4.2.4 随机变量的数字特征-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 :随机变量专的数学期望E(E)-0器+1×品+2×0 `25 高即E0)=高 10 19.解：(1)记“甲队总得分为0分”为事件A, “甲队总得分为2分”为事件B,甲队总得分为0分，即 甲队三人都日答结误，其概率P心4)1号司 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其 余两人答对，其既率PB)-C号1-号)号 (2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙 队得1分”为事件D:事件C即乙队三人中有2人答 错，其余1人答对，则PC)=1-号×号x3+号x 1-子x2+号×号×1-2)=8，甲队得2分乙队 得1分即事件B,C同时发生，则PD)=P(B)P(C)=号× 5_10 1881 20.解：(1)设A,B(i=1,2,3)分别表示甲、 乙在第i次投篮投中，则乙获胜的概率为 PMB)HPI,a,B)+PBTBTB)=×兮+子× 子x好x写+×号×子x号x子x对6 (2)投篮结束时，乙只投了2个球的概率为 PM,B,B)+P,B1,BA=x号x×+×号 x3x2v13 43416 21.解：(1)设事件A:“答对第一个问题”，事 件B:“答对第二个问题”，事件C:“恰好答对一个问 题”，事件D:“至少答对一个问题”，由题意知事件A 与B相互对立，故C=ABUAB,且事件AB与AB互斥， PC)-P(ARUAR)-PAB+PaB)=分X1-号+-2 ×号品+ (2)由题意得，事件“两个问题都答错”可表示为 AB,且事件D与AB互为对立事件，于是P(D)=1-P(AB)= 1-iP1--x1-号1高品 84 4.2.4随机变量的数字特征 第1课时离散型随机变量的均值 效果评价 1.D【解析】E(X)=16,40p=16,∴p=0.4.故选D. 2B【解桥】由题得E00=(-1x分+0x兮1x石 -号，y=X+3,By)-kX0+3.号=ax写+3. 解得=2.故选B. 3.B【解折】Bl5,30,830,专， :B(m)=30x}=10.故选B. 4.C【解析】：随机变量X服从参数为p的两点分 布，.P(X=0)+P(X=1)=1,又P(X=0)=3-4P(X=1), PX=0=3,PX=I=号，E0)-0x3+1x号-=号， 故E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=2-1=1.故选C. 5.B【解析】E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数)， 而E(X)为常数，.E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0. 6.B【解析】抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚 反面向上的概率为号-表X-B80,6,则B0) =80x6-25,放选B. 7.A【解析】由题知X的取值范围是(1,2,3}， P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-P)2,则E(X) =p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.56,解得p<0.6或p> 2.4,又0<p<1,..0<<0.6.故选A. 8.ACD【解析】由题设，知随机变量X服从参数为 10,3,6的超几何分布，故A正确，B错误；P(X=2)= 答-分，故C正确：B0X0=0-号，故D正确放选 10 ACD. 9AD【解折】P=冬，放A选项正确： P(G仪-3)双六，放C选项错误：X的取值花国 为1,2，引.X=21令6名故B迹项错误： B0 -x+2x名x6名故D选项正确故选AD 10.号【解析】设黑球的个数为n,则-0，解得 1=3.X的取位粒围为1,2，动，PX=1=答-品 PX=2=瓷-号，PX=3)=图-0则X的分布 列如下表。 X 1 2 3 3 P 10 10 EX0=x1+x2+x=号 5 11.3【解析】抽到次品的个数专服从参数为15,3， 2的超几何分布，则EG)-器-号，放8(+1)-58G+ 1=3. 12.0.380.9【解析】第一次烧制后恰有一件工艺 品合格的概率P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1 0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.经过两次烧制后，甲 乙、丙三件工艺品合格的概率分别为P=0.5×0.6=0.3, P2=0.6×0.5=0.3,P=0.4×0.75=0.3,.随机变量X B(3,0.3),故E(X)=3×0.3=0.9. 提升练习 13.解：(1)由频率分布直方图，可知数学成绩落 在区间[70,110)内的频率为(0.004+0.012+0.019+ 0.030)×10=0.65, .数学成绩落在区间[110,140]内的频率为 1-0.65=0.35. 数学成绩落在区间[110,120)，[120,130)， [130,140]内的频率之比为4：2：1，.数学成绩落在区 间[10,120)内的频率为4+2035=02.：数学成 绩落在区间[70,100)内的频率为(0.004+0.012+0.019) ×10=0.35,.中位数落在区间[100,110)内，设中位 数为x,则(x-100)×0.030=0.5-0.35,解得x=105,所以 估计抽取的这100名学生数学成绩的中位数为105. (2)由(1)知数学成绩落在区间[100,130)内的 颜率为003x1040.2+427035-06,放X-B3,号， 2 X的取值范周为0,1,2,3引P心x=0-Cx号×1-号片 高P-1)--号-瓷.PI2-o号 1-专==3-x号-号品 参考答案。 X的分布列如下表 0 1 2 3 8 36 27 125 125 故E(X)=0x 8s+1x2x费+3x-号 14.解：(1)依题意，1天下午6点前的销售量不 少于350kg的概率P1-20-2 603 随机变量X的取值范围为{0,1,2}，P(X=0)=C× 号g,X10-cx号对-号，x-2-cx号 告，X的分布列如下表 X 0 1 2 P 4 9 49 则E0X)-0xg+1x号+2x号号 (2)当购进350kg这种有机蔬菜时，利润的期望值 为350x3x号+(300x3-50x2)x石+(250x3-100x2)×6 6 925;当购进400kg这种有机蔬菜时，利润的期望值为 400x3×480+(350x3-50x21×高+(30x3-10x2)×石+ 60 (250x3-1502×6-2g75.28 6 由925>2975_25，解得s>16,,1eN,5+= 36 35,17≤s≤34，s∈N,s的最小值是17. 第2课时离散型随机变量的方差 效果评价 1.C【解析】由题意，知E(X)=-1x4+0x了+1x4+ 2xg3故D)=1-gx好+0号jxg+1号x 4+2号×右8故选C 2.A【解析】设甲获胜的局数为y,则Y-B5,子)， 由题知X=10Y,故D(X)=D(10Y)=10D(Y)=10x5x号× 号=120.放选A 85 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.C【解析】~随机变量X服从参数为子的两点分 布，PX=0)=号，P0X=1)=号，则EX)-0xg+1x号 子，n(x0=0号xg+1-号x号-号PX10 E(X)=号，故A中结论正确：E(3X+2)=3E(X)+2=4, 故B中结论正确；D(3X+2)=9DX)=9x号-2，故C中 结论错误：D(X)=号，故D中结论正确，故选C 4.B【解析】由题意，可知X的取值范围为-2,0,2， PX-2号×号号，PX-2)3xg),PX-0)-C ×号×写=号，X0=号×2+(-2xg+号x0=号，放 )=2-号xg+-2号xg+0-号×号-9 故选B 5.A【解析】E(X)=0+p写p:+号p)(1+p) 子，EX-E0)D0=3x0号p写p-号+ (居n1号-子+号p+g-是号r3月 x-多号专8引号3-多骨 号p'=D(X).E(X)=E(X,D(X)=DX).故 选A. 6.C【解析1：随机变量X~B4,子，B(X) 4x1,DX)=x×1-4=子，故A不正确，B不 正确：甲连续投篮4次相当于4次独立重复试验，而 甲每次投篮的命中率均为4，则命中次数X-B4,子)， 故C正确：依题意，X不服从参数为4，子的二项分布， 故D不正确.故选C. 7.D【解析】由题意，知atb=)0<a号，0<b, 2 E(X)-jutat2b-3a2.E(X)-gxjtat4b-jotat 46,则DX)-E(Xx9)-E(X)jP=2c+a+46-(3a+26) 86 3c2ta+46-c2-6ad-46=3+a43-a）-}d- 6a分a)-43aj=4r-2at1=}a-4-3,又0cc 方，D0)e61小故选D 8.AC【解析】对于A,由题得EX)=(-1)x+0x 号+1x名=号，故A正确：对于B,由题得D(X) =1号×号+05x号+g-号.故B 误；对于C,由已知得X的分布列如下表. IXI 0 1 P 1 3 E0)=0x兮+1x号=号，放C正确：对于D DW)=0-号山-号x号-号，敢D福误散选 AC. 9.BC【解析】由题意，得4Cp3+Cp2(1-p)=p3+3p2= 冬.：函数f)p+32在(0,1)上单调递增，且 f2-子，p3,放A错误：8(X)=明=3x宁=号， 故B正确：DX)=即(1p)=3x2×1-分)=圣，故C正 确：E(Y)-1=E(2X+1)-1=2E(X)+1-1=3,D(Y)=2D(X) =3,则E(Y)-1=D(Y),故D错误.故选BC 10【解析】X-B(2,p),PX≥1)=了，1 C1-p片多，解得p=3,故DY)-D2+1)=40X= 4x21-p)=42xg×1-号-5 11.1(0,4)【解析】由题知E(传)=0·a+1-2a+ 2a=1.E(5)=0xa+14×(1-2a)+24×a=1+14a,E(52)=02× a+1×(1-2a)+22x=1+2a,∴D()=E()-[E(5)]2=1+14a-(1+ 2a)2=-4r+10a,ae0,3.令fa)=-4+10a,ae 0.之，则@在0.分上单调递增，得o)E0,4), 故D()∈(0,4). 12.号25【解析】记成功次数为X,则X-B(100,p), D0X)=10n(1p)≤10（号2广-25，当且仅当p=1p 即p=了时，等号成立.故当p=?时，成功次数的方差 最大，其最大值为25. 13.解：由题得E(X1)=0x0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04= 0.44,E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1=0.44,D(X1)= (0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2× 0.04=0.6064,D(X2)=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+ (2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.1=0.9264. E(X)=E(X2),D(X)<D(X2),两台机床加工零 件的次品数的均值相同，A机床加工零件的次品数的方 差较小，数据更稳定，故A机床的质量比较好。 14.解：(1)由已知，得X的取值范围为0,1,2头， Y的取值范围为{0,1,2}，则=X-Y的取值范围为 (-2,-1,0,1,21, P=-2-cx兮x号xcx兮x号° P(--1)-c(ccx gxcx刘gx号景 rG=0)-Cx号x3xcx3x号+Cx× (gxCx3x号)cx号x3xcx3x号° P6=I)-cx号x5×cx5x号4cx号x 号c3x号0 PG=2)-Cx号x3×cx3x-g 的分布列如下表。 -2 -1 0 1 2 2 16 8 8 27 8 81 放e)(-2x+1x是+17号 (2)由题意，随机变量.服从两点分布，不妨设 参考答案。 P(7=1)=P.,则P(m=0)=1-P 当1时，R号x号-合，则Dm-nI-0-号× 多品：当2时，P=2x号x时号号x刘号 (号2x写×号-9则Dm-n1-R9*号8 故D(n)>D(2)· 提升练习 15.C【解折】由题意，可得a+b=号，则6=号a, 0ac号.B00-lx+0a+lw-b-gg,E0n- -1xa40xb+1xg=g-a,则DX)=3×-1+a-g+ a0n号e1wgx号ao号+ 号axa+号--号a+8,pY)=a-1*a-3+ (号-ax0a+3x1+3-ma-号+号a× e-5×u+号r+号+号X.y是两个相互 独立的随机变量，D+V)=D)+DY)=-24号a+四 :函数)=-24号+9的图象开口向下，且对称辅为直 线x},函数)=-2+号+在0，号)上单调递增， 在（兮，号）上单调递减，因此随若a的增大，D(X+) 先增大后减小.故选C. 16.0.7【解析】由题意，知X-B(10,p).D(X)= 10p(1-p)=2.1, 21,pX=3)<PX=7),cp1-p)<Cap(1-p月， 解得 p=0.7. 4.2.5正态分布 效果评价 1.B【解析】e(x)=,e云=1一e器，故u V8T V2T x2 0,0=2. 2.A【解析】由两条正态曲线的对称轴的位置可知 山，又正态曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中，σ 越小，∴0<o2.故选A. 87高中数学选择性必修第二册人教B版 4.2.4随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 7.某实验测试的规则是：每位学生最多 效果评价 可做实验3次，一旦实验成功，则停止实 1.设随机变量X~B(40,P),且E(X)=验，否则一直做到3次为止.设某学生一次 16,则p等于() 实验成功的概率为p(0<p<1),实验次数为 A.0.1B.0.2C.0.3 D.0.4 随机变量X,若X的数学期望E(X)>1.56, 2.已知X的分布列如下表所示 则p的取值范围是() -1 0 A.(0,0.6) B.(0,0.8) C.(0.6,1) D.(0.8,1) 3 6 8.(多选题)一个袋中装有大小相同的 且ym+3,By)=子，则a等于（ 4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球， 设取出的3个小球中白球的个数为X,则下 A.1 B.2 C.3 D.4 列结论正确的是（) 3.已知g-Bm,3,-Bn,号，且 A.随机变量X服从参数为10,3,6的 超几何分布 E()=15,则E(n)=(） A.5 B.10C.15 D.20 B随机变量X服从参数为3，号的二 4.已知离散型随机变量X服从参数为p 项分布 的两点分布，且P(X=0)=3-4P(X=1),随机 变量Y=3X-1,则E(Y)=() C.PCX-2)-2 A.-1B.0 C.1 D.2 D.B00-号 5.若X是一个随机变量，则E(X-E(X)) 9.(多选题)将3个不同的小球随机放 的值为() 入4个不同的盒子，用X表示空盒子的个 数，则下列结论正确的是() A.无法求出 B.0 C.E(X) D.2E(X) A.P-D)= 6.同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次， 设5枚硬币恰好出现2枚正面向上、3枚反 BPK-2)-君 面向上的次数为X,则X的均值为() cP-=34 A.20 B.25 C.30 D.40 DX)君 50)练 第四章概率与统计。 10.某袋中装有大小相同且质地均匀的 学成绩在[100,130)内的学生人数为X, 黑球和白球共5个，从袋中随机取出3个 求X的分布列与数学期望 球，已知取出的3个球全为黑球的概率为 频率 0记取出的3个球中是球的个数为X,则 丰组距 0.030 0.019 E(X)= 0.012 11.从一批含有13个正品、2个次品的产 0.004- 708090100110120130140分数 品中不放回地抽取3次，每次抽取1个，设 第13题图 抽到次品的个数为专，则E(5+1)= 12.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件 不同的工艺品，制作过程必须经过两次烧 制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧 制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有 的技术水平，第一次烧制，甲、乙、丙三件 工艺品合格的概率分别为0.5,0.6,0.4，第 二次烧制，甲、乙、丙三件工艺品合格的概 率分别为0.6,0.5,0.75，则第一次烧制后 恰有一件工艺品合格的概率为 ；经 过两次烧制后，设合格工艺品的件数为X, 则随机变量X的均值为 提升练习 13.某校为了检验高三学生放假期间在 家的学习成果，组织了一次模拟考试，从中 抽取了100名学生的数学成绩，绘制成如图 所示的频率分布直方图，其中数学成绩落在 区间[110,120)，[120,130)，[130,140] 内的频率之比为4：2：1. (1)根据频率分布直方图求学生数学成 绩在区间[110,120)内的频率，并估计抽 取的这100名学生数学成绩的中位数， (2)若将频率视为概率，从全校高三年 级学生中随机抽取3人，记抽取的3人的数 练(51 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 14.某超市每天以4元/kg购进某种有机 蔬菜，然后以7元kg出售.若每天下午6点 以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则 对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元kg 出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬 菜全部处理，且当天不再进货.该超市整理 了过去两个月（按60天计算）每天下午6 点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：kg), 得到如下统计数据.（注：视频率为概率，s, teN) 每天下午6点前 250 300 350 400450 的销售量kg 天数 10 10 t 5 (1)在接下来的2天中，设X为下午6 点前的销售量不少于350kg的天数，求X的 分布列和数学期望 (2)已知该超市以当天利润的期望值为 决策依据，当购进350kg的期望值比购进 400kg的期望值大时，求s的最小值. (52)练 第四章概率与统计。 第2课时 离散型随机变量的方差 效果评价 c四 D. 1.设随机变量X的分布列如下表所示 5.已知随机变量X,(i=1,2)的分布列 如下表所示. X -1 0 1 2 1 4 X 0 3p, 1+p 4 3 6 P 3 2 p 3 Pi 则D(X)等于() A器 B.29 其中0<号， 若P<印2， 2 且p1p2=3, 7 cs D贵 则() A.E(X1)=E(X2),D(X1)=D(X2) 2.已知甲、乙两人进行五局比赛，甲每 B.E(X1)>E(X2),D(X)>D(X2》 局获胜的概率是}，且各局的胜负相互独 C.E(X)=E(X2),D(X1)>D(X2) 立.若甲胜一局的奖金为10元，设甲获得的 D.E(X)<E(X2),D(X)<D(X2) 奖金总额为X元，则甲获得的奖金总额的方 6.已知随机变量X-B4,4,则下列 差D(X)=( ) 说法正确的是（) A.120 B.240 A.E(X)=2 C.360 D.480 3.若随机变量X服从参数为2的两点 B.D(X) 分布，E(X),D(X)分别为随机变量X的均 C.若甲每次投篮的命中率均为}，且 值与方差，则下列结论不正确的是() 各次投篮结果互不影响，则X可以表示甲连 A.P(X=1)=E(X) 续投篮4次的命中次数 B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.若一个不透明盒子中装有大小相同、 D.DX)-号 质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可 以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球 4.小明参加某射击比赛，射中得1分，：后抽到的绿球个数 未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为 7.已知随机变量X的分布列如下表所示 子，记小明射击2次的得分为X,则DX)= X a ( 2 a b A.S B.16 9 练 53 高中数学选择性必修第二册人教B版 则D(X)的取值范围是() 13.A,B两台机床同时加工零件，每生 A.[-3,+0) B.[-3,1) 产一批数量较大的产品时，出次品的概率如 c6+ D61 下表所示： A机床： 8.(多选题)已知随机变量X的分布列 如下表所示 次品数X 0 2 X -1 0 1 P 0.7 0.2 0.060.04 2 3 B机床： 6 则下列结论正确的是( ) 次品数X2 0 2 A.E(X)=-1 B.D(X)=23 P 0.8 0.060.040.1 3 7 试判断哪台机床的质量比较好 C.E(IX)=2 D.D(LXI)- 9.(多选题)已知X~B(3,p)(0<<1), 4p(X=3)+P(X=2)=尽，且Y=2X+1,则 () A. B.E(X)=3 C.DX) D.E(Y)-1=2D(Y) 10.已知随机变量X,Y满足X~B(2,p), y-2X+1,且K≥I0=号，则DY= 11.下表是随机变量的分布列，其中 0<a<},则E(传)= D(ξ)∈ 0 2 a 1-2a 12.设一次试验成功的概率为p,则在 100次伯努利试验中，当p= 时，成 功次数的方差最大，其最大值为 (54)练 第四章概率与统计。 14.上学期间，甲每天7：30之前到校的 提升练习 概率为号， 乙每天7：30之前到校的概率为 子·假定甲、乙两位同学到校时间互不影 15.已知a,b∈R,两个相互独立的随 机变量X,Y的分布列分别如下表所示 响，且任一同学每天到校时间相互独立 -1 0 (1)在上学期间随机选择两天，记X为 1 6 甲7：30之前到校的天数，记Y为乙7：30之 前到校的天数，令=X-Y,求的分布列和 0 数学期望， (2)在上学期间随机选择n天，若在这 3 n天中，甲7：30之前到校的天数多于乙，则 则随着a的增大，D(X+Y)( 记m=1,否则记7m=0,比较D(1),D(2) A.一直增大 的大小 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 16.某学校开展以“拥抱春天，播种绿 色”为主题的植物种植实践体验活动.已知 某种盆栽植物每株成活的概率为p,各株是 否成活相互独立.该学校的某班种植了10株 此种盆栽植物，设X为其中成活的株数.若 X的方差D(X)=2.1,P(X=3)<P(X=7),则 p= 练(55