4.3.1 一元线性回归模型-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

0.1359=0.8185..果实横径在[75,90)内的概率为 0.8185.故选C …4.3统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时相关关系与回归直线方程 要点精析 例1解：(1)是函数关系.(2)是相关关系. (3)是相关关系。 变式训练1C 例2D【解析】由题意，知A表示圆的周长与半径之 间的关系C=2mr,B表示球的体积与半径之间的关系V= 4r,C表示角度与它的正弦值之间的关系y=sina,都 是确定的函数关系，只有D是相关关系，故选D. 变式训练2D【解析】函数关系与相关关系都是指两个 变量之间的关系，但是这两种关系是不同的，函数关系 是指当自变量一定时，函数值是确定的，是一种确定性 的关系.A选项中，V=d,B选项中，y=tan,C选项 中，y=ax(a>0,且a为常数)，这三项均是函数关系. D项是相关关系 例3解：统计学意义上“最好”指的是所有误差平方 和最小的直线， 变式训练30.92【解析】由题意，得x=4,y=5,又 (x,y)在直线=1.02+a上，.a=5-4×1.02=0.92. 例4解：散点图是分析变量相关关系的重要工具.作出 散点图如图. 1201身高 110 100 80 70 0 4了6年龄 例4题答图 由图可见，具有线性相关关系，且是正相关 变式训练4AC【解析】A,C中的点分布在一条直线 附近，适合线性回归模型 例5图1 参考答案。 变式训练5B【解析】越大，拟合效果越好，故选B. 例6解：(1)散点图如图所示. y物理成绩 90 0 70 600L· 657075808590x 数学成绩 例6题答图 (2)=写×(8+76+73+66+63)=732. =5×(78+65+71+64+61)=67.8 1 ∑xW=88x78+76x65+73x71+66x64+63x61=250s 2=8+76+7346463=-27174. ∑-5 25054-5×73.2×67.8≈0.625， 27174-5×73.22 立- a=y-6x≈67.8-0.625×73.2=22.05.∴y对x的回归直线 方程是y=0.625x+22.05. (3)x=96,则y=0.625x96+22.05≈82，即可以预测他 的物理成绩是82 变式训练6解：作出散点图（图略），观察散点图可知 这些点散布在一条直线的附近，故可知x与y线性相关. :x=22+20+18+16+14=18,)=37+41+43+50+56=45.4, 5 5 ∑w-5 ·b=i 3992-5×18×45.4=-2.35, ∑好-5x 1660-5×182 = a=45.4-(-2.35)×18=87.7...回归直线方程为y=-2.35x+ 87.7. 例7解：()由表知，=写×(2+456+8)-5，写× (3+4+5+6+7)=5 立y=2xit45x546c648x7-139 ∑x=224445+ 51 高中数学选择性必修第二册人教B版 62+82=145, 立-344+5+6+7T135, 139-5×5×5 r= =7V2≈0.9899，故 V145-5x5×V135-5x5 10 0.75<r<1,认为y与x线性相关性很强. 对5网 (2)由(1)知6=句 139-5×5x5-0.7,又 ∑好-5x 145-5×52 x=y=5,a=y-6x=5-0.7×5=1.5,故y关于x的回归直线方 程为y=0.7x+1.5,当x=10时，y=0.7×10+1.5=8.5,即10 年的失效费用估计为8.5万元. 变式训练7(1)D (2)0.3【解析】(1)r1越接近 1,相关性越强.故选D 2-10 (2)r= 237-10x2.8×7.5 V3034-10x2.8×V5985-10750.3 第2课时相关系数与非线性回归方程 要点精析 例1解：(1)由散点图，知年广告费用x和年利润额 y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x 呈正相关..选择回归类型y=mx更好. (2)对y=mxc两边取自然对数，得lny=nm+lnx, v=ny,u=nx,则=lnm+hu,由表中数据，得 ew-10i =日 30.5-10x1.5×1.5_1 46.5-10x1.5×1.53, lnm-0-ku-1.5-x1.5=1.:m-e. .年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=ex 变式训练1解：(1)根据散点图，知y=c+kx更适合 作为y关于x的回归方程 -10四 (2)令=，则y=c+h:,则= ∑-10e 1 (52 350-10x3x10=5,y-a=-5,y=-5+5 100-10×32 y关于x的回归方程为y=-5+三 例2解：(1)0<r<r2<1,y=ce更适合作为y关于 x的回归方程类型。 (2)x=1+2+3+45+6+7+8=36=45,由=ce,得 8 8 Iny=lnc+dx,w=Inc+dx, 2(a-w-0-55=015, 则a= 立a 42 n-0-i-084-82x45=04, .y=ce=eaHeIs=1.15eais. 变式训练2B【解析】u=lny=ln(aer)=lna+lne-lna+bx→ =c+bx,故选B. 例3解：(1)根据散点图，知y=c+dnx更适宜作为每 户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方 程模型.由已知数据，得d=白 (u-0-) ∑07西 w ∑成-7派 235.1-7x12x22,7=14.2,故c=y-dm=22.7-14.2x1.2≈ 13.2-7×1.2×1.2 5.7,故y关于x的回归方程为y=5.7+14.2lnx. (2)由题意，知2017年到2023年共7年，其中一 年的每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰 有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为 P(A)=CiC_4 C-7 变式训练3D【解析】分别将x值代入解析式判断，知 满足y=2+nx. 4.3.2独立性检验 要点精析 例1解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为 概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为20000× 40=4000 200 (2)由题意可得2x2列联表如下.第四章概率与统计。 4.3 统计模型 4.3.1一元线性回归模型 第1课时 相关关系与回归直线方程 关关系，否则不具有线性相关关系. 学习目标 例1思考并判断下列哪些是函数关系， 1.会利用散点图判断两个变量之间是否 哪些是相关关系， 具有相关关系。 (1)圆的面积S与半径r之间的关系 2.会求回归直线方程. (2)商品销售量Q与销售价格P之间的 3.理解相关系数 关系 (3)平均学习时间t与学习成绩f之间 要点精析 的关系 川要点1相关关系与散点图 1.散点图：一般地，如果收集到了变量 x和变量y的n对数据（简称为成对数据）， 则在平面直角坐标系xOy中描出点(x,y:), i=l,2,3,…,n,就可以得到这n对数据 的散点图 2.线性相关：如果变量x与变量y之间 的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称 x与y线性相关， 3.正相关与负相关 正相关 负相关 变式训练1 一个变量增大，另一个 一个变量增大，另一个 变量大体上也增大 变量大体上减小 对于变量x与y,当x取值一定时，y的 取值带有一定的随机性，x,y之间的这种非 温馨提示 确定性关系叫作（) 画出散点图，若各点大致分布在一条 A.函数关系 B.线性关系 直线附近，就说明这两个变量具有线性相 C.相关关系 D.回归关系 学(65 高中数学选择性必修第二册人教B版 例2下列两个变量之间是相关关系的 关系（可利用散点图来判断），否则求出的 是() 回归直线方程无意义 A.圆的周长与半径之间的关系 (2)回归直线一定过点(x,y), B.球的体积与半径之间的关系 例3散点图如图所示，可先在图中作 C.角度与它的正弦值之间的关系 一条直线，使得成对数据构成的点分布在直 D.降雪量与交通事故的发生率之间的 线的附近，满足什么条件的直线是“最好” 关系 的呢？ 反思感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关 关系是一种不确定关系，具有随机性；函 数关系是一种因果关系，而相关关系不一 0 1234567x 图4-3-1 定是因果关系，也可能是伴随关系 B变式训练② 下列两个变量间的关系不是函数关系的 变式训练3 是() 已知x,y的取值如下表 A.正方体的棱长与体积 2 3 5 B.角的度数与它的正切值 2.7 4.3 6.1 6.9 C.单产为常数时，土地面积与粮食总 产量 从散点图分析y与x具有线性相关关系， D.日照时间与水稻的单位产量 且回归直线方程为y=1.02x+a,则a= 川要点2回归直线方程 例4某男孩的年龄与身高的统计数据 如下. 回归直线方程：y=6x+a称为y关于x的 年龄/岁 2 3 45 回归直线方程（对应的直线称为回归直 身高/cm 788798108115120 ∑（-0）∑- 线).6= 画出散点图，并判断它们是否有相关关 系.如果有相关关系，是正相关还是负相关？ a=y-x.其中，6称为回归系数， 温馨提示 (1)用最小二乘法求回归直线方程的 前提是先判断所给数据是否具有线性相关 66)学 第四章概率与统计。 反思感悟 的r称为线性相关系数（简称相关系数）· 判断两个变量x和y间是否具有线性 2.相关系数的性质 相关关系，常用的简便方法就是绘制散点 ≤1，且y与x正相关的充要条件是r> 性质1 图.如果图上发现点的分布从整体上看大 0,y与x负相关的充要条件是r<0 致在一条直线附近，那么这两个变量就是 越小，两个变量之间的线性相关性越 线性相关的，注意不要受个别点位置的 性质2 弱，越大，两个变量之间的线性相关 性越强 影响」 =1的充要条件是成对数据构成的点都 性质3 变式训练④ 在回归直线上 (多选题)以下四个散点图中，两个变 温馨提示 量的关系适合用线性回归模型刻画的是 l越接近1，y与x之间的线性相关性 越强。 例5下列哪一个图的线性相关关系强 一些？ 。”。 图1 图2 图4-3-2 D 川要点3相关系数 1.相关系数：统计学里一般用 三x0- 变式训练5 V∑x-∑- 已知两个变量x,y之间具有相关关系， 现选用a,b,c,d四个模型得到相应的回 ∑-n 归直线方程，并计算得到了相应的相关系数 r值分别为ra=0.80,b=0.98,r=0.93,ra= V∑-∑-四 0.86,那么拟合效果最好的模型为（) 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里 A.a B.b C.c D.d 学 67 高中数学选择性必修第二册人教B版 例6某班5名学生的数学和物理成绩 如下表」 变式训练6 学生 在一段时间内，某网店一种商品的销售 成绩 A B c D E 价格x(元)和日销售量y(件)之间的一 组成对数据如下表 数学成绩/分 88 76 73 66 63 物理成绩y分 78 65 71 64 61 价格x元 22 20 18 16 14 (1)画出散点图 日销售量y/件 37 41 43 50 56 (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归 求出y关于x的回归直线方程 直线方程 参考数据： (3)一名学生的数学成绩是96，试预测 他的物理成绩 川要点4相关系数 反思感悟 求线性回归直线方程的步骤： 例7某种机械设备随着使用年限的增 (1)列表x,y,xy以及号. 加，使用功能逐渐减退，使用价值逐年减 小，通常把它使用价值逐年减小的“量”换 (2)计算x,y, 算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备 (3)代入公式计算B,a的值，公式为 的使用年限x(单位：年)与失效费y(单 ∑wn 位：万元)的统计数据如表所示， = 使用年限x 5 立 失效费y 4 a=y-b元. (1)根据上表数据，计算y与x的相关 (4)写出回归直线方程y=a+6x. 系数r,并说明y与x的线性相关性的强弱. 68)学 n 第四章概率与统计。 (已知：0.75≤rl≤1，则认为y与x线 性相关性很强；0.3≤rl<0.75,则认为y与x 变式训练7 线性相关性一般；r<0.3,则认为y与x线 (1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 性相关性较弱) A,B两变量的线性相关性做试验，并用回 (2)求y关于x的回归直线方程，并估 归分析方法分别求得相关系数，如下表， 算该种机械设备使用10年的失效费. 甲 乙 丙 丁 Σ(x-0-列 0.82 0.78 0.69 0.85 参考公式： 则哪位同学的试验结果体现A,B两变 ∑-n 量有更强的线性相关性() A.甲 B.乙 V∑-eVi-听 C.丙 D.丁 (2)一唱片公司研究预支出费用x(十 ∑(-)(0-）】 6= 万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系， 从其所发行的唱片中随机抽选了10千张， a-y-Bx. 得到如下的资料： 立-8.-304 10 10 yi=598.5, 2之=237，则y i-l 与x的相关系数 反思感悟 求相关系数的注意点： (1)一般情况下，题目会给出求相关 系数的公式，注意代入计算 (2)特别地，当=±1时，说明所有散 点均在一条直线上 学(69 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时相关系数与非线性回归方程 (1)从①y=bx+a,②y=mxk(m>0,k>0) 学习目标 两个函数中选择一个作为年广告费用x和年 1.了解非线性回归模型. 利润额y的回归类型，判断哪个类型符合， 2.会把非线性回归模型转化成线性回归 不必说明理由。 模型解决实际问题. (2)根据(1)中选择的回归类型求出y 与x的回归方程。 要点精析 ∑(u-i0)0- 川要点1幂函数回归模型 参考公式：6= -,a=y-6t. 立u- 非线性回归方程：非线性回归方程的曲 线类型可以通过作出散点图进行猜测，回归 方程有时可以通过变量替换后，借助求回归 直线的过程确定.当然，确定了非线性回归 方程之后，也可以利用它进行预测， 温馨提示 一般地，有些非线性回归模型通过变 换可以转化为线性回归模型，即借助于线 性回归模型研究非线性回归模型。 例1某电器企业统计了近10年的年利 润额y(千万元)与投人的年广告费用x (十万元)的相关数据，散点图如图，对数 据作出如下处理：令u,=lnx,v,=lny,得到相 关数据如表所示。 反思感悟 幂函数型y=a”(n为常数，a,x,y均 30.5 15 15 46.5 取正值)， 年利润额/千万元 两边取常用对数lgy=lg(ax"),即1gy= 8 nlgx+lga, 6 2 令=g, 原方程变为y'=nx'+lga,然 0 24681012141618202224262830* (x'=lgx, 年广告费用/十万元 图4-3-3 后按线性回归模型求出n,lga 70 学 n 第四章概率与统计。 变式训练1 川要点2指数函数回归模型 某公司对某产品做市场调研，获得了该 例2下表是2014年至2021年中国高 产品的定价x(单位：万元)和一天销售量 铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高 y(单位：t)的一组数据，制作了如下的数 铁近几年的飞速发展， 据统计表，并作出了散点图.表中=1 年份 年份代码x 运营里程y/万公里 2014 1 1.3 2 2015 2 1.6 0.33 10 3 0.164 100 68 350 2016 3 1.9 (1)根据散点图判断， 2017 4 2.2 y=a+bx与y=c+hx1哪一个 2018 5 2.4 更适合作为y关于x的回 2019 6 2.9 归方程.（给出判断即可， 图4-3-4 2020 7 3.5 不必说明理由)》 (2)根据(1)的判断结果，试建立y 2021 8 3.9 关于x的回归方程 根据以上数据，回答下面问题， 参考公式：回归方程y=6t+a,其中6= (1)甲同学用曲线y=bx+a来拟合，并 a-i-） 算得相关系数r1=0.97,乙同学用曲线y=ce i=1 -a=y-bt. ∑a-4 ∑g-t 来拟合，并算得转化为回归直线方程所对应 的相关系数2=0.99，试问哪一个更适合作为 y关于x的回归方程类型。 (2)根据(1)的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程.（系数精确到0.01） 参考公式：回归直线方程=bx+a中， 立(x-00- = ,a=y-6x; 三 参考数据：y=2.48, 2(（g-x)6-)=15.50, 2元)4200 学 71 高中数学选择性必修第二册人教B版 令w=lny,w=0.84, ∑(x-x)(w,-0)=6.50, 变式训练2 ∑(w-o)P=1.01,e=115 对于指数曲线y=aex,令u=lny,c=lna, 经过非线性回归分析之后，可以转化成的形 式为() A.u=b+cx B.u=c+bx C.y=b+cx D.y=c+bx 川要点3对数函数回归模型 例3以下是2017年至2023年某村村 民每户平均可支配收入的统计数据 年份 2017201820192020202120222023 年份代码x 1 2 3 5 6 7 每户平均可 支配收入 6 22 26 29 31 32 y/千元 根据以上数据，绘制如图所示的散点图： 4户均可支配收人千元 0 40 30 -----1-- 20 10 01234567年份代码 图4-3-5 (1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+ dlx哪一个更适宜作为每户平均可支配收入 y(千元)关于年份代码x的回归方程模型 (给出判断即可，不必说明理由)，并建立y 关于x的回归方程（结果保留1位小数）· 反思感悟 (2)从2017年至2023年中任选两年， 指数型函数y=er恤的处理方法：两边 求事件A：“恰有一年的每户平均可支配收 取对数得lny=lner",即lny=bx+a.令z=lny, 入超过22（千元）”的概率. 把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根 据线性回归模型的方法求出α，b. 参考数据：其中u,=lnx,u= ∑ 7 72)学 第四章概率与统计。 参考公式：回归直线方程=bx+a中， 变式训练③ ∑(x-x)(0-y) 6= a-y-bx. 下列数据符合的函数模型为（) 多a 12 3 45 67 89 10 4 y 22.69 3 3.383.63.844.084.24.3 A.y=2+ B.y=2e 22.7 1.2 759 235.1 13.2 3 C.y=2e D.y=2+lnx 反思感悟 对数型函数y=blnr+a的处理方法：设 x'=nx,原方程可化为y=bx'+a,再根据线 性回归模型的方法求出a,b. 学(73