.2从立体图形到平面图形_分层训练 2026--2027学年北师大教版七年级数学上册

**基本信息** 本同步练习按夯实基础、能力提优、拓展探究分层设计，通过基础题巩固立体图形展开图与三视图等核心概念，提优题强化综合辨析与应用，拓展题培养空间观念与推理意识，形成从单一到综合的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|立体图形展开图、三视图、截面等单一知识点|选择填空直接考查概念（如三棱柱展开图组成），解答题训练基本操作（如添加正方形折叠正方体）| |能力提优|综合概念辨析、多视图转化、几何体表面积计算|组合选择判断正误（如多概念辨析），填空考查规律应用（如截面边数），解答题强化推理（如举反例说明）| |拓展探究|最值问题、复杂几何体侧面积、多视图还原|综合题涉及最少/最多小正方体个数，结合实际计算三棱柱侧面积，培养创新意识|

北师大版 · 七年级数学 · 1.2 从立体图形到平面图形 · 分层训练 1.2从立体图形到平面图形 分层训练 北师大版 · 七年级上册 第一部分（夯实基础·必做） 一、选择题（共 8 题） 1．把一个三棱柱沿某些棱剪开并展平，所得表面展开图中一定含有（　　） A．2个三角形和3个长方形 B．1个三角形和4个长方形 C．2个圆和1个长方形 D．1个圆和1个扇形 2．圆柱的侧面沿一条母线剪开并展平，得到一个长方形。这个长方形的一组邻边分别对应圆柱的（　　） A．高和底面周长 B．高和底面半径 C．底面直径和半径 D．底面周长和直径 3．一个圆锥底面水平放置，则从正面、左面、上面看到的形状依次可能是（　　） A．三角形、三角形、圆 B．圆、三角形、圆 C．三角形、圆、三角形 D．圆、圆、三角形 4．用一个平面去截一个直圆柱，下列图形中不可能作为截面的是（　　） A．圆 B．长方形 C．椭圆 D．三角形 5．下列四个图形均由6个大小相同的正方形组成，其中不能折叠成正方体的是（　　） 6．正方体的一种“一四一”型展开图中，中间一行依次有4个正方形。折叠后，这一行中相隔一个正方形的两个面的位置关系是（　　） A．相对 B．相邻 C．重合 D．无法确定 7．如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，箭头所指方向为正面。从左面看到的形状是图中的（　　） 8．下列关于“从三个方向看物体的形状”的说法正确的是（　　） A．从正面与左面看到的形状一定相同 B．从上面看到的形状一定能确定物体中小正方体的总数 C．同一物体从不同方向看到的形状可能不同 D．只看一个方向就能确定任意几何体的形状 二、填空题（共 5 题） 9．正方体共有________种基本表面展开图。 10．五棱柱的表面展开图由________个五边形和________个长方形组成。 11．如图是一个正方体的表面展开图。折叠后，与1号面相邻的四个面的编号为________________。 12．用一个平面去截正方体，截面最多是________边形。 13．如图，小正方形内的数字表示该位置上小正方体的个数。从正面看到的形状图共有________个小正方形，从左面看到的形状图共有________个小正方形。 三、解答题（共 3 题） 14．如图，已有5个大小相同的正方形。在图中标出的①～⑤五个位置中任选一处再添加1个正方形。 （1）哪些位置添加后能折叠成正方体？ （2）符合条件的位置共有几个？ 15．如图，用一个平面截去正方体的一个角，阴影三角形为截面。 （1）截面的形状是什么？　（2）截去这个角后，剩余几何体有多少个面？说明理由。 16．一个几何体由若干个相同的小正方体搭成，从上面看各位置上的小正方体个数如下表（0表示该位置没有小正方体）。 位置 第1列 第2列 第3列 后排 1 0 2 中排 2 1 1 前排 1 3 0 （1）在方格纸上画出从正面和左面看到的形状图； （2）这个几何体一共由多少个小正方体搭成？ 第二部分（能力提优·必做） 四、选择题（共 7 题） 17．下列说法中正确的有（　　）个：①正方体有11种基本表面展开图；②用平面截正方体可能得到七边形；③圆柱的截面可能是三角形；④只给出从上面看到的形状，通常不能唯一确定小正方体的总数。 A．1 B．2 C．3 D．4 18．某几何体的表面展开图由2个全等三角形和3个长方形组成，则这个几何体可能是（　　） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 19．如图是一个正方体的展开图。折叠后，下列三组面中能够在正方体的同一个顶点处相交的是（　　） A．甲、乙、戊 B．甲、丙、丁 C．乙、丁、己 D．丙、戊、己 20．用一个平面截正方体，若截面恰好是五边形，则截平面与正方体的（　　）个面相交。 A．3 B．4 C．5 D．6 21．如图，圆柱侧面展开图的长方形边长为12π cm和8 cm。若8 cm为圆柱的高，则底面半径为（　　） A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 22．在下列常见几何体中，从正面和左面看到的形状都是长方形，从上面看到的形状是圆的是（　　） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 23．如图给出了一个小正方体组合体从正面和上面看到的形状。搭成该几何体至少需要（　　）个小正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 五、填空题（共 5 题） 24．下列几何体均按底面水平的常见方式放置，完成下表。 几何体 底面个数 侧面展开图 从上面看 三棱柱 2 3个长方形 ________ 圆柱 2 ________ 圆 圆锥 1 扇形 ________ 25．圆柱侧面展开图是一个两条邻边长分别为8 cm和12π cm的长方形，并且8 cm是圆柱的高，则圆柱底面周长为________cm。 26．用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，因此截面的边数共有________种可能。 27．一个小正方体组合体的底层从上面看共有5个位置，其中3个位置各叠2层，另外2个位置各叠1层，则从上面看到的形状图面积相当于________个小正方形的面积，这个组合体共有________个小正方体。 28．如图是一个组合体从上面看到的各位置层数。若只在原有位置上再添加1个小正方体，并保持从正面、左面、上面看到的形状都不变，则共有________个位置可以添加。 六、解答题（共 3 题） 29．判断下列说法是否正确。若错误，请说明理由或举反例。 （1）“两个不同的正方体展开图折叠后，得到的正方体形状、大小一定不同。” （2）“一个几何体从正面和左面看到的形状相同，它一定是正方体。” 30．如图，小正方形内的数字表示该位置上的小正方体个数。 （1）画出从正面和左面看到的形状图； （2）说明画图时每一列（或每一排）的高度是怎样确定的。 31．如图是一个长方体包装盒的一种表面展开图，六个面分别标记为A～F，长方体的长、宽、高分别为6 cm、4 cm、3 cm。 （1）写出三组相对面； （2）求制作这个长方体包装盒至少需要的纸板面积（不计接缝与损耗）。 第三部分（拓展探究·选做） 七、综合题（共 2 题） 32．如图是一个直三棱柱的表面展开图。底面三角形三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm，侧棱长为6 cm。 （1）三个长方形侧面的面积分别是多少平方厘米？ （2）求这个三棱柱三个侧面的面积之和。 33．如图给出了某个由相同小正方体搭成的几何体从正面、左面和上面看到的形状。 （1）搭成这个几何体最少需要多少个小正方体？ （2）搭成这个几何体最多需要多少个小正方体？ （3）请在上面看到的5个位置中填写一种符合条件的层数（用数字表示），并说明你的填写符合三个方向的形状图。 详细答案与解析 第一部分（夯实基础·必做） 1．答案：A 三棱柱有2个全等的三角形底面和3个长方形侧面。沿棱展开后，各面的形状、个数不变，因此展开图一定含2个三角形和3个长方形。 2．答案：A 圆柱的侧面沿一条母线剪开后展开成长方形，其中一条边等于圆柱的高，另一条边等于底面圆的周长。 3．答案：A 圆锥正放时，从正面和左面看到的外轮廓均为三角形；从上面看，看到的是底面圆的轮廓，因此依次为三角形、三角形、圆。 4．答案：D 平行于底面的截面是圆；平行于圆柱轴线的截面可以是长方形；适当的斜截面可以是椭圆。圆柱的侧面是曲面，平面截圆柱不能得到由3条线段围成的三角形，因此选D。 5．答案：B A、C、D均能通过折叠使6个面分别落到正方体的6个方向；B是2×3的长方形，折叠时会发生面重合，不能围成正方体。 6．答案：A “一四一”型中，中间一行4个面连续排列。第1个面与第3个面折叠后方向相反，第2个面与第4个面方向相反，所以相隔一个正方形的两个面互为相对面。 7．答案：A 从左面观察时，只看前后方向各位置的最高层数。图中三个前后位置的最高层数依次为1、2、1，因此看到的形状是中间一列高2格、两侧各高1格，即A。该形状左右对称，不受观察图左右对应方式的影响。 8．答案：C 立体图形具有空间位置关系，从不同方向观察得到的是不同方向的投影，因此所得平面形状可能不同。仅凭一个方向通常不能唯一确定原物体。 9．答案：11 正方体6个面沿棱展开后，在不把面剪散的条件下共有11种基本展开形式。这些形式可进一步按“一四一”“二三一”“二二二”“三三”等类型整理。 10．答案：2，5 五棱柱有2个五边形底面，5个长方形侧面，所以表面展开图由2个五边形和5个长方形组成。 11．答案：2、4、5、6 图中1、2、3、4在同一行，5、6分别位于2号面的上、下方。折叠后1与3相对，因此除3号面外，其余2、4、5、6四个面都与1号面相邻。 12．答案：6 正方体有6个面。截面的一条边位于正方体的一个面内；一个平面最多同时与6个面相交，因此截面最多为六边形。 13．答案：7，5 从正面看时，对每一列取前、后位置的最大层数，三列高度分别为3、2、2，共3＋2＋2＝7格；从左面看时，前、后两排的最大层数分别为3、2，共3＋2＝5格。 14．答案： （1）①、②、③。把新增正方形分别放在①、②、③处后，6个正方形折叠时可分别落在正方体的6个不同面上；放在④或⑤处会出现两个面折到同一位置的冲突。 （2）共有3个位置。可用“实际折纸”或按相邻面依次想象90°折叠的方法逐一验证。 15．答案： （1）截面是三角形。截平面分别与同一顶点处的三条棱相交，三个交点首尾相连形成三角形。 （2）剩余几何体有7个面。原正方体的6个面仍然存在，其中靠近被截顶点的3个面只改变了形状；另外新增1个三角形截面，所以面数为6＋1＝7。 16．答案： （1）从正面看三列的最高层数分别为2、3、2，因此应画成三列高度2、3、2的形状；从左面看，前、中、后三排的最高层数分别为3、2、2，因此应画成三列高度3、2、2的形状。 （2）总数为1＋0＋2＋2＋1＋1＋1＋3＋0＝11（个）。上面看到的数字本身就是每个竖直位置上小正方体的个数，直接求和即可。 作图时要注意：从正面看，对每一“左右列”取该列所有前后位置中的最大高度；从左面看，对每一“前后排”取该排所有左右位置中的最大高度。 第二部分（能力提优·必做） 17．答案：B ①正确；②错误，正方体最多与6个面相交，不能得到七边形；③错误，直圆柱的平面截面不可能是三角形；④正确。共有2个正确说法。 18．答案：A 三棱柱有2个三角形底面和3个长方形侧面，所以其展开图正好由2个全等三角形和3个长方形组成。 19．答案：A 由展开图可确定相对面为甲—丙、乙—丁、戊—己。正方体同一顶点处相交的3个面必须分别从三组相对面中各取1个。A中的甲、乙、戊满足这一条件；B、C、D均含有一组相对面，不能在同一顶点相交。 20．答案：C 五边形截面有5条边，每条边都来自截平面与正方体一个面的交线，因此截平面恰与5个面相交。 21．答案：B 12π cm对应圆柱底面周长。设底面半径为r，则2πr＝12π，所以r＝6 cm。 22．答案：B 正放的圆柱从正面、左面看都是长方形，从上面看是圆；球从三个方向看均为圆，圆锥从正面和左面看为三角形，三棱柱从上面看也不是圆。因此选B。 23．答案：C 上面看共有5个竖直位置，先各放1个，共5个。正面三列高度要求为2、1、2，因此第1列和第3列各至少有一个位置再叠1个，共再增加2个，最少为7个。 24．答案：见解析 三处依次填：三角形，长方形，圆。三棱柱底面水平放置时从上面可看到三角形轮廓；圆柱侧面展开成长方形；圆锥从上面看是圆。 该表把“展开”与“观察”两种由立体到平面的方式放在一起比较：展开图反映所有表面的组成，而方向图只反映某一观察方向的外轮廓。 25．答案：12π 已知8 cm对应圆柱的高，因此长方形另一条邻边12π cm对应圆柱底面周长，故填12π。 26．答案：4 正方体的平面截面可以出现3、4、5、6条边，因此按“边数”分类共有4种可能。 27．答案：5，8 从上面看只记录哪些竖直位置有小正方体，共5个位置，所以面积相当于5个小正方形；总数为3×2＋2×1＝8个。 28．答案：2 图中四个位置的层数为2、1、1、2。三个方向的最高轮廓均已达到2层；两个只有1层的位置各再加1个都不会超过对应方向的最高高度，且仍在原有上视图位置内，所以共有2个可添加位置。 29．答案： （1）错误。不同的平面展开图可以折叠成形状、大小完全相同的正方体；展开图不同，只表示剪开的棱和各面的平面排列方式不同。 （2）错误。例如正放的圆柱从正面和左面看到的形状都可以是长方形，但圆柱不是正方体。 30．答案： （1）从正面看：三列高度依次为2、3、2；从左面看：按前、中、后顺序三列高度依次为3、2、2。把相应高度以内的方格涂出即可。 （2）从正面看时，把同一左右位置上所有前后小正方体“压”到一起，只保留最高层数；从左面看时，把同一前后位置上所有左右小正方体“压”到一起，也只保留最高层数。 因此正面形状的列高由每一列的最大值决定，左面形状的列高由每一排的最大值决定。 31．答案： （1）沿A—B—C—D四个侧面依次折叠，可得A与C相对、B与D相对；E、F分别位于B的两侧，折起后构成长方体的上、下两个相对面。因此三组相对面为A—C、B—D、E—F。 （2）纸板面积就是长方体表面积：2×(6×4＋6×3＋4×3)＝2×(24＋18＋12)＝108 cm²。 第三部分（拓展探究·选做） 32．答案： （1）三个侧面分别是长6 cm、宽3 cm；长6 cm、宽4 cm；长6 cm、宽5 cm的长方形，面积分别为18 cm²、24 cm²、30 cm²。 （2）侧面积为18＋24＋30＝72 cm²。也可以用“底面三角形周长×侧棱长”计算：(3＋4＋5)×6＝72 cm²。 33．答案： （1）最少7个。上面看有5个位置，所以先放5个；正面要求第1、2列最高均为2层，左面要求前、后两排最高也均为2层。只需在前排第1列、后排第2列各多叠1个，就能同时满足这些要求，共5＋2＝7个。 （2）最多9个。第1、2列的4个位置都可以叠到2层，而第3列只有前排1个位置且正面高度为1，所以该位置只能放1个。最大总数为2＋2＋2＋2＋1＝9个。 （3）例如可填：后排为1、2、0，前排为2、1、1。此时正面三列最高层数为2、2、1；左面前、后两排最高层数均为2，与题图完全一致。 汪老师编写 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $