3.1.3 组合与组合数-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 8.(多选题)下列等式一定正确的是 效果评价 1.10x9×8xx4可表示为() A.(n+1)A"=A 1×2x3×…×7 n! A.Afo B.Aio C.C。 D.Cio n(n-1)=(n-21 B. 2.将6本相同的书分给8名学生，每人 C.Cr=A2 至多分1本，而且书必须分完，则不同的分 Γn! 法种数是() D.1 AT=A: n-m A.AS B.C C.68 D.86 9.(多选题)在50件产品中，有47件 3.从4名男学生、5名女学生中选出3 合格品，3件不合格品，从这50件产品中任 名学生，男、女学生都有的选法有( B.44种 意抽取4件，则下列结论正确的有() A.140种 C.70种 D.252种 A.抽取的4件产品中至少有1件是不 合格品的抽法有(C+CC,)种 4.计算： Co0+C980 B.抽取的4件产品中至少有1件是不合 A名 B.101 格品的抽法有(CC+CC,+CC,)种 C.抽取的4件产品中至少有1件是不合 c D.6 格品的抽法有(C-C,)种 5.满足条件C4>C的正整数n的个数是 D.抽取的4件产品中至少有1件是不 ( 合格品的抽法有CC,种 A.10 B.9 C.4 D.3 10.安排5名志愿者完成A,B,C,D 6.现有6个不同的白球、4个不同的黑 四项工作，其中A项工作需2人，B项工作 球，从中任取4个，则至少有2个黑球的取 不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配 法种数是（) 了工作，且每项工作均有人完成，则不同的 A.115 B.90 安排方法共有 种 C.210 D.385 11.已知C0=C2+C+C-3,则x的值 7.C+C+…+C6=() 为 A.120 B.119 12.若xC+A=4C1,则x的值为 C.110 D.109 12)练 第三章排列、组合与二项式定理 13.课外活动小组共有13人，其中男生 8人，女生5人，并且男、女生各有1名队 提升练习 长，现从中选5人参加某项活动，依下列条 15.按图从上往下读（不能跳读，即念 件各有多少种选法？ 完标号为②的国字后只能念下一行标号为③ (1)至少有1名队长参加该活动. 或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接 (2)至多有2名女生参加该活动. 在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国 荣校做市西卓越学生”的不同读法种数为 爱 :国荣。国a 校做 校做校 市 市西市 西 市西 卓 卓越 卓 西市 学 越 西市 学 第15题图 16.规定C=x(x-1）(-m+1,其中 m! x∈R,m是正整数，且C=1,这是组合数 Cm(n,m是正整数，且m≤n)的一种推广. 14.(（I四)计算：A+ (1)求C2的值 A-A (2)解方程：3A-6A2=4C%. (2)设0，当为何值时，C取得 (3)解关于n的不等式A≥24C%。 最小值？ (3)组合数的两个性质：①C”=C"; ②Cm+Cm=C是否都能推广到C(x∈R,m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广 的形式并给出证明；若不能，则说明理由。 练(13 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时 组合数的应用 共有() 效果评价 A.105种 B.144种 1.小张接到5项工作，要在下周一、周 C.150种 D.210种 二、周三、周四这4天中完成，每天至少完 6.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老 成1项，且周一只能完成其中1项工作，则 的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和 不同的安排方式有() 发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺 A.180种 B.480种 水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等 C.90种 D.120种 类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱 2.将5名志愿者分配到4个项目参加志 灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂 愿活动，每名志愿者只分配到1个项日，每 两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则 个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配 不同挂法种数为( 方法共有() A.216 B.228 A.60种 B.120种 C.384 D.486 C.240种 D.480种 7.有6名志愿者要去A,B,C三座体 3.将5个相同的名额分给3个不同的班 育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工 级，每个班级至少得到1个名额的不同分法 作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志 的种数是() 愿者甲不去A体育馆，则不同的分配方法种 A.60 B.50 数为( C.10 D.6 A.180 B.300 4.某学校召集高二年级6个班级的部分 C.360 D.380 家长座谈，高二(1)班有2名家长到会， 8.(多选题)下列说法正确的是() 其余5个班级各有1名家长到会，会上任选 A.空间中有8个点，其中任何4个点不 3名家长发言，则发言的3名家长来自3个 共面，过每3个点作一个平面，可以作56 不同班级的可能情况的种数为() 个平面 A.15 B.30 B.平面内有10条直线，它们最多有90 C.35 D.42 个交点 5.6名志愿者要到A,B,C三个社区 C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有 进行志愿服务，每名志愿者只能去一个社 70个 区，每个社区至少安排1名志愿者，若只需 D.平面内有两组平行线，一组有5条， 要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法另一组有4条，这两组平行线相交，可以构 14 )练 第三章排列、组合与二项式定理。 成60个平行四边形 13.在100件不同的产品中，有98件合 9.(多选题)某单位从6男4女共10名 格品，2件次品，从这100件产品中任意抽 员工中，选出3男2女共5名员工，安排在 出3件 周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一 (1)抽出的3件中恰好有1件是次品的 个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安 抽法有多少种？ 排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安 (2)抽出的3件中至少有1件是次品的 排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且 抽法有多少种？ 必须安排在星期五值班，则（) A.甲、乙都不选的方案共有432种 B.选甲不选乙的方案共有216种 C.甲、乙都选的方案共有96种 D.这个单位安排夜晚值班的方案共有 1440种 10.某单位计划从5人中选4人值班， 每人值班一天，其中第一、第二天各安排1 人，第三天安排2人，则不同安排方法的种 数为 11.把10个相同的小球放入编号为 1,2,3的三个不同盒子中，使盒子里的球 的个数不小于它的编号数，则不同的放法种 数是 .(用数字作答) 12.学校拟安排6位老师在今年6月12 日至14日值班，每天安排2人，每人值班1 天.若6位老师中的甲不在12日值班，乙不 在14日值班，且甲、乙不在同一天值班， 则不同的安排方法共有 种 练(15 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 14.现有4本书和3名学生，将4本书 16.将某商场某区域的行走路线图抽象 全部分给这3名学生.（用数字作答） 为一个2x2x3的长方体框架（如图)，小红 (1)若4本书都不相同，每名学生至少 欲从A处行走至B处，则行走路程最短且 分一本书，共有多少种不同的分法？ 任意2次向上行走都不连续的不同路线共有 (2)若4本书仅有两本相同，按一人2 多少条？ 本，另两人各1本分配，共有多少种分法？ 第16题图 提升练习 15.(多选题)现有编号分别为1,2,3， 4,5的五个球，则() A.全部投人4个不同的盒子里，共有 45种放法 B.全部投入4个不同的盒子里，没有 空盒，共有C种放法 C.将其中的四个球投入4个盒子里的 一个（另一个球不投入），共有CC4种放法 D.全部投入4个不同的盒子里，没有 空盒，共有CA4种不同的放法 (16)练高中数学选择性必修第二册人教B版 个，安排在百位、十位，有A种选法，则可以组成3× 5×A=300个无重复数字的四位奇数，故B正确：对于 C,比3400大的四位数分三类，第一类是千位是比3 大的数，其他三位任意排，有AA。=360个，第二类是千 位是3，百位是比4大的数，其他两位任意排，有AA 40个，第三类是千位是3，百位是4，其他两位任意排 有A=20个，则比3400大的四位数共有360+40+20=420 个，故C不正确：对于D,能被25整除的四位数分两 类，第一类形如口口25，共有AA=16个，第二类 形如☐☐50，共有A=20个，则能被25整除的四位数 共有16+20=36个，故D正确.故选ABD. 10.72【解析】A参加竞赛时，参赛方案有2A=48 种：A不参加竞赛时，参赛方案有A=24种..不同的参 赛方案的种数为48+24=72. 11.1296【解析】将每家人看作一个整体，安排座 位，有A种情况，3个家庭所有成员内部的座位排法共 有AAA种情况，.不同的坐法种数为(A)=1296. 12.420【解析】当选择3种月季种植时，先种植① ④⑤区域，有A种种植方法，再种植②区域，必和④区 域相同，有1种种植方法，最后种植③区域，必和①区 域相同，有1种种植方法，故选择3种月季种植时，有 A×1×1=60种种植方法.当选择4种月季种植时，先种 植①④⑤区域，有A种种植方法，再把还没有用过的2 种月季选1种种植下去，有②③两个区域可供种植，有 2×2=4种种植方法，最后种植最后一个区域，有1种种 植方法，故选择4种月季种植时，有Ax4x1=240种种植 方法.当选择5种月季种植时，有A=120种种植方法 综上，共有60+240+120=420种种植方法. 13.解：(1)可以分为两类：第一类，首位为奇数 第一步，把1,3,5三个数字排在奇数位上，有A种方 法：第二步，把0,2,4三个数字排在偶数位上，有A 种方法.故首位为奇数的奇偶数字相间且无重复数字的 六位数有AA=36个 第二类，首位为偶数.第一步，把1,3,5三个数 字排在偶数位上，有A种方法；第二步，把0,2,4三 个数字排在奇数位上，有2A种方法. 故首位为偶数的奇偶数字相间且无重复数字的六位 数有Ax2A=24个」 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 36+24=60个. 62 (2)可以分为两类：第一类，当数字1排在首位上 时，其他数字全排列，满足条件的六位数共有A=120 个；第二类，当数字1不排在首位上时，根据数字1只 能排在奇数位上，可知数字1有2种选择，数字0不能 排在首位上，有4种选择，其他数字不受条件限制， 排列方法有A种，满足条件的六位数共有2×4×A= 192个. 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有 120+192=312个. 14.解：(1)4个歌舞类节目全排列形成5个空， ·语言类节目不能排在第一，且不相邻，∴.有AA=288 种排法。 (2)若前4个节目中没有语言类节目，则有AA种 排法， .前4个节目中有语言类节目的排法有A-AA= 672种 提升练习 15.48【解析】将6个数分三组(1,6)，(2,5)， (3,4),每组中的两个数填入一对相对面上，共有A× 2×2×2=48种不同的填法， 16.解：(1)若5对夫妇都相邻，A,B相邻，则 可将每对夫妇划分为1组，将A,B划分为1组，再将 这6组围坐成一圈，共有A种坐法. ·每一组的2人有2种坐法，.共有Ax2=7680种 坐法 (2)分成三步：第一步，排甲、乙二人的太太的座 位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定； 第二步，排其余3对夫妇的座位，有2A种坐法； 第三步，排A,B二人的座位，有A种坐法.根据 分步乘法计数原理，可知共有2x2AxA=1152种坐法. 3.1.3组合与组合数 第1课时组合与组合数、组合数的性质 效果评价 1D【懈折】处--C放选D 2.B【解析】从8人中选出6人进行组合即可，则 有C种分法.故选B. 3.C【解析】利用间接法，可得男、女学生都要有 的选法种数为C-C-C=70.故选C 4.D【解析】AA=A=A=6.故选D Cior+CiCio+CioCio 5.C【解析】CC,nn-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1 n(m-1)(n-2)(n-3)(m-4)(m-5),.(n-4)(n-5)<30,即 6x5x4x3×2×1 n2-9n-10<0,解得-1<n<10,又n≥6，n∈N,∴n可取 的值有6,7,8,9，共4个.故选C. 6.A【解析】至少有2个黑球的取法种数是CC+ CC6+C=90+24+1=115.故选A. 7.B【解析】.C+C=C1,.C+C+…+C6=C+C+ C+…+C号-1=C+C+…+C号-1=…=Ci0-1=119.故选B. 8ABD【解折】对于A,a+lA=a aA,故A正确：对于B,n2 (n+1)！ n(m-1)儿-m-1)(n-2)L=(m-2)1,故B正确；对于C, n(n-1) n-1 C=点，而m与不一定相等，合与合不一定相 m! n! 等，故C不正确：对于D,1A=1 n！ n-m n-m(n-m-1)1 n-mIA,故D正确.故选ABD n！ 9.BC【解析】根据题意，可知抽取的4件产品中 至少有1件是不合格品包括以下三种情况：①1件不合 格品和3件合格品，共有CC,种抽法：②2件不合格品 和2件合格品，共有CC,种抽法；③3件不合格品和1 件合格品，共有CC种抽法..至少有一件是不合格品 的抽法有(CC,+CC,+CC4)种，故B正确.还可以采 用正难则反的思想，即间接法，“至少有1件是不合格 品”与“全都是合格品”是对立事件，总的抽法共有C0 种，全都是合格品的抽法共有C种，所以至少有1件是 不合格品的抽法有(C-C)种，故C正确.故选BC. 10.48【解析】甲去完成A项工作，有CCCC=24 种不同的安排方式：甲不去完成A项工作，有CCCC =24种不同的安排方式.故共有24+24=48种不同的安排 方式 0≤x≤10， 0≤x-2≤8， 11.3或4【解析】由题意，得0≤x-1≤8，解得 0≤2x-3≤9 xEN. 参考答案。 2≤x≤6，xeN.Cio=Cg2+Cg+C-3,Ci=C+Cg-3, Ci0-C=Cg3,.C=C3,x=2x-3或x+2x-3=9,解得 x=3或x=4. 12.4【解析】由题知x2+x(x-1)(x-2)=2x(x-1)(+1 3 可得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,又x≥3，x=4. 13.解：(1)至少有1名队长含有两种情况，有一 名队长和有两名队长，故共有CC+CC,=825种选法. (2)至多有2名女生含有三种情况，有2名女生、 有1名女生、没有女生，故共有CC+CC8+C=966种 选法」 4解：是9=15 n≥3， n≥2， (2)由题意，得 ∴n≥3且n∈N n+1≥2， neN, 3A-6A3=4C,3n(n-1)(n-2)-6n(n-1)=4xn+ln 2 即3(n-1-2)-6(m-1)=2n+2,解得n=5或n=号 (舍去)，故n=5. n≥4， (3)由题意，得n≥6，n≥6且neN neN .A≥24C, n(m-1)(n-2)(m-3)≥24n(m-10(n-2)n-3)n4)m-5) 6x5×4x3×2x1 :n-4)n-5)≤1，整理，得n2-9n-10≤0， 30 解得-1≤n≤10，又n≥6且neN, .不等式的解集为{6,7,8,9,10) 提升练习 15.252【解析】构成句子“爱国荣校做市西卓越学 生”的不同读法需10步完成（从上一个字到下一个字 为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是 从上往右下角方向读，故共有不同读法C=252种. 16.解：(1)由题意，可得C= (-12)×(-13)x(-14)x(-15)=1365. 4! 63 高中数学选择性必修第二册人教B版 0.当}子即=号时，C取得最小值 (3)性质①不能推广，例如当x=V2时，C2有定 义，但C无意义， 性质②能推广，它的推广形式是C+C=C,x∈ R,m是正整数，事实上，当m=1时，C+C=x+1=C; 当m≥2时，CC-xx-])(xm+l)+x(x-1)小…(x-m+2)。 m! (m-1)! x(x-l-(x-m+22(x-m+1+1=x(x-l)-(x-m+2)(x+1 (m-1)！ m m! =Cw+. 综上，C+C=C,xeR,m是正整数. 第2课时组合数的应用 效果评价 L.A【解析】由题意，可知不同的安排方式有CCA =180种.故选A 2.C【解析】将5名志愿者分为4组，有C=10种分 组方法，将分好的4组安排给4个志愿活动，有A=24 种情况，则共有10x24=240种分配方法.故选C, 3.D【解析】可以看成将5个相同对象分成3组， 采用隔板法即可，故每个班级至少得到1个名额的不同 分法种数是C=6.故选D. 4.B【解析】方法一：若高二(1)班有1名家长发 言，则有CC种可能情况，若高二(1)班没有家长发 言，则有C种可能情况，∴.发言的3名家长来自3个不 同班级的可能情况共有CC+C=30种.故选B. 方法二：从7名家长中任选3人，有C种情况，高 二(1)班2名家长都发言的情况有CC种，发言的3 名家长来自3个不同班级的可能情况有C-CC;=30种. 故选B, 5.D【解析】先选出2名志愿者安排到A社区，有C 种方法，再把利下的4名志愿者分成两组，有紧+CC) 种分法，则不同的安排方法共有CCS+CCA2I0 种.故选D 6.A【解析】先挂2盏吊灯有A=2种挂法，再在2 盏吊灯之间挂3盏纱灯有A=6种挂法，最后将宫灯插 空挂.当4盏宫灯分成2,2两份插空时，有C-1=5种 挂法；当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时，有CC= 12种挂法；当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时， 64 有1种挂法.综上，共有2×6×(5+12+1)=216种不同的挂 法.故选A. 7.C【解析】若甲单独一组，先排甲有C=2种方 法，再将其余5人分成两组有C+C=15种方法，分配到 另外两个体育馆共有A=2种方法，·.此类情况共有2× 15×2=60种方法.若甲与其他志愿者一组，先安排甲有C =2种方法，然后将其余5人分成三组有CCC+CCC Ai A是 =25种方法，再将三组分配到三个体育馆有A=6种方 法，·.此类情况共有2×25×6=300种方法.综上，不同的 分配方法共有60+300=360种.故选C. 8.AD【解析】对于A,一个平面对应着从8个点 中取出3个点的一个组合，故可以作C=56个不同的平 面，故A正确；对于B,每一条直线都可以与另外的9 条直线相交，最多就有9个交点，但都重复了一次， 最多共有9×10：2=45个交点，故B不正确：对于C,首 先从8个顶点中选4个，共有C种结果，在这些结果 中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6 个对角面有6个四点共面，.满足条件的结果有C-6- 6=58个，故C不正确：对于D,先从第一组5条平行线 中任选2条作为平行四边形的一组对边，有C种取法， 再从另一组4条平行线中任选2条作为平行四边形的另 一组对边，有C种取法，.可以构成CC=60个平行四 边形，故D正确.故选AD. 9.ABC【解析】甲、乙都不选的方案共有CCA= 432种，故A正确；选甲不选乙的方案共有CCCA= 216种，故B正确：甲、乙都选，乙排在星期一的方案共 有CC:CA=48种，乙不排星期一的方案共有AC!CA= 48种，则甲、乙都选的方案共有48+48=96种，故C正 确；选乙不选甲的方案共有CC!CA=216种，则这个单 位安排夜晚值班的方案共有432+216+216+96=960种， 故D错误.故选ABC 10.60【解析】先从5人中选出4人值班，再从4 人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、第二 天，·.不同安排方法的种数为CCA=60. 11.15【解析】先在编号为2,3的盒子中分别放入 1,2个小球，编号为1的盒子不放球，再在每个盒子至 少放入1个小球，用隔板法，将余下7个小球排成一排 有6个空，插人2个隔板，有C。15种放法 12.36【解析】根据题意，分以下两步进行分析： ①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有CC A 是2种分组方法.②若甲所在的组在14日值班，则有 A=2种安排方法：若甲所在的组在13日值班，则乙所 在的组必须在12日值班，只有1种安排方法，故共有3 种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法 共有12×3=36种. 13.解：(1)抽出的3件产品中恰好有1件次品， 则抽出的3件产品中有2件合格品，.恰好有1件次品 的抽法有CC=2×98x97=9506种」 2 (2)方法一：抽出的3件产品中至少有1件是次品 包括两种情况，分别为有1件次品和有2件次品..至 少有1件次品的抽法有CC+CC=9506+98=9604种. 方法二：从100件产品中抽取3件，有C种抽法， 其中没有次品的抽法有C种，.至少有1件次品的抽法 有CiC=100x99x98_98×97x96=9604种. 3×2 3×2 14.解：(1)根据题意，每名学生至少分一本书， 则分成1,1,2三组，再进行全排列，有CA=36 种分法 (2)记这4本书分别为A,A,B,C,两个A在一 组时，共有A=6种分法，两个A不在一组时，若AB或 AC一组，有CA=12种分法，若BC一组，有3种分法 综上，共有6+12+3=21种分法. 提升练习 15.ACD【解析】全部投入4个不同的盒子里，共 有4×4×4×4×4=45种放法，故A正确；将其中的四个球 投入4个盒子里的一个（另一个球不投人），共有CC种 放法，故C正确：全部投入4个不同的盒子里，没有空 盒，共有CA种放法，故B错误，D正确.故选ACD 16.解：根据题意，知要使路程最短，则行走时3 次向上，2次向右，2次向前。 ,不能连续向上，先把不向上的次数排列，也就 是2次向右和2次向前全排列，有A种方法，又2次 向右和2次向前是没有顺序的，：共有然种方法：再 把3次向上插到4次不向上之间及两端的5个空位中， 有C种方法.∴.满足题意的不同路线共有C-60条 AA 参考答案。 >"阶段性练习卷（一） 1.D【解析】由A“=m(m-1)(m-2)(m-3)=18× m(m-1)(m-2）,得m-3=3,m=6.故选D. 3×2x1 2.C【解析】由题意，知本题是一个分步计数问题， 每名学生报名都有3种选择，根据分步乘法计数原理， 知4名学生共有34种选择：每项冠军都有4种可能的结 果，根据分步乘法计数原理，知3项冠军共有4种可能 的结果.故选C 3.A【解析】先排大人，有A种排法，去掉头尾 后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩 插在4个空位中，有A种排法，由分步乘法计数原理， 可知有AA种不同的排法.故选A. 4.B【解析】分类讨论：有两个对应位置、有一个 对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N=C+C! +1=11.故选B 5.D【解析】若3个不同的项目投资到4个城市中 的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项 目投资到4个城市中的2个，一个城市1项、一个城市 2项，共CA种方法.由分类加法计数原理，知共A+ CA=60种方法.故选D. 6.D【解析】如图所示，设5个区 域依次为A,B,C,D,E,分4步进 行分析： E ①区域A有5种颜色可选： 第6题答图 ②区域B与区域A相邻，有4种颜 色可选； ③区域C与区域A,B相邻，有3种颜色可选： ④对于区域D,E,若D与B颜色相同，则区域E 有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，则区域D有2 种颜色可选，区域E有2种颜色可选，故区域D,E有 3+2×2=7种选择」 综上可知，不同的涂色方案共有5×4×3×7=420种. 故选D. 7.AD【解析】对于A,从10个人中选2人分别去 种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题： 对于B,从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是 组合问题：对于C,从班上30名男生中选出5人组成 一个篮球队，与顺序无关，是组合问题：对于D,从数 65