3.2 二项式定理与杨辉三角-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

CCg+C=966种选法 (3)分两类：第一类女队长当选，有C=495种 选法：第二类女队长没当选，有C4C+CC+CC,+C= 295种选法...共有495+295=790种选法. 变式训练2A【解析】由分类加法计数原理，知两类 配餐的搭配方法之和即为所求，·.每天不同午餐的搭配 方法共有CC+C4C号=210种.故选A 例3解：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种方 法：再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法：最后 从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给 甲、乙、丙3人，每人2本，共有CCC=90种方法. (2)分给甲、乙、丙3人，每人2本，有CCC种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份， 每份2本，设有x种方法：第二步，再将这三份分给 甲、乙、丙3名同学，有A种方法.根据分步乘法计数 原理，可得CCC=A,x=CCC=15.因此分为三 A 份，每份2本，一共有15种方法. 例4解：(1)这是“不平均分组”问题，一共有 C.CC=60种方法. (2)在(1)的基础上再进行全排列，.一共有 CCCA=360种方法. 例5解：可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有 C8CC=90种方法；②“1,2,3型”，有CCCA=360 种方法：③“1,1,4型“，有CA=90种方法，.一共 有90+360+90=540种方法。 变式训练3解：(1)每个小球都可能放人4个盒子中 的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4× 4=44=256种放法. (2)这是全排列问题，共有Ad=24种放法 (3)方法一：先将4个小球分为3组，有CCC 种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有 A种投放方法，故共有CCC·A=144种放法。 A 方法二：先取4个球中的2个“捆”在一起，有C 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放人4个盒 子中的3个盒子，有A种投放方法，.共有CA=144 种放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C!种， 当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知 参考答案。 其余3个球的投入方法有2种，故共有2C=8种放法. (5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子 中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个， 由于球是相同的即没有顺序，·.属于组合问题，故共有 CC=12种放法. (6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒 子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成 4组，即在0000000○OO○这14个球中 间的13个空中放入三块隔板，共有C=286种放法，如 OO10000O1O○O1OOO0,即编号为1,2,3,4 的盒子分别放入2,6,5,7个球. 数学文化 例1解：(1)）C3=20x19-=190. 2×1 (2)曲器是解得4 (3)22=4096;1+2+22+2+…+2=2-1. (4)Cm+Cm+…+C-2=Cmw-1. 证明如下：左边=Cm+Cm-1+…+Cm,-2=Cm1+Cm +…+Cm-2=…=Cm2+Cm=Cm1=右边。 例2CCc+cCCC【解析】类比观家，得 1 莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数亡，而相邻两 项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C:+C= 1 Ci,有.C.-C.C+c.C m3.2二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 要点精析 例1解：(1)方法-：3Vx+,=C(3Vx4 c3vyc(3VP川V.c3v 4c广-8110e+54+2+ 方法=：3v+广广-是43 是[1+C-3x+C(3x)24C(3x)P4C(3x)']=2(1+12x+54r+ 108x+81x)=13+12+54+108x+81x2. 35 高中数学选择性必修第二册人教B版 (2)原式=C8(x+1)(-1)+C(x+1)-(-1)+C(x+ 1)-2(-1)2+…+C(x+1)-*(-1)+…+Cm(-1)=[(x+1)+(-1)]m =x" 变式训练1解：原式=C9(x-1)5+Cg(x-1)4+C(x-1)3+ C(x-1)2+C(x-1)+Cg-1=[(x-1)+1]5-1=x-1. 例2解：-C(V2)-c2 ()令4子=1，解得=4含x的一次项为7 C25. (2)令4-子k∈Z,且0≤k≤8，则k=0,4,8, 含x的有理项分别为T=,1碧，T256 变式训练2解：(1)第3项的二项式系数为C=15, 又1=C2V元=240，第3项的系数为 240. 2c2v左广eizc,令 3-k=2,解得k=1,.含x2的项为第2项，且T=-192x2 例3(1)D(2)C【解析】(1)由二项式定理， 得(1+x)的展开式的通项为T4=C,∴.(1+a)(1+x) 的展开式中含x2的项的系数为C+Ca=5,∴.a=-1,故 选D. (2)(1+2x)(1-x)4的展开式中含x项的系数是由 两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次 项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x), C!·(-x)'+C·(2x)1.C9·14.(-x)0,其系数为C9xC4× (-1)+Cx2xC8=-4+6=2.故选C 变式训练3-20【解析】由二项展开式的通项公式，可 知含xy的项可表示为xC8xy-yC8xy,故(x-y)(x+ y)8的展开式中xy的系数为C8-C8=8-28=-20. 例4解：(1)方法一：.(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)] 1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x 3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+ x(2-3x)5x的系数为上式各项中含x的项的系数和， 即10C21.(-3)245C423.(-3)'+2=92 方法二：.(1+2x-3x2)=(1-x)5(1+3x)5=(1-5x+10x2 10x3+5x-x)(1+15x+90x2+270x3+405x+243x),∴.展开式 中x5的系数为243-5×405+270x10-10x90+5x15-1=92. 36 方法三：(1+2x-3x2)5相当于5个(1+2x-3x2)相 乘，因此要求展开式中含x项的系数，只需借助二项 式定理的原理求解即可，C；(2x)5+C(2x)C2(-3x2)+ C(2x)C(-3x2)2=92x3.故展开式中x3的系数为92. 数学文化 例1D【解析】第3次出现全行为1，这说明杨辉三角 中这一行全是奇数，即C(k=0,1,2,…,n)是奇 数，经验证可知，第3次出现全行为1时，1的个数为 8,即a=8.故选D. 例298【解析】三角形数阵中，每一行的数由二项式 系数C,=0,1,2,…,n组成.设在第n行中有C 如片忌料名，那 9k-4n=4, 解得 5n-11k=6, n=98,因此答案为98. k=44. 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 及二项式定理的应用 要点精析 例1B【解析】(1)由题意，第6行为1,6,15,20， 15,6,1,第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故 第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.故选B. 变式训练134【解析】由题意，设第n行的第14个数 与第15个数的比为2：3，它等于二项展开式的第14项 和第15项的二项式系数的比，C:C4=2:3,即14 n-13 =号，解得m=34,在第34行中，从左至右第14个数 与第15个数的比为2：3. 例2解：(1)令x=l,得ao+a+a+…+as=1. (2)令x=-1,得(-3)5=-+a1-+a-a4+a.由(2x 1)卢的通项T+1=C(-1).25-.x5-*,知a1,a,5为负 值，.lawl+lal+al+…+las|=a-a+a2-3+a4-as=35=243. (3)由ao+a++…+s=1,-a+a-++a=-35,得 2(a+as+as)=1-35,a+ard=-1与3=-121. 2 变式训练2解：(1)a+a+a+…+as=1,-ao+a-a2+… a3aoa-1-12 (2).0是(2x-1)5的展开式中x3的系数，.ao=2= 32.又ao+a+a+…+as=1,∴.atta3+a4+as=-31. 变式训练3解：(x2-2x-3)0=a+a1(x-1)+a(x-1)2+… +n(x-1)D,令x-1=,展开式化为(2-4)=a+at+a2+… +a2120 (1)a=C8(-4)°=-4x10. (2)令t=l,得a+a+a+…+a=310,令t=-1,得ao 4+a-…+a20=30，∴.a+as+as+…+ag=0. (3)由(2）得ao+a+a4+…+=310 例3解：令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)= 4”,又.展开式中各项的二项式系数之和为2”.由题意， 知4-2=992.∴(2)2-2-992=0，∴.(2+31)(2-32)=0， .2=-31(舍去)或2=32，.∴n=5. (1)=5为奇数，.展开式中二项式系数最大的项 为中间的两项，它们分别为T3=C(x号)3(3x2)2=90x, T4=C(x号)2.(3x2)-270x号 (2)展开式的通项公式为T1=C53·x6,假 设T项系数最大，则有 C3≥Cg1.3-, C3≥C1.3+, 51 (5-)13≥ 51 6-k)1(k-1)I’ 5！ 5！ (5-)k1≥4k)ih+1×3, 即 1 37k≤号k∈N,k=4, 展开式中系数最大的项为T,=Cx(3x2)=405x 变式训练4解：V-是厂的展开式的通项公式是 I=C(V是(-2yCx字0≤≤n,keN. 7=74=2Cxi0,T==2Cx53S=10, 22C2-1 .n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去). 山)令x1,则V-是广(1-21，即所求各项 系数的和为1. (2)展开式的通项公式为T=(-2)Cx学(0≤k≤ 8,keN).令8=号，解得1，展开式中合子 的项为T2=T14=(-2)'Cx=-16x (3)展开式的第k项、第(k+1)项、第(k+2)项的 参考答案。 系数的绝对值分别为C2,C2,C2.若第(k+1) C2H≤C2, 项的系数绝对值最大，则有 C2≥C2, 解得5≤k≤6， 故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即 T=-1792x号，T=1792x4 例4(1)解：20210=(8×252+5)0 :其展开式中除末项为50外，其余的各项均含有8 这个因数，：20210除以8的余数与50除以8的余数相 同.又5=25=(3×8+1)，其展开式中除末项为1外， 其余的各项均含有8这个因数，50除以8的余数为1， 即20210除以8的余数也为1. (2)证明：32*2-8n-9=(8+1)-8n-9 =Cg,8m+1+C18"+…+Cmt-8n-9 =C08m++C08"+…+Cm82+(n+1)×8+1-8n-9 =C08++Ca18"+…+Cm82 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被 64整除. 变式训练5(1)证明：原式=4·6"+5n-4=4(5+1)+5n- 4=4(C0.5"+C.5m-l+C2.5-2+…+Cm)+5n-4 =4(C0·5"+C·5-+…+Cm-2.52+Cg-.51)+4C%+5n-4 =4(C%·5+C·5+…+Cm-2.52)+20m+4+5n-4 =4(C0.5n+C.5+…+C%-2.52)+25n. 以上各项均为25的整数倍，故22.3"+5n-4能被25 整除。 (2)解：0.998=(1-0.002)6=1+C6(-0.002)+C· (-0.002)2+…+C(-0.002)5 由题意，知T=-C6(0.002)2-15x0.0022-0.00006<0.001, 且第3项以后（包括第3项）的项的绝对值都远小 于0.001，故0.998=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988. 数学文化 例ABC【解析】由组合数的互补性质，可得C=C", 故A正确；由组合数的性质，可得C+C=C1,故B 正确；由二项式系数和的性质，可得C+C+C%+…+C= 2,故C正确：11=(10+1)5=105+5×104+10×103+10×10+ 5×10+1=161051,故D错误.故选ABC >“第三章章末复习课 要点精析 例1(1)B【解析】根据题意，不考虑特殊情况，共 37N 高中数学选择性必修第二册人教B版 3.2 二项式定 第1课时 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理 2.掌握二项式定理及其展开式的通项 公式 3.会用二项式定理解决与二项展开式有 关的简单问题 要点精析 川要点1二项式定理的正用、逆用 一般地，当n是正整数时，有 (a+b)=C9ad+Cndb+…+C%d+b+…+Crbn 上述公式称为二项式定理，等式右边的 式子称为(a+b)的展开式，它共有n+1项， 其中Cd,是展开式中的第k+1项（通常 用T表示)，C称为第k+1项的二项式系数 创1山求3V+:”的展折式 (2)化简：C0(x+1)n-C(x+1)-+C2(x+ 1)n-2-…+(-1)C(x+1)m-+…+(-1)rC% (20)学 理与杨辉三角 二项式定理 反思感悟 (1)(a+b)"的二项展开式有n+1项， 是和的形式，各项的幂指数规律是：①各 项的次数和等于n;②字母a按降幂排列， 从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字 母b按升幂排列，从第一项起，次数由0 逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式， 体现的是整体思想.注意分析已知多项式的 特点，向二项展开式的形式靠拢。 D变式训练① 化简：(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x- 1)2+5(x-1). 川要点2二项展开式的通项的应用 (a+b)"展开式的第k+1项称二项展开式 的通项公式，记作T+=Cdb 思考二项式系数与二项展开式中项 的系数相同吗？ 例2在 中 (1)求展开式中含x的一次项. (2)求展开式中所有的有理项. 反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的 指数为0（即0次项）· (2)对于有理项，一般是先写出通项 公式，求其所有字母的指数恰好都是整数 的项.解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整 数集，再根据数的整除性来求解， (3)对于二项展开式中的整式项，其 通项公式中同一字母的指数应是非负整数， 求解方式与求有理项一致， 第三章排列、组合与二项式定理 B变式训练2 的展开式中： (1)求第3项的二项式系数及系数. (2)求含x2的项. 川要点3求两个多项式积的特定项 例3(1)若(1+a)(1+x)5的展开式 中，含x2的项的系数为5，则a等于（) A.-4B.-3 C.-2D.-1 (2)(1+2x)3(1-x)4的展开式中，含x 项的系数为() A.10 B.-10C.2D.-2 反思感悟 求多项式积的特定项的方法—“双通 法”： 所谓的“双通法”是根据多项式与多项 式的乘法法则得到(a+bx)”(s+t)m的展开式 中一般项为TkTH=Cd*(bx).Cns(tx)y, 再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与 k所满足的条件，进而求出T,飞的取值情况. 学(21 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 变式训练③ (x-y)(x+y)8的展开式中xy7的系数为 (用数字作答) 川要点4二项式的展开式中特定项的求法· 例4求(1+2x-3x2)5的展开式中x5的系数. 反思感悟 本例的求解采用了三种方法，其中方 法三是最优解，其求解应用了二项式定理 的原理，避免了方法一、方法二计算的繁 杂，在学习中要重视数学运算方法的择优， 提升数学运算素养， (22)学 数学文化 例1将杨辉三角中的奇数换成1，偶 数换成0，便可以得到如图的“0一1三角”. 在“0一1三角”中，从第1行起，设第n (n∈N)次出现全行为1时，1的个数为a, 则等于（ 第0行 第1行 第2行 0 第3行 第4行 0 00 1 第5行11 0011 。, 图3-2-1 A.26B.27 C.7 D.8 例2在如图所示三角形数阵中，从第 3行开始，每一行除1以外，其他每一个数 字是它上一行的左右两个数字之和.已知这 个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数 阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的 数字之比为4：5：6，则这一行是第 行（填数字）： 第0行 第1行 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行1615201561 图3-2-2 第2课时 二项式系数的性质、 学习目标 1.理解二项式系数的性质并灵活运用. 2.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项 式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 3.会用二项式定理解决整除问题. 要点精析 川要点1与杨辉三角有关的问题 1.杨辉三角 当n依次取0,1,2,3，…时，(a+b)” 展开式的二项式系数如图所示， (1 (1(1 ①②① ①3③① ①④64① @③⑩西百0 ①6⑤056① 图3-2-3 图中所示的二项式系数表在我国称为 “杨辉三角” 2.杨辉三角至少具有以下性质 (1)每一行都是对称的，且两端的数都 是1： (2)从第三行起，不在两端的任意一个 数，都等于上一行中与这个数相邻的两数 之和. 第三章排列、组合与二项式定理 杨辉三角及二项式定理的应用 例1杨辉三角如图所示，杨辉三角中 的第5行除去两端数字1以外，均能被5整 除，则具有类似性质的行是() 第0行 第1行 第2行 1 2 第3行 3 3 1 第4行 14641 第5行 15101051 … 图3-2-4 A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行 反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路： (1)通过观察找出每一行数据间的相 互联系以及行与行之间数据的相互联系」 (2)然后将数据间的这种联系用数学 式表达出来，使问题得解 (3)注意观察方向：横看、竖看、斜 看、连续看、隔行看，从多角度观察 B变式训练① 如图所示，在由二项式系数所构成的杨 辉三角中，第 行中从左至右的第 14个数与第15个数的比为2：3. 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 图3-2-5 学(23 高中数学选择性必修第二册人教B版 要点2二项展开式的系数问题和二项 式系数的性质 在(a+b)的展开式中，与首末两端“等 对称性距离”的两个二项式系数相等，即C= Ch- 增减性：当k<+1时，二项式系数是逐 2 渐增大的；当k>+l时，二项式系数是 增减性与逐渐减小的， 最大值 最大值：当n为偶数时，中间一项的二 项式系数C?最大；当n为奇数时，中间 两项的二项式系数C号，C学相等，且同 时取得最大值 各二项式(1)C+C+C+…+C=2; 系数的和(2)C8+C+C+…=C+C+C+…=2- 思考若(a+b)”的展开式中第5项的 二项式系数最大，则n的值可以为多少？ 例2已知(2x-1)5=aox3+ax4+a2x3+2x2+ a4+a5,求下列各式的值 (1)ao+a+a2++as. (2）laol+lal+lal+…+lasl. (3)a+a+a5. (24学 变式训练2 在例2的条件下，求下列各式的值 (1)a+a2+a4. (2）+a2++4+5. 反思感悟 二项展开式中系数和的求法： (1)对形如(a+b)",（a2+bx+c)m (a,b,c∈R,m,n∈N)的式子求其展开 式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x=1即可，对(ar+by)”(a,b∈R,n∈N) 的式子求其展开式的各项系数之和，只需 令x=y=1即可. (2）一般地，若f代x)=+ax+a2x2+…+,x”, 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为 ao+azta+...=f(D)+f(-1) 偶数项系数之和为 a+as+as+=f1)上f-1) 2 变式训练3 已知(x2-2x-3)10=+a1(x-1)+2(x-1)2+ …+a2(x-1)20.求： (1)2的值 (2)a+a+5+…+a9的值 (3)a+a2+a4+…+a20的值. 川要点3二项式系数性质的应用 例3已知f(x)=(Vx2+3x2)"的展开式 中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求： (1)展开式中二项式系数最大的项， (2)展开式中系数最大的项. 第三章排列、组合与二项式定理 反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式 系数的性质对(a+b)"中的n进行讨论， ①当n为奇数时，中间两项的二项式 系数最大； ②当n为偶数时，中间一项的二项式 系数最大 (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式 系数的最大项是不同的，需要根据各项系 数的正、负变化情况进行分析.如求(a+ bx)”(a,b∈R)的展开式中系数的最大 项，一般采用待定系数法.设展开式中各项 系数分别为Ao,A1,A2,…,An,且第k+1 A≥Ak1, 项最大，应用 解出k,即得出系 A≥Ak+, 数的最大项 B变式训练④ 已知Vx- ”(neN,)的展开式中 第5项的系数与第3项的系数的比是10：1. (1)求展开式中各项系数的和： (2)求展开式中含x的项， (3)求展开式中系数的绝对值最大的项. 学(25 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 川要点4二项式定理的应用 例4(1)试求20210除以8的余数. (2)求证：32n2-8n-9(n∈N)能被64 整除 反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整 除的问题，通常需将底数化成两数的和与 差的形式，且这种转化形式与除数有密切 的关系。 B变式训练⑤ (1)求证：2m2.3"+5n-4(n∈N)能被 25整除 (2)求0.9986的近似值，使误差小于 0.001 (26)学 数学文化 例（多选题）我国南宋数学家杨辉所 著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉 三角，由此可见我国古代数学的成就是非常 值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的 猜想中正确的是() 第1行 第2行 12 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行1615201561 图3-2-6 A.由“与首末两端‘等距离’的两个 二项式系数相等”猜想：Cm=Cm B.由“在相邻的两行中，除1以外的每 一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜 想：Cm+1=C+C C.由“第n行所有数之和为2”猜想： C0+C+C+…+Cn=2” D.由“111=11,112=121,113=1331” 猜想：115=15101051