4.2.2 离散型随机变量的分布列-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第四章概率与统计。 4.2.2离散型随机变量的分布列 学习目标 例1设随机变量X的分布列PX=专 =ah(k=1,2,3,4,5) 1.理解离散型随机变量的概念 2.通过实例，理解离散型随机变量分布 (1)求常数a的值. 列的概念。 (2)求PX≥}的值 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方 法和性质。 4.通过实例，理解两点分布 要点精析 要点1离散型随机变量的分布列及其 性质 1.定义：一般地，当离散型随机变量X 变式训练① 的取值范围是{x1,2,…,x}时，如果对 任意k∈{1,2，…，n,概率P(X=x)=p%都 若例1条件不变，求P0X<品的值 是已知的，则称X的概率分布是已知的.离 散型随机变量X的概率分布或分布列也可以 用如下形式的表格表示： Xn P2 Pn 反思感悟 2.性质： (1)p≥0，k=1,2,3,…,n. 分布列的性质及其应用： (1)利用分布列中各概率之和为1可 (2) 求参数的值，此时要注意检验，以保证每 个概率值均为非负数。 (2)求随机变量在某个范围内的概率 时，根据分布列，将所求范围内各随机变 量对应的概率相加即可，其依据是互斥事 件的概率加法公式 学 43 高中数学选择性必修第二册人教B版 例2在一次购物抽奖活动中，在10张 变式训练2 奖券中有一等奖奖券1张，二等奖奖券3 若离散型随机变量X的分布列如下表 张，其余6张没有奖品.某顾客从10张奖券 所示。 中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列. X 0 P 9c2-0 3-8c 试求出离散型随机变量X的分布列. 反思感悟 (1)判断是否为两，点分布的方法： ①看取值：随机变量只取两个值0 和1. ②验概率：检验P(X=0)+P(X=1)=1是 否成立 (2)特殊情况：有多个结果的随机试 川要点2两点分布 验中，如果我们只关心一个随机事件是否 1.两点分布：如果随机变量X的分布 发生，可以利用两点分布来研究 列如下表所示 变式训练3 0 已知一批200件的待出厂产品中，有1 P 1-p 件不合格品，现从中任意抽取2件进行检 则这个随机变量服从参数为P的两点分 查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中 布（或0-1分布）. 的次品数，求X的分布列 2.伯努利试验：一个所有可能结果只有 两种的随机试验，通常称为伯努利试验 两点分布也常称为伯努利分布，卫常常 被称为成功概率， 思考为什么两点分布也常称为伯努 利分布？ 44)学 N 第四章概率与统计。 川要点3求离散型随机变量的分布列 B变式训练④ 例3已知随机变量的分布列如下表 已知随机变量专的分布列如下表所示 所示 -2 -1 0 3 -2 -1 2 3 1 1 12 4 3 12 6 12 12 4 12 6 12 分别求出随机变量=+号，m-25 分别求出随机变量=之5，的分 的分布列。 布列。 例4一个箱子里装有5个大小相同 的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2 个球 (1)求摸出的2个球中有1个白球和1 个红球的概率 (2)用X表示摸出的2个球中的白球个 数，求X的分布列. 反思感悟 求离散型随机变量门=∫()分布列的 步骤 (1)确定η的取值，由变量专与η的 关系确定 (2)确定每个η取值的概率. (3)列分布列 注意：若是一个随机变量，a,b∈ R,则n=a飞+b也是一个随机变量. 学(45 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 B变式训练⑤ 数学文化 已知2件次品和3件正品混放在一起， 例某市卫生防疫部门为了控制某种病 现需要通过检测将其区分，每次随机检测一 毒的传染，提供了批号分别为1,2,3,4， 件产品，检测后不放回，直到检测出2件次 5的五批疫苗，供全市所辖的三个区市民 品或者检测出3件正品时检测结束 接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗 (1)求第一次检测出的是次品且第二次 接种。 检测出的是正品的概率， (1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰 (2)已知每检测一件产品需要费用100 好有两个区相同的概率 元，设X表示直到检测出2件次品或者检测 (2)记三个区选择的疫苗批号的中位数 出3件正品时所需要的检测费用（单位： 为X,求X的分布列. 元)，求X的分布列. (46)学 N(3)PK=1)=3x9=9 12×1144 例3C【解析】由表知P(X=1)=P(Y=4),∴a+b=4,① P(X=2)=P(Y=7),2a+b=7,② 由①②，得a=3,b=1,.+2b=5.故选C. 变式训练30.30.7【解析】：当X=2时，Y=2X-3=1, P(X=2)=P(Y=1)=0.3;当X=4时，Y=2X-3=5, ..P(Y=5)=P(X=4)=0.7. 数学文化 例解：(1)当X=1200时，Y=1200×3+1200=4800 (元)· (2)Y=3X+1200 (3)当X≤2000时，Y≤7200， .P(X≤2000)=P(Y≤7200)=0.6， ∴.P(Y>7200)=1-P(Y≤7200)=1-0.6=0.4. 4.2.2离散型随机变量的分布列 要点精析 例1解：由题意，所给分布列如下表。 2 3 4 5 5 P 2a 3a (1)由分布列的性质，得a+2a+3a+4a+5a=1,解得 (2)方法-：PX≥子=PX=号)+PX=号)+ Pmi语培-号 方法二：P小X≥号1-PX≤号1-5品=告 变式训练1据：品<X<名X宁X号， 手Pbea-r-px号n-房- 23_2 1515-5 变式训练2解：由已知，可得9c2-c+3-8c=1,.9c2 9e+2-0,0=}或c=号检验：当c=号时，902-9x 兮日号0,3-8=3号号0：当=号时， 参考答案。 6=9x号尸-号>1,3-8c=3-90(不适合，舍去).放 3 故所求分布列如下表： 0 2 3 例2解：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 K的取值只有0和1两种防礼.P=忌音号， 则P(X=0)=1-P(X=1)=1-2=?.因此X的分布列如下表 55 1 子 5 变式训练3解：由题意，知X服从两点分布，P(X=0) 100100·随机变量X的分 -80PEI091 布列如下表 X 0 1 P 99 1 100 100 例3解：由m=,知对于专取不同的值-2，-1,0， 1,2,3时，m的值分别为-1，分，0，分，1，号， 门1的分布列如下表。 、1 0 1 1 3 -1 2 2 2 1 1 、1 1 12 4 3 12 6 12 由72=2，知对于专的不同取值-2,2及-1,1,2 分别取相同的值4与1，即72取4这个值的概率应是专 取-2与2的概率2与名的和，取1这个值的概率应 是5分别取-1与1的概率号与立的和，m:的分布列如 43 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 下表 0 9 P 3 4 12 变式训练4解：由n=+号，对于=-2，-1,0,1， 2,3,得=，分，，，相应的概 率值为品冬，子立。，立故m的分布列如下表 1 1 5 71 2 2 2 -2 -2 1 P 1 1 4 3 12 由2-2-2，对于=-2，-1,0,1,2,3，得2= 8,3,0,-1,0,3Pm=8bPm=3)=+7 号，Am0)号名分，=1小b故m的分有列如 下表. 72 8 3 0 -1 P 3 2 1 12 2 例4解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个 白球，2个红球，从中摸出2个球，有C=10种情况. (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事 件为A,P4)=CC-号，即摸出的2个球中有1个白 球和1个红球的概率为号 (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所 有能取值为0,1.2PX-0)-80PX=1-CS 10 =号，PX2)-8品故X的分布列如下表。 -1010 0 1 3 3 10 5 10 变式训练5解：(1)记“第一次检测出的是次品且第 二次检测出的是正品”为事件A.P4)=AA=3 Aξ10 44 N (2)X的可能取值为20,30,40PX-20)=是 =0,PX=30)=A+CCA-,P0K=40)=1-PK A 10 200-PK=001-0高-总-号散X的分布列如下表 200 300 400 P 10 10 数学文化 例解：(1)设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有 两个区相同为事件A,则PA)=CCA=12 53-25 (2)X的所有可能取值为1,2,3,4,5，则 P(X=1)=1+CC-13 53-125 PX=2)=1+CC+CA-31 5 125, P(X=3)=1+CC+CCA:_37 53 125 PX=4)=1+CC+CA-31 53 125 P(X=5)=1+CC-13 53 125 所以随机变量X的分布列如下表. 2 13 31 37 31 13 125 125 125 125 125 4.2.3 二项分布与超几何分布 要点精析 例1解：(1)任选1名未就业人员，记“该人员参加 过财会培训”为事件A,“该人员参加过计算机培训“ 为事件B,则事件A与B相互独立，且P(A)=O.6,P(B)= 0.75..该未就业人员没有参加过培训的概率是P(AB)= P(A)P(B)=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1..该人员参加过培训 的概率为1-0.1=0.9. (2)每个人的选择是相互独立的，3人中参加过 培训的人数服从二项分布~B(3,0.9),P(=)=C0.9× 0.13,k=0,1,2,3,的分布列如下表.