4.2.3 二项分布与超几何分布-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 下表 0 9 P 3 4 12 变式训练4解：由n=+号，对于=-2，-1,0,1， 2,3,得=，分，，，相应的概 率值为品冬，子立。，立故m的分布列如下表 1 1 5 71 2 2 2 -2 -2 1 P 1 1 4 3 12 由2-2-2，对于=-2，-1,0,1,2,3，得2= 8,3,0,-1,0,3Pm=8bPm=3)=+7 号，Am0)号名分，=1小b故m的分有列如 下表. 72 8 3 0 -1 P 3 2 1 12 2 例4解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个 白球，2个红球，从中摸出2个球，有C=10种情况. (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事 件为A,P4)=CC-号，即摸出的2个球中有1个白 球和1个红球的概率为号 (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所 有能取值为0,1.2PX-0)-80PX=1-CS 10 =号，PX2)-8品故X的分布列如下表。 -1010 0 1 3 3 10 5 10 变式训练5解：(1)记“第一次检测出的是次品且第 二次检测出的是正品”为事件A.P4)=AA=3 Aξ10 44 N (2)X的可能取值为20,30,40PX-20)=是 =0,PX=30)=A+CCA-,P0K=40)=1-PK A 10 200-PK=001-0高-总-号散X的分布列如下表 200 300 400 P 10 10 数学文化 例解：(1)设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有 两个区相同为事件A,则PA)=CCA=12 53-25 (2)X的所有可能取值为1,2,3,4,5，则 P(X=1)=1+CC-13 53-125 PX=2)=1+CC+CA-31 5 125, P(X=3)=1+CC+CCA:_37 53 125 PX=4)=1+CC+CA-31 53 125 P(X=5)=1+CC-13 53 125 所以随机变量X的分布列如下表. 2 13 31 37 31 13 125 125 125 125 125 4.2.3 二项分布与超几何分布 要点精析 例1解：(1)任选1名未就业人员，记“该人员参加 过财会培训”为事件A,“该人员参加过计算机培训“ 为事件B,则事件A与B相互独立，且P(A)=O.6,P(B)= 0.75..该未就业人员没有参加过培训的概率是P(AB)= P(A)P(B)=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1..该人员参加过培训 的概率为1-0.1=0.9. (2)每个人的选择是相互独立的，3人中参加过 培训的人数服从二项分布~B(3,0.9),P(=)=C0.9× 0.13,k=0,1,2,3,的分布列如下表. 0 1 2 0.001 0.027 0.243 0.729 变式训练1ACD【解析】对于选项A,试验出现的结 果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概 率在每一次试验中都为6，每一次试验都是独立的，故 随机变量X服从二项分布：对于选项B,虽然每一次试 验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且 概率不发生变化，但随机变量X的取值不确定，故随机 变量X不服从二项分布：对于选项C,甲、乙获胜的概 率一定，且和为1，举行5次比赛，相当于进行了5次 独立重复试验，故X服从二项分布：对于选项D,由二 项分布的定义可知，X-B(n,0.3).故选ACD. 例2解：(1)设甲班的学生数为M,由题意，得 M(M-1) 7×6 2 解得M=3或M=-2(舍去)，即7名学生中，甲班有 3人 (2)由题意，知X服从参数N=7,M=3,n=2的超 几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2. P(X=k)=CC (=0.1.2).P(X-0)=CC= C C 分号.P-e-品-号，Px-2-S-京 C号-21 子X的分布列如下表。 X 0 1 2 P 号 由分布列，知PX≥1)=PX=l)+PX2)=号+号 多，即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为 71 变式训练2解：(1)X的可能取值为0,1,2,3，且 PrX-0-g-6rX=1-g-8Px-2)-e- C856 C 沿-只KX31芒号京即X的分布列知下表 参考答案。 X 0 2 3 P 15 15 56 5 56 28 (2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 XI+PX=2-号2号 例3解：(1)由题意，知X的取值只有0和1两种 情况，服从两点分有，PI)高则P0)1-P=1)= 1因此X的分布列如下表 0 1 P 个 10 10 (2)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概 率均为3,3次抽取可以看成3次独立重复试验，因此 10 B3,高 0-c品0上8 Ar1c(高川0 Rr2c0018 =3c品品a1 因此？的分布列为 0 1 2 3 343 441 189 27 1000 1000 1000 1000 (3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可 看成随机抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件数 X服从参数10,3,3的超几何分布，即X~H(10,3,3), .从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品 的概事为PX=m)=C气C,m=0,1,2,3随机变量 X的分布列如下表， 45 高中数学选择性必修第二册人教B版 0 P 31 4 40 120 ②设“抽到的3件产品中一等品件数多于二等品件 数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品” 为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好 取出3件一等品”为事件A.由于事件A1,A2,A3彼此 互斥，且A=4,UA.UA.PA,)-C-0Pa Cio P2P(A)=PX-)12P)=P(A)+P4 PM动00动 即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件 数的概率为3引 120 变式训练3是}【解析】若放回抽取，设取得红球 5 的个数为X,则X-B2,号引，取出2个颜色不同的球 即事件“X,PX=1)C×号×号-号若不放回抽 取，设取得红球的个数为Y,则Y~H(5,2,3),∴.取到 的2个球颜色不同的概率PCC=3 C-5 数学文化 例解：(1)根据频率分布直方图，可得 (0,10]的频率为0.010x10=0.1; (10,20]的频率为0.020×10=0.2： (20,30]的频率为0.030×10=0.3： (30,40]的频率为0.025×10=0.25： (40,50]的频率为0.015×10=0.15 ,x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35x0.25+45×0.15=26.5. (2)根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于 (10,30]内的概率为02+03-0.5，X-B4,),X 的可能取值为0,1,2,3,4，故 PX=0)=-c2上6PX=I)-C24 PX-2)-c3片，PX=3)-C34 Px=4-c3'6 (46 X的分布列如下表。 0 3 16 4 8 4 6 B0X0-6+x+2xg+3x4462 4.2.4随机变量的数字特征 第1课时离散型随机变量的均值 要点精析 例1解：取出4个球颜色及得分分布情况是4红得8 分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5 分，因t,P=5)-C-若PX=-6)-C-8 C=35 PX=7)=CC-号.PX=8)=CC=名·故X的分布列 如下表 X 6 7 18 3 号 0X0-5×第6x8+7x号48x5号 变式训练1解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分 数”，则X的可能取值为-4,1,3,6. PX=-4)l-号x1-3x1-3-g,PX1 1=2=人.X的分布列如下表 3-18-91 X -4 3 6 P 7 7 18 9 0=(-4xg+1x+3x6s- 18 9-9 例2吕【解析】由随机变量分布列的性质，得4+号第四章概率与统计。 4.2.3二项分布与超几何分布 例1某地区为未就业人员免费提供财 学习目标 会和计算机培训，以提高未就业人员的就 1.能判断一个随机变量分布列是否是二 业能力，每名未就业人员可以选择参加一 项分布和超几何分布 项培训、参加两项培训或不参加培训.已知 2.理解二项分布和超几何分布之间的区 参加过财会培训的占60%，参加过计算机 别与联系， 培训的占75%，假设每个人对培训项目的 选择是相互独立的，且各人的选择相互之 要点精析 间没有影响， 川要点1n次独立重复试验与二项分布t (1)任选1名未就业人员，求该人员参 加过培训的概率。 1.n次独立重复试验 (2)任选3名未就业人员，记专为3人 在相同条件下重复n次伯努利试验，约 中参加过培训的人数，求的分布列. 定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯 努利试验也常称为n次独立重复试验 2.二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现 “成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立 重复试验中出现“成功”的次数为X,则X 的取值范围是{0,1，…，k,…,,而且 P(X=k)=Cpqt(k=0,1,2,…,n),因此 X的分布列如下表示. X 0 C9pg"Cp'g… C%pgt…Cp'g 由于表中的第二行中的概率值恰好是二 项式展开式(q+p)=Cpq+Cpq-+…+C%pg +…+Cpg°中对应项的值，因此称X服从参 数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p)· 思考独立重复试验需要满足什么 条件？ 学(47 高中数学选择性必修第二册人教B版 反思感悟 数，其中s是M与n中的较小者，t在n不 二项分布问题的注意，点： 大于乙类物品件数（即n≤N-M)时取0， (1)判断一个随机变量是否服从二项 否则t取n减乙类物品件数之差（即t= 分布，关键有两点：一是对立性，即一次 (N-M)),而且 试验中，事件发生与否两者必有其一；二 Px=k)=CC立，k,+1,…,5, 是重复性，即试验是独立重复地进行了次 C (2)二项分布，当X服从二项分布时， X称为服从参数为N,n,M的超几何 应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功 分布，记作X~H(N,n,M). 概率卫 例2现有来自甲、乙两班学生共7名， (3)对于公式P(X=k)=Cp(1-p)+ 从中任选2名都是甲班的概率为) (=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重 (1)求7名学生中甲班的学生数， 复试验”时才能运用，否则不能应用该公式 (2)设所选2名学生中甲班的学生数为 B变式训练① X,求X的分布列，并求所选2人中甲班学 生数不少于1人的概率， (多选题)下列随机变量X服从二项分 布的是（ ) A.投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点 数为6出现的次数 B.某射手射中目标的概率为p,设每次 射击是相互独立的，X为从开始射击到击中 目标所需要的射击次数 C.实力相当的甲、乙两选手进行了5 局丘乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D.某星期内，每次下载某网站数据被 病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数 据电脑被病毒感染的次数 川要点2超几何分布 定义：一般地，若有总数为N件的甲、 乙两类物品，其中甲类有M件(M<N),从 所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n 件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变 量，X能取不小于t且不大于s的所有自然 48)学 n 第四章概率与统计。 反思感悟 川要点3几种分布问题的综合应用 超几何分布问题的两点说明： (1)超几何分布是概率分布的一种形 例3在10件产品中，有3件一等品， 式，一定要注意公式中字母的取值范围及 4件二等品，3件三等品 其意义，解决问题时可以直接利用公式求 (1)若从这10件产品中任意抽取1件， 解，但不能机械地记忆： 求抽到一等品件数的分布列 (2)超几何分布中，只要知道M,N, (2)若从这10件产品中随机连续抽取3 ,就可以利用公式求出X取不同k的概率 次，每次抽取1件.每次抽取后都放回，设 P(X=k),从而求出X的分布列 取到一等品的件数为？，求？的分布列 (3)若从这10件产品中随机连续抽取3 ⑧变式训练2 次，每次抽取1件.每次抽取后都不放回， 某校组织一次冬令营活动，有8名同学 设取到一等品的件数为X,求：①X的分布 参加，其中有5名男同学，3名女同学，为 列；②抽到的3件产品中一等品件数多于二 了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取 等品件数的概率， 3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学。 (1)求X的分布列. (2)求去执行任务的同学中有男有女的 概率。 反思感悟 几种分布的特点及关系： (1)两点分布是一种特殊的二项分布， 即n=1的二项分布. (2)独立重复试验的实际原型是有放 回地抽样检验问题，超几何分布的实际原 型是不放回地抽样检验问题。 学 (49 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 变式训练3 盒中装有形状、大小完全相同的5个 球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中 随机依次取出2个球，则放回抽取时所取出 的2个球颜色不同的概率等于 ,不 放回抽取时所取出的2个球颜色不同的概率 等于」 数学文化 例某生物技术公司研制出一种灭活疫 苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100 支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所 示的频率分布直方图 频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 1020304050质量指标值 图4-2-1 (1)求所抽取的样本平均数x(同一组 中的数据用该组区间的中点值作代表)· (2)将频率视为概率，若某家庭购买4 支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于 [10,30)内的支数为X,求X的分布列和 数学期望. (50)学