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为χ2≥7.879. 3．某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，随机抽取了50人进行调查，数据如下表： 单位：人 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计 男性 18 9 27 女性 8 15 23 总计 26 24 50 则认为喜欢户外运动与性别有关系的把握为(　　) A．99% B．95% C．90% D．无充分依据 答案：B 解析：由表中数据得χ2＝≈5.059>3.841，所以有95%的把握认为喜欢户外运动与性别有关系． 4．(多选)在一次恶劣天气的飞行过程中，调查男、女乘客晕机的情况，相关数据如下表所示： 单位：人 晕机 不晕机 总计 男 a 15 女 6 d 总计 28 46 则下列说法正确的是(　　) A.> B．χ2<2.706 C．能在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为在恶劣天气飞行中，晕机情况与性别有关 D．不能在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为在恶劣天气飞行中，晕机情况与性别有关 答案：ABD 解析：由列联表数据知解得则＝＝>＝，故A正确；易知χ2＝≈0.775<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为在恶劣天气飞行中，晕机情况与性别有关，故B，D正确，C错误．故选ABD. 5．(多选)某校新开设了一门人工智能课程，该校团委对“学生喜欢人工智能课程是否与性别有关”做了一次调查，其中参与调查的男、女生人数相同，男生喜欢人工智能课程的人数占男生人数的，女生喜欢人工智能课程的人数占女生人数的.若认为喜欢人工智能课程与性别有关时，犯错误的概率不超过5%，但不能保证不超过1%，则参与调查的男生人数可能是(　　) A．25 B．45 C．60 D．40 答案：BC 解析：设参与调查的男生人数为5n(n∈N＋)，根据题意列出2×2列联表如下表所示： 单位：人 男生 女生 总计 喜欢人工智能课程 4n 3n 7n 不喜欢人工智能课程 n 2n 3n 总计 5n 5n 10n 则χ2＝＝，结合题意得3.841≤χ2<6.635，即3.841≤<6.635，得8.0661≤n<13.9335，因为n∈N＋，所以n的可能取值为9，10，11，12，13，因此，参与调查的男生人数可能为45，50，55，60，65.故选BC. 二、填空题 6．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 单位：人 收看文艺节目 收看新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？________(填“是”或“否”)． 答案：是 解析：因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄有关． 7．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍． 答案：2 解析：公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，则 ＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍． 8．为考察某种药物预防疾病的效果，利用小白鼠进行试验，得到如下2×2列联表： 单位：只 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 总计 30 75 105 则________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为药物有效． 附：χ2＝. α＝P(χ2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 答案：能 解析：根据2×2列联表，计算χ2＝＝≈6.109>5.024，所以能在犯错误的概率不超过2.5%的前提下认为药物有效． 三、解答题 9．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查，得到的数据如下表： 单位：人 男性 女性 总计 参与该项老年运动 p 8 x 不参与该项老年运动 q 32 y 总计 60 40 100 从参与该项老年运动的被调查者中随机抽取1人，这个人是男性的概率是. (1)求2×2列联表中p，q，x，y的值； (2)是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？ 参考公式及数据： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由已知可得＝， 所以p＝16，q＝44，x＝24，y＝76. (2)因为χ2＝≈0.585<2.706， 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． 10．为推动农村可持续生态农业的发展，某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果A和其他作物，并根据市场需求确定有机水果A的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下： 单位：人 喜欢有机水果A 不喜欢有机水果A 南方会员 80 40 北方会员 40 40 (1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率； (2)在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，能否认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关？ (3)已知农场CSA会员有2000人，其中南方会员有1200人，若喜欢有机水果A的人不低于1100人，则可种植50亩左右的有机水果A，否则只能种植30亩左右，试问该农场应怎样安排有机水果A的种植面积？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.05 0.025 0.005 k 3.841 5.024 7.879 解：(1)由题设， 南方会员中喜欢有机水果A的概率为P1＝＝， 北方会员中喜欢有机水果A的概率为P2＝＝， 所以南方、北方会员中喜欢有机水果A的概率分别为，. (2)χ2＝＝≈5.556>5.024， 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为是否喜欢有机水果A与会员的区域有关． (3)估计农场的CSA会员中喜欢有机水果A的人数为1200×＋800×＝1200>1100， 所以该农场可以种植50亩左右的有机水果A. 11．(多选)“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名进行问卷调查，得到以下数据，则(　　) 单位：人 喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据： ①χ2＝，n＝a＋b＋c＋d； ②当α＝P(χ2≥k)＝0.1时，k＝2.706. A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为 C．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85 D．没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关 答案：BD 解析：对于A，从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率P＝＝，故A错误；对于B，样本中不喜欢天宫课堂的频率为＝，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率P1＝C××＝，故B正确；对于C，抽取的喜欢天宫课堂的学生中，男、女生的人数分别为80，70，又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为＝，故C错误；对于D，因为χ2＝＝≈2.667<2.706，所以没有90%的把握认为喜欢天宫课堂与性别有关，故D正确．故选BD. 12．ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了A，B两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取m名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买A套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有99.5%的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则m的最小值为________． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 答案：170 解析：由题意可得用户类型与购买的套餐类型的2×2列联表如下： 单位：名 A B 总计 个人用户 m m m 公司用户 m m m 总计 m m m χ2＝＝>7.879，解得m>165.459，又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170. 13．(全国卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝. α＝P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)根据题意可得列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 由表中数据可得 χ2＝＝ ＝4.6875， 因为3.841<4.6875<6.635， 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64， 用频率估计概率可得＝0.64，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5， 则p＋1.65 ＝0.5＋1.65 ≈0.5＋1.65×≈0.57， 可知>p＋1.65， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． 14．为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，随机抽取了200名高三年级学生，整理数据得到如下频率分布直方图及列联表： 身高低于170 cm 身高不低于170 cm 总计 女 m 20 男 50 n 总计 200 (1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中m，n的值； (2)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，能否认为该市高三年级学生的身高是否低于170 cm与性别有关？ (3)将样本频率视为概率，在全市身高不低于170 cm的学生中随机抽取6人，其中身高不低于175 cm的人数记为X，求X的数学期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α＝P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)由题图可知，身高低于170 cm的学生有200×5×(0.005＋0.015＋0.030＋0.060)＝110(人)，则身高不低于170 cm的学生有200－110＝90(人)，从而m＝110－50＝60，n＝90－20＝70. (2)χ2＝ ＝＝ ≈21.549>10.828， 所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为该市高三年级学生的身高是否低于170 cm与性别有关． (3)样本中身高不低于175 cm的频数为(0.032＋0.008)×5×200＝40， 在身高不低于170 cm的样本中，身高不低于175 cm的频率为＝， 由题意，得X～B， 所以E(X)＝6×＝. 20 学科网（北京）股份有限公司 $