4.2.1 随机变量及其与事件的联系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.1　随机变量及其与事件的联系 [课时跟踪检测] 1.[多选]给出下列四个命题正确的是 (　　) A.某次数学期中考试中,其中一个考场30名考生中做对选择题第10题的人数是随机变量 B.黄河每年的最大流量是随机变量 C.某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量 D.方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量 解析:选ABC　选项A、B、C对应的量都是随机的实数,故正确;选项D中方程x2-2x-3=0的根有2个是确定的,不是随机变量. 2.下列叙述中,是离散型随机变量的为 (　　) A.将一枚均匀的硬币掷五次,出现正面和反面向上的次数之和 B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数 D.袋中有2个黑球、6个红球,任取2个,取得一个红球的可能性 解析:选C　选项A,掷硬币不是正面向上就是反面向上,次数之和为5,是常量;选项B,是随机变量,但不能一一列出,不是离散型随机变量;选项D,事件发生的可能性不是随机变量. 3.袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是 (　　) A.25　　　　B.10　　　　C.15　　　　D.9 解析:选D　由题意得,两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个. 4.袋中装有5个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回3个红球”事件的是 (　　) A.ξ=4　　　　　　　　B.ξ=5 C.ξ=6　　　　　　　　D.ξ≤5 解析:选A　依题意“放回3个红球”表示前3次摸到黑球,第4次摸到红球,故ξ=4. 5.抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差,则X的取值范围为 (　　) A.{X|0≤X≤5,X∈N}　　　　　　　　B.{X|-5≤X≤0,X∈Z} C.{X|1≤X≤6,X∈N}　　　　　　　　D.{X|-5≤X≤5,X∈Z} 解析:选D　因为两枚骰子的点数均可能为1~6的整数,所以X∈{X|-5≤X≤5,X∈Z}. 6.抛掷2枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是 (　　) A.2枚都是4点 B.1枚是1点,另1枚是3点 C.2枚都是2点 D.1枚是1点,另1枚是3点,或者2枚都是2点 解析:选D　A表示的是随机试验中ξ=8的其中一个结果,B、C表示的是随机试验中ξ=4的部分结果,而D是代表随机试验中ξ=4的所有试验结果. 7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值之和是 (　　) A.3　　　　　　　　B.4 C.5　　　　　　　　D.6 解析:选C　若甲抢到一题但答错,乙抢到两题都答错,则X=-1;若甲没抢到题,乙抢到三题但答错两题或全错、甲抢到两题,一对一错,乙抢到一题但答错,则X=0;若甲抢到一题并答对,乙抢到两题一对一错或全错、甲抢到三题,两对一错,则X=1;若甲抢到两题且答对,则X=2;若甲抢到三题且答对,则X=3,∴X所有可能取值之和为-1+0+1+2+3=5. 8.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为 (　　) A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 解析:选D　由题意ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是一件次品. 9.(5分)已知X,Y均为随机变量,且X=2Y,若X的所有可能取值为0,2,4,则Y的所有可能取值为　　　.  解析:因为X=2Y,所以Y=X.又因为X∈{0,2,4},所以Y∈{0,1,2}. 答案:0,1,2 10.(5分)将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁,其中只有1把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能打开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为　　　　.  解析:由于是依次试验,可能前3次都打不开锁,则剩下一把一定能打开锁,所以试验次数X的最大可能取值为3. 答案:3 11.(5分)小王钱包中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张用来买晚餐,用X表示这两张金额之和,则X的可能取值为　　　　　　　　.  解析:由题意,随机变量X的可能取值为6,11,15,21,25,30. 其中,X=6表示“抽到的是1元和5元”; X=11表示“抽到的是1元和10元”; X=15表示“抽到的是5元和10元”; X=21表示“抽到的是1元和20元”; X=25表示“抽到的是5元和20元”; X=30表示“抽到的是10元和20元”. 答案:6,11,15,21,25,30 12.(5分)一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字,只记得最后三个数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同),设他拨到所要号码的次数为ξ,则随机变量ξ的可能取值共有　　　　种. 解析:因为后三位数字两两不同,且都大于5,所以只能是6,7,8,9中的三个数字,所以有=24种. 答案:24 13.(5分)甲进行3次射击,记甲击中目标的次数为ξ,则ξ的取值范围为　　　　　　;若已知甲一次也未中的概率为0.05,则他至少击中一次的概率为　　　　.  解析:甲在3次射击中,可能一次也未中,也可能中1次,2次,3次,故ξ的可能取值为0,1,2,3.因为一次也未中的概率为0.05,即P(ξ=0)=0.05,所以P(ξ>0)=1-0.05=0.95. 答案:{0,1,2,3}　0.95 14.(10分)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(3分) (2)若规定抽取的3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分.求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.(7分) 解:(1) ξ 0 1 2 3 结果 取得3个黑球 取得1个白球,2个黑球 取得2个白球,1个黑球 取得3个白球 (2)由题意可得η=5ξ+6, 而ξ可能的取值为0,1,2,3, 所以η对应的各值是 5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6. 即6,11,16,21,显然η为离散型随机变量. 15.(10分)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可获得价值分别为1 000元, 2 000元,3 000元的奖品(奖品重复设立),小王对三关中每个问题回答正确与否相互之间没有影响,用X表示小王所获奖品的价值,写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果. 解:X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000, X=0表示“第一关就没有通过”; X=1 000表示“第一关通过,而第二关没有通过”; X=3 000表示“第一、二关通过,而第三关没有通过”; X=6 000表示“三关都通过”. 学科网（北京）股份有限公司 $