4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差 [课时跟踪检测] 1.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　D(2X+1)=4D(X)=4×1=4. 2.[多选]已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则 (　　) A.E(X)= B.D(X)= C.D(X)= D.E(X)= 解析:选AC　∵E(X)=1×+2×+3×+4×=,∴D(X)=×+×+×+×=. 3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则D(ξ)等于 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.5 解析:选A　同时抛掷两枚均匀的硬币一次,两枚硬币同时出现反面的概率为P==, ∴ξ~B,∴D(ξ)=10××=. 4.投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元)分别如下表: 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是 (　　) A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大 C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高 解析:选C　甲收益的期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29,乙收益的期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,方差D(Y)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),则投资股票甲、乙的期望收益相等,投资股票甲比投资股票乙的风险高. 5.小明参加某射击比赛,射中得1分,未射中扣1分,已知他每次能射中的概率为,记小明射击2次的得分为X,则D(X)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选B　由题意可知,X的取值可能为-2,0,2,因为P(X=2)=×=,P(X=-2)=×=,P(X=0)=××=,所以E(X)=×2+(-2)×+×0=,故D(X)=×+×+×=. 6.已知随机变量X~B(5,p)(0<p<1),若P(X=2)+P(X=3)=,且Y=2X+1,则D(Y)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.5　　　　D.6 解析:选C　因为P(X=2)+P(X=3)=p2(1-p)3+p3(1-p)2=,所以p2(1-p)2=,即p(1-p)=,解得p=,所以D(X)=5××=.又Y=2X+1,所以D(Y)=22D(X)=4×=5. 7.已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,则a+b的值是 (　　) A.1或2 B.0或2 C.2或3 D.0或3 解析:选B　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=, D(X)=×+×+×+×+×=.由D(η)=a2D(X),得a2×=11,即a=±2.又E(η)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×+b,得b=-2,此时a+b=0;当a=-2时,由1=-2×+b,得b=4,此时a+b=2. 8.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白色圆玻璃球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球,记白色圆玻璃球落入格子的编号为X,则随机变量X的期望与方差分别为 (　　) A.2, B.2,1 C.3,1 D.3, 解析:选C　白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均为,则向左的次数服从二项分布B.因为P(X=1)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,P(X=4)=×=, P(X=5)=×=,所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=1. 9.(5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则a=　　　　,b=　　　　. X -1 0 1 2 P a b c 解析:由题意知解得 答案:　 10.(5分)已知随机变量X,且D(10X)=,则X的标准差为　　　　.  解析:由题意可知D(10X)=, 即100D(X)=,所以D(X)=, 所以=,即X的标准差为. 答案: 11.(10分)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)=, (1)求D(X)的值;(7分) (2)若Y=3X-2,求的值.(3分) 解:(1)由题意可得解得所以D(X)=×+×+×=. (2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=9D(X)=5,所以=. 12.(10分)元旦晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球,这些球除颜色外完全相同,参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率;(4分) (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差.(6分) 解:(1)设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)==, 所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. (2)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4. 则P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=2)=+=,P(X=3)==,P(X=4)==. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=. 13.(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜的比赛制度,规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数. (1)求随机变量X的分布列和期望E(X);(7分) (2)若0<p<,设随机变量X的方差为D(X),求证:D(X)<.(8分) 解:(1)由题意知随机变量X可能的取值为2,3,则P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=2p2(1-p)+2p(1-p)2=2p-2p2,故X的分布列为 X 2 3 P 2p2-2p+1 2p-2p2 故E(X)=2×(2p2-2p+1)+3×(2p-2p2)=-2p2+2p+2. (2)证明:由(1)知,D(X)=Pi-[E(X)]2=4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2, 令t=2p-2p2=-2+,因为0<p<<,故0<t<,此时4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2=4(1-t)+9t-(t+2)2=-t2+t.因为二次函数y=-t2+t关于t=对称,又0<t<,当t=时,y=,所以-t2+t<,即D(X)<. 学科网（北京）股份有限公司 $