3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

得n=7. ,rC62x>1, 2.A由 7>1,c2>c2x.五<<号 3.D 由于(1+在+)广表示4个因式（压++）的乘积。 故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都 取1：②有2个因式取反，一个因式取1，一个因式取： 故展开式中的常数项为1+C×C2=13. 4.BCT,+1=C6·26-·(-1)'·x3- ∴.展开式共有7项全部为有理项，A错误；展开项的系数为 -Cg·8=-160,B正确；令3-r=0,得r=3..常数项为 -160,C正确；令x=1,得各项系数和为1，D错误.故选BC 5.5将(3+x)“的展开式按照x的升幂排列，则倒数第三项的 系数是C%2·32=90, 求得n=5(负值舍去). 6.1625展开式通项是：T+1=C(√2)9-‘x,所以常数项是 T=Cg(2)=162,若系数为有理数，则9-r为偶数，所以r 为奇数，所以r可取1,3,5,7,9. 75-心（子。 3 =G(}(-是 M+N-+2-2 当且仅当警-会时等号成立，即=五 8(1)C+c-2·2Cr2-m+8=0, .n≥2，.n=8. (2).n=8,.展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第 5项即=G（2-装 c(j≥c(2, (3)研究系数绝对值即可 c(2)≥c(分， 解得2≤r≤3， reN,.r=2或3. r=3时，系数为负。 六系数最大的项为T,=7x】 9.(1)因为(1+x)"=C0+Cx+C2x2+…+C”x",n≥4， 所以a,=C?=n(n-1) 2 a3=C=n(n-1)(n-2) 6 a4=C-n-l)(n-2)(n-32 24 因为a=2a2a4, 18 所t以n-ln-2=2×n,-山xnn-2n-3】 6 2 24 解得n=5. (2)由(1)知n=5. 即(1+B)"=(1+3)5, 所以C+C;5+C(5)2+C(5)3+C(5)4+C(5)5= a+b3. 因为a,beN, 所以a=C8+3C2+9C=76,b=C+3C+9C=44. 练案[7] A组·素养自测 1.C 令x1,得出36 的展开式中各项系数和为(3 1)"=256,解得n=8; (3 的展开式通项公式为： =(-1)…38-C8·x4-, 令4-r=0,解得r=4. ∴.展开式的常数项是T,+1=T,即第5项故选C 2.A9+C1·9-1+…+C·9+C% =g(91+C9++C92+Cn9+C)-) =(9+1)-与=g(10-1是1的倍数， ∴n+1为偶数，n为奇数. 3.D由条件知，(a-1)20=1,a-1=±1， .a为正实数，.a=2. ·展开式的第2020项为： mc器2(- =-2C·x-2018=-4040x-2018,故选D. 4.80由通项公式T+1=C5·25-·x3-·(-1)=C5·(-1) ·25-x5-‘, 令5-r=3,得r=2, 可得x3项的系数为C?·(-1)2·2-2=80. 5.ACD对任意实数x, 有(2x-3)”=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+ a(x-1)9=[-1+2(x-1)]9, 所以a2=-C号×22=-144，故A正确； 故令x=1,可得a0=-1,故B不正确； 令x=2,可得a0+a1+a2+…+ag=1,故C正确； 令x=0,可得a0-a1+a2+…-a,=-3°，故D正确. 6.510令x=1,得2"=32，得n=5,则T,1=C·(x2)5-· ()=C·-,令10-5r=0,r=2故常数项为1=10 7.1或371=C(-0) =(-a)'.Cg·x8-2,令8-2r=0得r=4, 由条件知，a4Cg=1120,.a=±2， 令x=1得展开式各项系数的和为1或38 8.510(x-1)3展开式的通项T,1=Cx3-·（-1)',(x+ 1)4展开式的通项T1=Cx-,则a1=C+C4=1+4=5;a2 =C3(-1)+C4=3;a3=C(-1)2+C4=7;a4=C3(-1)3+ C4=0.所以42+a3+a4=3+7+0=10. 9.(1)令x=1,得： a0+a+a+…+a21=(-1)221=-1. ① (2)令x=-1,得：a0-a1+a2-…-a2m1=3201 ② ①-②得： 2(a1+a3+…+a2o9+a22）=-1-32 六a+a,+a,+…+am=-1+320 2 (3):T,1=C2m1·11-.(-2x) =(-1)'·C202·(2x)', .a2k-1<0(keN*),ak>0(keN*). .∴.Iao1+la1I+|a2l+la31+…+la22l =a0-a1+a2-a3+·+a2020-a221 =32021 10.(1)由已知Cm+2C4=11,所以m+2n=11,x2的系数为 C2+2C:=m(m,-D+2n(n-1) 2 =2m-m·("2-=(m+ 2 因为meN", 所以m=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3. (2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m=5,n=3, 所以f(x)=(1+x)3+(1+2x)3, 设这时f(x)的展开式为 f(x)=ao+a+ax+a+ax+asx, 令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=23+33, 令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30. B组·素养提升 1.D第1行和第3行全是1，已经出现了2次，依题意，第6行 原来的数是C,而C6=6为偶数，不合题意；第7行原来的数 是C,即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数，一共有8个，全部 转化为1，这是第三次出现全为1的情况. 2.C令x=0,可得a0=1, 20 令x=可得0=1+号+尝+…+器。 受+学+…+学器=-1，放选C —18 3.ABD由二项式系数的性质知C。+Ci。+C。+…+C8=20 =1024,故A正确.二项式系数最大的项为Co,是展开式的 第6项，故B正确.由展开式的通项为T+1=Coa0-*(-b) =(-1)Coao-b知，第6项的系数-Ci最小，故D正确 4.CD对于A,(1-x)221的展开式中，常数项为1，令x=-1, 得所有项系数的绝对值的和为(1+1)201=221，所以展开式 中非常数项系数的绝对值的和为2221-1，所以A中命题是 假命题；对于B,展开式的通项公式为T,+1=C221·(-x)'= （-1)C22x(r=0,1,2,…,2021),所以系数最大的项是第 1011项，所以B中命题是假命题；对于C,令x=1,得(1- 1)2=0,易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负， 故展开式中偶数项的系数和是-22，所以C中命题是真命 题；对于D,当x=2022时，(1-2022)221=1-Cm1×2022 +C×2022-…-2022201,展开式中不含2022的项是1， 所以当x=2022时，(1-x)20除以2022的余数为1，所以D 中命题是真命题.故选D. 5.nn+山观察给出各展开式中2的系数：1,3,6,10，据此可 2 猜测a,=n(n+1) 2 6.120f3,0)=C6=20,f(2,1)=C6C4=60,f1,2)=C6C4= 36,f(0,3)=C4=4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =20+60+36+4=120. 7.3”+1设f代x)=(1+x+2)“, 2 则f1)=3”=a0+a1+a2+…+a2a, ⊙ f-1)=1=ag-a1+a2-a3+…+am, ② 由①+②得2(ao+a2+a4+…+a2m）=f八1)+f-1), 所以a,+3+a4+…+a=f)+-D_3+1 2 2 8.设(2x-3y)10=ax0+a1xy+a2xy2+…+a10y0,（*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和 (1)二项式系数和为 C90+Cio+…+C8=20. (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)0=(-1)10=1. -1-510 (3)x的奇次项系数和为a1+a+a,+…+a,=2； x的偶次项系数和为a,+a,+a4+…+a。=1,四 2 9.(1)由题意知：T,+1=C2x2m-,则第4项的系数为C2,倒 数第4项的系数为C-32-3,则有 2-6=2, 所以n=7. (2)由(1)可得T1=C2'x4-(r=0,1,…,7), 当r=0,2,4,6时，所有的有理项为T,T3,T5,T,, 即T1=C92°x4=x4,T3=C2x=84x°， T5=C124x=560x4,T7=C92x-1=48x-1 (3)设展开式中第r+1项的系数最大，则 rC2'≥C*12*1 C2'≥C5-12-1→ 27-）,≤≤，所以r三 2(8-r)≥r 5,故系数最大项为T6=C2x产=672x是 练案[8] A组·素养自测 1.ACD由条件概率公式P(B1A)=PAnB及O≤P(A)≤1 P(A) 知P(BIA)≥P(A∩B),故A选项错误；当事件A包含事件B 时，有PAn®)=P(B),此时P(BIA)=器放B选项正 确：由于0≤P(BIA)≤1，P(AIA)=1,故C,D选项错误.故 选ACD. 2.B P(A)=C+C=2 Cc3_1 =5,P(AB)=9 C210 由条件概率公式得风)=骨=子放选区 3.B有一个是女孩记为事件A,另一个是女孩记为事件B,则所 求概率为 P(BIA)=P(AB)1 P(A)=3 4.C设第一次抽到数学题为事件A,第二次抽到数学题为事 件B, 由起知P(B)=品P(A)-号 所以P(BIA)=PCAE=L P(A)=2 5.A先算出同时爱好两项的概率，利用条件概率的知识求解。 同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=0.4， 记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事 件B, 则P(A)=0.5,P(AB)=0.4, 所以PBA)=识-是等=08放选A 695 99 设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次抽到正品”为事 件B.圆P品20AB)=品丽PBA =P(AB)-95 P(A)=99 ·解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共 30种，其中点数之和≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),共 12种 所求概率P=子 解法二：设A=“投掷两颗骰子，其点数不同”，B=“飞≤6”，则 r)君=名号号 -18 ·P(B1A)=P（AB=2 P(A=5 8.3 :P(A)=高=立P(4nB)=名P(B1A) P(A) 1 12 C n(n-1) 1 9(①)由题意得衣n43n+20 解得n=2(n=-了合去 (2)记“其中一个小球的标号是1”为事件A,“另一个小球的 标号是1r发件88骨专C=片 10.设“任选一人是男人”为事件A,“任选一人是女人”为事件 B,“任选一人是色盲”为事件C. (1)此人患色盲的概率P(C)=P(AC)+P(BC) =P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB) 瑞×高+器5-动 5 (2)由题可得所求概率为P(A1C)=P4C_200_20 P(C)=21=2i 800 B组·素养提升 1.C设某天的空气质量为优良的概率是P(A),则 P(A)=专，设连续两天的空气质量为优良的概率是 P(AB),则P(AB)=号， 3 所以所求的概率为P(B1A)=4=三=子，故选C. P(A)-4 2.A由题可得P(A)= CC 1 2C之=5，P(AB)c4C10 1 则P(BIA)= %0=9=子故选1 P(A) 2 5 3.A由已知得，事件B的基本事件个数为4，事件AB的基本 事件个数为A, 所以P(AIB)= 2放选A A43 4.A记事件A:某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管 病，记事件B:某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管 病，则由已知可得P(A)=1-0.02=0.98,P(B)=1-0.16= 04,因此，PB8-器=号放远1 石记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B则 n(A)=A,(AB)=A,P(B1A)==6 A51 3练案[7] 第三章排列、组合与二顶式定理 3.3[第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角] b组·素养自测 8.已知多项式(x-1)3+（x+1)4=x+a1x3+a2x 一、选择题 +43x+a4,则a1= ;a2+a3+a4 13 的展开式中各项系数之和为 三、解答题 256,则展开式的常数项是 9.设(1-2x)2021=a,+a1x+a2x2+…+a21x20 A.第3项 (x∈R) B.第4项 C.第5项 D.第6项 (1)求a+a1+a2+…+a221的值； 2.若9+C1·9-1+…+C·9+C+1是11 (2)求a1+a3+a5+…+a221的值； (3)求lao1+|a1I+1a21+…+Ia2m1I的值. 的倍数，则自然数n为 A.奇数 B.偶数 C.3的倍数 D.被3除余1的数 2020 3.若a为正实数，且ax- 的展开式中各项系 数的和为1，则该展开式第2020项为 1 1 B.- t220 C.4040 10.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)"(m,n∈N*) x2018 D.-4040 x2018 的展开式中x的系数为11， 4.(2025·上海卷)在二项式(2x-1)5的展开式 (1)求x2的系数取最小值时n的值； 中，x3的系数为 (2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开 5.(多选)对任意实数x,有(2x-3)9=a+a1(x-1) 式中x的奇次幂项的系数之和. +2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a(x-1)9,则下 列结论成立的是 A.a2=-144 B.a=1 C.a0+a1+a2+…+ag=1 D.a-a1+a2-a3+…-a,=-39 二、填空题 6若父+ 展开式的各项系数之和为32，则n= ,其展开式中的常数项为 (用数 字作答) 7.已知x- 展开式中常数项为1120，其中 实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 114 8组·素养提升 由以上等式推测：对于n∈N*,若(1+x+x2)”= a+a1x+a2x2+…+2nx2n,则2= 一、选择题 1.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可 6.记f(m,n)为(1+x)(1+y)4展开式中x"·y 以得到如图“0-1三角”.在“0-1三角”中， 项的系数，则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ 从第1行起，设第n(n∈N,)次出现全行为1 f(0,3)= 时，1的个数为an,则a3等于 ）7.若(1+x+)°=a+a+a2+…+a.2 则a0+a2+a4+…+a2n= 第0行 三、解答题 第1行 ! 11 8.在(2x-3y)的展开式中，求： ! (1)二项式系数的和； 第2行 101 (2)各项系数的和； 第3行 1111 (3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 第4行 10001 第5行 110011 … A.26 B.27 C.7 D.8 2.设(1-2x)201=0+4x+a,x2+…+a2m1x201, 则2+2+…+器的值为 A.2 B.0 C.-1 D.1 3.（多选)关于下列(a-b)1°的说法，正确的是 9.在x2+ 的展开式中，第4项的系数与倒 A.展开式中的二项式系数之和是1024 数第4项的系数之比为) B.展开式的第6项的二项式系数最大 (1)求n的值； C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 (2)求展开式中所有的有理项； D.展开式中第6项的系数最小 (3)求展开式中系数最大的项. 4.（多选)在(1-x)2021的展开式中，有下列四个 命题，其中为真命题的是 A.非常数项系数的绝对值的和是1 B.系数最大的项是第1010项 C.偶数项的系数和是-2220 D.当x=2022时，(1-x)221除以2022的余 数为1 二、填空题 5.观察下列等式： (1+x+x2)1=1+x+x2, (1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x, (1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+ 3x3+x, (1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+ 16x+10x+4x+x, 身中中◆中中 i: 115