4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 A.21 B.7 效果评价 C.24 D.56 1.袋中有3个白球和5个黑球，从中任 5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中 取2个，则可以作为随机变量的是() 有三道抢答题，规定：对于每一道题，没有 A.至少取到1个白球 抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的 B.取到白球的个数 得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即 C.至多取到1个白球 得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的 D.取到的球的个数 得分（分数高者胜），则X的所有可能取值 2.先后抛掷一个骰子两次，记随机变量：之和是( 专为两次掷出的点数之和，则的取值范围 A.3 B.4 是() C.5 D.6 A.1,2,3,4,5,6 6.下列叙述中是离散型随机变量的为 B.{2,3,4,5,6,7} C.{2,4,6,8,10,12 A.将一枚质地均匀的硬币抛掷五次， D.2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 出现正面和反面向上的次数之和 3.袋中有除颜色外完全相同的红球6 B.某人早晨在车站等出租车的时间 个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球 C.连续不断地射击，首次命中目标所需 (不放回)，直到取出的球是白色为止，记取： 要的次数 球停止时取到的红球个数为随机变量X,则 D.袋中有2个黑球和6个红球，任取2 表示“第5次取到白球”的事件为（) 个，取得1个红球的可能性 A.X=3 7.若P(5≤n)=1-a,P(传≥m)=1-b,其 B.X=4 中m<n,则P(m≤≤n)等于() C.X=5 A.atb D.X=4或X=5 B.1-(a+b) 4.一个木箱中装有8个同样大小的篮 C.1-(a-b) 球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8， D.a-b 现从中随机取出3个篮球，用X表示取出的 8.(多选题)已知X是一个离散型随机 篮球的最大号码，则“X=8”表示的试验结： 变量，则下列说法中正确的是（) 果的种数为（) A.X取每一个可能值的概率都是非负数 40)练 第四章概率与统计。 B.X取所有可能值的概率之和为1 (2)若规定每抽到一个白球加5分，抽 C.X取某两个可能值的概率等于取其中到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上 每个值的概率之和 6分，求最终得分η的取值范围，并判定7 D.X在某一范围内取值的概率大于它 的随机变量类型. 取这个范围内各个值的概率之和 9.(多选题)已知随机变量X的取值范 围为0,1,2，且P(X=0)=3,PX=1)= },P(X=2)=a若随机变量Y满足Y=3X- 1,则下列说法正确的是() A= B.P(X>1)- CPY=2)=号 D.P(Y<2)=0 10.已知X,Y均为离散型随机变量，且 X=2Y,若X的取值范围为{0,2,4)，则Y 的取值范围为 11.从4名男生和2名女生中任选3人 参加演讲比赛，用随机变量X表示所选3人 中女生的人数，则“X≤1”表示 12.将4把串在一起的钥匙逐一试开1 把锁，其中只有1把钥匙能打开锁，依次试 验，打不开锁的钥匙扔掉，直到找到能打开 锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取 值为 13.一个袋中装有5个白球和5个黑球， 从中任取3个，其中所含白球的个数为 (1)列表说明可能出现的结果与对应的 专的值， 练(41 高中数学选择性必修第二册人教B版 14.写出下列随机变量的取值范围，并 16.某校数学期末考试中有8道单项选 说明随机变量取值所表示的随机试验的结果 择题，满分40分，每道题有4个选项，其 (1)在10件产品中有2件是次品，8件 中有且仅有一个是正确的，评分标准规定： 是正品，任取3件，取到正品的件数 答对得5分，不答或者答错得0分.某考生 (2)在10件产品中有2件次品，8件正 每道选择题都选出了一个答案，能确定其中 品，每次取1件，取后不放回，直到取出2 有4道题的答案是正确的，而其余4道题 件次品为止，抽取的次数专 中，有1道题可以排除2个错误选项，有2 (3)在10件产品中有8件正品，2件次 道题都能排除1个错误选项，还有1道题因 品，每次取1件，取后放回，直到取到两件 题意理解不清，只能随机猜测， 次品为止，抽取的次数 (1)求该考生单项选择题得40分的 (4)在10件产品中有8件正品，2件次 概率 品，每次取1件，取后放回，共取5次，取 (2)该考生单项选择题得多少分的概率 到正品的件数 最大？ 提升练习 15.在一次比赛中，需回答三个问题， 比赛规定：每题回答正确得100分，回答不 正确得-100分，则选手甲正确回答这三个 问题的题数X的取值范围是 选手甲回答这三个问题的总得分Y的取值范 围是 (42)练=P4B)-5_3 P(A) 2 =51 3 方法二：.n(AB)=12,n(A)=20, ∴.P(BA)=n(AB)=12_3 n(A)205 14.解：设A=“第一次患病心肌受损害”，A=“第 二次患病心肌受损害”，则所求概率为P(AA2).由题意 可知P(A1)=0.3,P(A,M1)=0.6.又P(A1)=1-P(A1)=0.7, P(AA1)=1-P(AA1)=0.4, .P(AA2)=P(A1)P(A2A)=0.7×0.4=0.28. >"4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 效果评价 1.B【解析】根据随机变量的定义，知选项B是随 机变量，其可能取值为0,1,2，其他三个选项均不能 作为随机变量.故选B 2.D【解析】随机变量专表示两次掷出的点数之 和，的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9， 10,11,12,故的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8， 9,10,11,12}.故选D. 3.B【解析】从袋中每次任意取出1个球，直到取 出的球是白色为止，则“第5次取到白球”表示前面4 次均取到红球，故可表示为X=4.故选B. 4.A【解析】由题知“X=8”表示3个篮球中有1 个篮球的编号是8，另外2个从剩余7个篮球中任选， 有C=21种选法，即“X=8”表示的试验结果有21种 故选A 5.C【解析】若甲抢到一道题但答错，乙抢到两道 题都答错，则X=-1:若甲没抢到题，乙抢到三道题但 答错两道题或全答错，或甲抢到两道题，答题结果为一 对一错，乙抢到一道题但答错，则X=0:若甲抢到一道 题并答对，乙抢到两道题，答题结果为一对一错或全 错，或甲抢到三道题，答题结果为两对一错，则X=1; 若甲抢到两道题且全答对，则X=2;若甲抢到三道题且 全答对，则X=3.故X的所有可能取值之和为-1+0+1+ 2+3=5.故选C 6.C【解析】对于A,抛掷硬币只有正面向上和反 面向上两种结果，则抛掷五次出现正面和反面向上的次 参考答案。 数之和为5，是常量，A错误；对于B,等出租车的时 间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变 量，B错误；对于C,连续不断地射击，首次命中目标 所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型 随机变量，C正确；对于D,事件发生的可能性不是随 机变量，D错误.故选C 7.B【解析】P(m≤≤n)=1-P(>n)-P(<m)=1-[1- (1-a)]-[1-(1-b)]=1-(a+b).故选B. 8.ABC【解析】对于A选项，X取每一个可能值的 概率是非负数，故A选项正确：对于B选项，X取所有 可能值的概率之和为1，故B选项正确；对于C选项， X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之 和，故C选项正确：对于D选项，X在某一范围内取值 的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选 项错误.故选ABC. 9AC【解析】由题可知兮+乃+a=1,解得a=石 故A正确：PX>1)=PX=2)=石，故B错误：PY=-2) PX=I)=7,故C正确：PY<2)=P(X<1)=P(X=0)=了， 故D错误.故选AC 10.0,1,2【解析】X=2Y,Y=X,又X的 取值范围为{0,2,4)，Y的取值范围为{0,1,2}. 11.所选3人中至多有1名女生【解析】“X≤1” 包含“X=1”和“X=0”两种情况，故“X≤1”表示所 选3人中至多有1名女生 12.3【解析】由于是依次试验，因此可能前3次都 打不开锁，则剩下的最后一把钥匙一定能打开锁，·.试 验次数X的最大可能取值为3. 13.解：(1) 0 1 2 3 取得1个取得2个 取得3个 取得3个 结果 白球，2白球，1 黑球 白球 个黑球个黑球 (2)由题意，可得=5+6，·苦的取值范围为0,1， 2,3},∴m的取值范围为{6,11,16,21，显然n为离 散型随机变量 14.解：(1)专的取值范围为(1,2,3}，=k(k= 1,2,3)表示取到k件正品. 79 高中数学选择性必修第二册人教B版 (2)的取值范围为{2,3,4，…，10}，=k(k= 2,3,…,10)表示取了k次，第k次取得次品，前 (k-1)次只取得1件次品. (3)专的取值范围为{2,3,4，…}，专=k(k= 2,3,4,…)表示取了k次，前(k-1)次取得1件次 品，第k次取得次品 (4)专的取值范围为0,1,2,3,4,5}，=k(k= 0,1,2,3,4,5)表示抽取5次共取得k件正品. 提升练习 15.{3,2,1,01{300,100,-100,-300)【解 析】易知X的取值范围是{3,2,1,0)，相应得分为 300分、100分、-100分、-300分，因此甲回答这三个 问题的总得分Y的取值范围为300,100，-100，-300}· 16.解：(1)由题设，知在其余4道题中，有1道 题答对的概率为}，有2道题答对的概率为了，还有1 道题答对的概率为，该考生单项选择题得40分的 概率为2兮×3×好方 (2)设该考生单项选择题的得分为X,则X的取值 范围为{20,25,30,35,40}·依题意，得P(X=20)= ×号×号号-P-25)=号x号×号+2x× ×号×子+分××号x同理，可得PX=0 号.P0X=35)=),PX=40=7 1 .P(X=25)>P(X=30)>P(X=20)>P(X=35)>P(X=40), .该考生单项选择题得25分的概率最大 4.2.2离散型随机变量的分布列 效果评价 1.C【解折】依题意，得+1-24+2-2-2+1， 即42-4g+1=(2g-1)0,解得g=7.故选C. 2.A【解析】P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 1+1=3=0.6,解得n=5.故选A nnn 3.C【解析】由题知0.1+m+0.3+2m=1,解得m=0.2, .P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2=0.3.故选C 80 4.B【解析】由题意，得0.21+0.20+0.05+0+0.10+ 0.10+00.10=l,化简，得10x+=24,又x,yeN且 ,ye[0,9],=2,y=4,P3<X<=-X=2+ P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故选B. 5.A【解析】由题意，得P(=1)+P(=2)+P(=3)= m+2m+3ml,解得m=石，P6≤3-P5I)*P5=2归 石+日2-}放运A 6.D【解析】由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= 受+名+0l,解得a,放P<3)=PX= X2》京名放选D 7.D【解析】“X=3”表示前2次未抽到中奖彩票， 第3次描到中火彩票，放PX3=答--名故 选D 8.ABD【解析】对于A,由分布列的性质，可得 0.2+m+n+0.1=1,则m+n=0.7,故A正确；对于B,若 m=0.3,则n=0.4,∴.P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.4+0.1= 0.5,故B正确；对于C,由概率的定义及分布列的相关 性质可知0.7≥m≥0,0.7≥n≥0，故C不正确：对于D, 由已知，得P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,∴P(X=1)=2P(X= 6),故D正确.故选ABD. 9.ABC【解析】：随机变量专的概率分布为P5专】 =k(a=l,2.3,4,5),P6写+P6=号+P6 +P5=号)+P51)=a+2a+3a+4a+5a=15a-l,解得a=5 放A正确：P2号=P5号3x55,放B正 确：P0号=P写HP号=5+2站方故 C正确：P)=5x5兮≠品故D船误故选ABC 10.【解析】由题意，得随机变量X的分布列如 下表 3 5 5 a 2a 3a 4a 5a