2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 第1课时倾斜角与斜率 90° 学习目标 (3)当x1≠x2且y1≠y2时，可以构造以 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，明AB为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或 确直线的倾斜角和斜率的关系 在坐标轴上的直角三角形，此时，tan0= 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式并 y21，而且，这个式子在x1≠x2且y1=y2时 能解决相关问题， X2-X1 也成立 3.会利用斜率概念判断给定的三点是否 思考直线的倾斜角可以用三角函数 共线， 中的正弦来表示吗？为什么？ 要点精析 例1已知y=x的图象绕原点逆时针旋 转30得直线1，求直线1的倾斜角. I川要点1倾斜角的概念 1.倾斜角的概念：一般地，给定平面直 角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x 轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方 向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 0,则称0为这条直线的倾斜角：如果这条 变式训练1 直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的 倾斜角为0 过A(1,1)的直线I不经过第二象限， 思考：你能说出直线的倾斜角的取值 求直线1的倾斜角0的取值范围. 范围吗？两向量的夹角的取值范围呢？ 2.直线的倾斜角公式：一般地，如果 A(x1,y),B(x2,y2)是直线1上两个不同的 点，直线l的倾斜角为0，则： (1)当yy2时（此时必有x1≠x2),0=0°， (2)当x1=x2时（此时必有y1≠y3),0= 学(33 高中数学选择性必修第一册人教B版 分析利用两点的斜率公式即可求解， 川要点2直线的斜率及斜率公式 但要注意判断使用公式时两点的横坐标是 1.直线的斜率的概念 否相同 一般地，如果直线1的倾斜角为0，则 当0≠90°时，称k=tan0为直线l的斜率；当 0=90°时，称直线1的斜率不存在。 思考已知一条直线的倾斜角或斜率， 能确定这条直线吗？如不能，还需要知道 什么条件呢？ 2.倾斜角与斜率的关系 倾斜角0斜率k=tand 倾斜角0斜率k=tand 0° 0 90° 不存在 变式训练2 30° V3 120° -V3 已知直线l过点P(-1,4),且与直线l: 45° 1 135° -1 y=3-x以及x轴围成一个底边在x轴上的等 腰三角形，求直线L的倾斜角及1与x轴的 60° V3 150° 1V3 3 交点坐标 思考直线的斜率会随着倾斜角的增 大而增大吗？ 3.两点的斜率公式 如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线1上 两个不同的点，那么当x1≠2时，斜率= Y2-y1 X2-x1 思考斜率公式与两点的顺序有关吗？ 反思感悟 在以前学过的知识中你遇到过直线的斜 根据直线斜率和倾斜角的关系，解题 率吗？ 时求倾斜角的值或范围，可以通过求直线 例2已知坐标平面内△ABC的三个顶 的斜率的值或范围来解决，反之也一样. 点坐标分别为A(2,1),B(-1,1),C(-1, 例3已知经过A(2a,3),B(2,a-1) -2),求直线AB,BC,CA的斜率. 的直线的斜率为}，求实数a的值。 34学 N 第二章平面解析几何。 分析利用两点的斜率公式列出关于 反思感悟 实数a的方程，即可求解. 解决这类问题的思路一般是先求出定 点和线段两个端点连线的斜率，判断这两 个边界线倾斜角的变化情况，然后写出直 线斜率的取值范围， B变式训练④ B变式训练3 将本例中点P的坐标改为(3,2，其 若过点P(1-a,1+a)与点Q(3,2a)的 他条件不变，求直线1的斜率的取值范围. 直线的倾斜角是钝角，则实数α的取值范围 是 例4下列关于直线倾斜角与斜率的说 法，正确的是() A.任何一条直线都有倾斜角，也都有 斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或 180° D.直线斜率的取值范围是(-∞，+∞)》 例6若三点A(2,2),B(a,0),C(0, 例5已知两点A(2,-3),B(3,2), 4)共线，求实数a的值 直线I经过点P(0,-2).若直线l与线段AB 分析当这三点中任意两点所得直线 有公共点，求直线1的斜率的取值范围 的斜率相等时，这三点即共线 分析根据题意作出图形，求出直线 PA,PB的斜率，通过数形结合即可求出 结果 学(35 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 数学文化 判断三点共线的方法： (1)向量法：转化为判断任意两，点连 例解析几何是17世纪法国数学家笛 成的向量是否共线 卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法 (2)公式法： 是：通过坐标系，把几何的基本元素一点 ①判断过任意两点的直线的斜率是否 和代数的基本对象一一数（有序数对或数 相等； 组)对应起来，在此基础上建立曲线（点的 ②利用两点的距离公式，判断最长线 轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数 段的长度是否等于两条较短线段长度之和. 问题，再通过代数方法研究几何图形的性 质.解析几何的创立是数学发展史上的一个 B变式训练⑤ 里程碑，数学从此进人变量数学时期，它为微 已知a心0，若平面内三点A(1,-a),B(2, 积分的创建奠定了基础.解析几何很好地将数 a2),C(3,d)共线，则a= 和形结合在了一起，例如，与V(x-a)2+(y-b)2 例7如图2-2-1，已知 相关的代数问题，可以转化为点A(x,y) 定点P(6,4)及定直线1： P(6,4) 与点B(a,b)之间的距离的几何问题.请 M y=4x,点Q在直线1上(Q 你用解析几何的知识求函数fx)=sinr-4 在第一象限)，直线PQ交x 2c0s2x+1 图2-2-1 轴正半轴于点M,要使 的值域。 △OMQ的面积最小，求Q点坐标 分析f(x)可看作是动点P(2cos2x, 分析由题知，△OMQ的面积和M点 sinx)与定，点A(-1,4)所连成的直线的斜 的横坐标，Q点的纵坐标有关.P点为已知 率，从而将求函数的值域这个代数问题转 点，且M,P,Q三点共线，可以利用斜率 化为求直线的倾斜程度这个几何问题.由于 相等得到M,Q两点坐标之间的关系. cos2x+sinx=1,可以分析出动，点P在线段y= 1-2(0≤x≤2)上运动，进而求出直线 PA的斜率的取值范围，这个范围即为函 数的值域。 (36)学 第二章平面解析几何。 第2课时方向向量与法向量 学习目标 思考当直线的倾斜角为0时，若OP 是直线l的一个方向向量，且1OP=1,你能 1.理解直线的方向向量和法向量的概念 用0来表示直线1的一个方向向量吗？ 2.会写出直线的一个特殊的方向向量 反思感悟 3.掌握直线的方向向量和法向量的坐标 一般地，如果已知a=(u,v)是直线l 关系 的一个方向向量，那么 4.会利用直线的方向向量和法向量的坐： (1)当u=0时，直线1的斜率不存在， 标求出直线的斜率，也会根据直线的斜率写 倾斜角为90° 出直线的一个方向向量或一个法向量的坐标 (2)当u≠0时，直线的斜率是存在 要点精析 的，且k=，因此倾斜角满足tan6=” 川要点1直线的方向向量 例1已知A(-2,0),B(-5,3),C(3, 5),判断A,B,C三点是否共线 1.定义：一般地，如果表示非零向量a 分析在本节第1课时介绍了利用两 的有向线段所在的直线与直线1平行或重 点的斜率公式判断三点是否共线，在本课 合，则称向量a为直线1的一个方向向量， 时，利用方向向量判断三，点是否共线.即判 记作a∥u. 断直线AB的方向向量与直线AC的方向向 显然，在直线1上任取A,B两个不同 量是否平行，如平行，则三点共线.这种方 的点，向量AB(BA)是直线1的一个方向向量.：法的实质是利用向量法判断三点共线. 思考直线的方向向量是唯一的吗？ 如果不唯一，它们之间有什么关系吗？直 线的方向向量需要满足什么条件吗？平面 上的任意直线有方向向量吗？ 2.直线的方向向量坐标 例2已知三点A(-3,-1),B(m,3), 如果A(x1,y),B(2,y2)是直线l上 C(5,m+6)(m>0)共线，求A,B,C三 两个不同的点，则AB=(x2-x1,y2-y)就是 点所在直线！的一个方向向量，并确定直 直线的一个方向向量 线1的斜率和倾斜角。 显然，当≠时，4B山， X2X1 =(1,k)也是直线的一个方向向量，记作 a,即a=(1,k) 学(37 高中数学选择性必修第一册人教B版 分析方法很多，可以通过写出直线 变式训练① 的一个方向向量的坐标，利用法向量与方 已知点A(1,0),B(2,V3),C(m, 向向量的坐标关系写出直线的一个法向量 2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾 坐标；也可以先求直线的斜率，利用斜率 斜角的2倍，则实数m的值为 直 和法向量的关系写出一个法向量坐标；或 线AC的一个方向向量为 者利用倾斜角写出一个法向量坐标.并且答 案不唯一 川要点2直线的法向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量y 的有向线段所在直线与直线垂直，则称向 量y为直线l的一个法向量，记作v⊥. 2.直线的一个法向量的坐标 若直线l的一个方向向量的坐标为(x, yo),则直线1的一个法向量的坐标为(y0, -x0): 反思感悟 反思感悟 (1)若直线的斜率为k,则此直线的一 本题需要明确直线的法向量与直线斜 个方向向量的坐标为(1，k),一个法向量 率、倾斜角、直线的方向向量的关系 坐标为(k,-1) B变式训练2 (2)若直线的倾斜角为，则此直线 的一个方向向量的坐标为(cosa,sina),一 已知正△ABC的三个顶点均在抛物线 个法向量的坐标为(sina,-cosa). y=x2上，其中一条边所在直线的一个方向向 (3)若直线的一个法向量的坐标为(x0, 量为(1，V2),求△ABC的三个顶点的 y),与直线的方向向量一样，与这个法向 横坐标之和. 量平行的所有非零向量都是这条直线的法 向量，且当y%≠0时，此直线的斜率k= 、yo 思考你能想到的直线的法向量的作 用是什么？ 例3已知直线1上两点P(1,0),Q(2, 3),试写出这条直线的一个法向量的坐 标，并求出这条直线的斜率和倾斜角， 38)学 第二章平面解析几何。 数学文化 例已知在平面直角坐标系中，OA= (1,4),0B=(-3,1),且0A与0B在直线1 解析几何的创始人笛卡儿在1637年发 的方向向量上的投影的长度相等，若直线1 表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方 的倾斜角为钝角，求直线1的斜率 法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了 分析设直线l的方向向量u=(m,n), 三个附录，《几何学》就是其中之一笛卡 儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程 可得01“=±0BL,化简即可得出. lul 表示曲线的思想，于是后人就把这本《几何 学》的发表作为解析几何创立的标志， 解析几何不断发展和完善，利用向量方 法解决几何问题其实质就是利用坐标法解决 几何问题，因此向量是解析几何中的一个非 常重要的解决问题的工具. 学(39根据“切比雪夫距离”定义可得d(C,A),d(C, B),d(A,B)为AN,BM,AK或CN,CM,BK,则 d(C,A)+d(C,B)d(A,B); 若B,C或A,C对调， 可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B). 当A,B,C三点不共线时， 若∠C=90°，则d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)成立. 若△ABC中C为锐角或钝角，如图2. 10 图2 例题答图 由矩形CMNK, 有d(C,A)+d(C,B) =max(CK,AK)+max(CM,BM) ≥CK+CM≥d(A,B)=max{AN,BNM: 由矩形BMNK, 有d(C,A)+d(C,B) =max(CN,AN)+max(BK,CK) KC+CN=KN=BM=d(A,B). 则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+d(C,B) ≥d(A,B). 故①正确」 ②设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q(x,2x-1), 可得d(P,Q)=max{lx-3引，2x-2. 由l-3≥2-2，解得-1≤≤号 即有d(P,Q)=-3,当x=；时，取得最小值子： 由x-3k2x-21,解得或<-1， 3 即有d(P,Q)=2x-24 d卫，Q)的取值范围是号+ 综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小 值为号，故②正确， ③由题知，到原点O的“切比雪夫距离”为1的点 P(x,y)满足d(O,P)=max{lxl,y=1, 即≥，或， lxl=1 yl=1, 参考答案。 显然点P的轨迹为正方形，故③正确.故选D "2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 第1课时倾斜角与斜率 要点精析 例1解：由y=x的图象是一条倾斜角为45°的直线，由 图可知，直线1的倾斜角0=30°+45°=75 例1答图 变式训练1解：如图，直线1的两个临界情形是与x 轴垂直的直线和过原点的直线 4(1,1） 变式训练1答图 当直线1位于这两条直线所夹的阴影范围时， 直线1不经过第二象限 当直线1垂直于x轴时，倾斜角为90°， 当直线1过原点时，倾斜角为45°，∴.倾斜角0的取 值范围是{(45°≤0≤90. 1-(-21=1, 例2解：由题意得k-0,ka品 由B,C两点的横坐标相等，知直线BC的斜率不 存在 变式训练2解：由题知，1与的倾斜角互补，.直线 1的斜率为1，故倾斜角为45°.设1与x轴的交点为(x, 0,由1年，=-5.因而1与x轴交点坐标为(-5， 0) 例3解：由已知条件得5名了3-2=2-2 解得a=10. 变式训练3(-2,1)【解析】过点P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，∴.直线的斜率小于 35 高中数学选择性必修第一册人教B版 0,即20=<0，即(a-1)(a+2)<0,-2<a<1. 3-1+a 例4D【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不一定 有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在：直线的倾斜 角为锐角时，斜率大于0，直线的倾斜角为钝角时，斜 率小于0，所以倾斜角越大，斜率不一定越大：根据倾 斜角的定义，平行于x轴的直线的倾斜角是0°；根据斜 率和倾斜角的正切关系可知斜率的取值范围是(-∞， +o).故选D. 例5解：根据题意作出如图所示 y 的图形.直线PA的斜率为km= 》宁，直线阳的斜率为 1B(3,2) 、、0’ P(0,-2、A(2,-3) k如号号，过点P的直线1 与线段AB有公共点时，直线1的 例5答图 斜字伯取值范围足分·专引 变式训练4解：根据题意作出如 图所示的图形.直线PA的斜率为 km=2--3)=2, 11B(3,2) 0 直线PB的斜率为kF。3 2-2-8 32 ‘A(2,-3) 21 ,过点P的直线I与线段AB 变式训练4答图 有公共点时， 直线l的斜率的取值范围是(-0,2]U[8,+∞). 例6解：由题可知kr名k治-l,A,A,C 三点共线，k0,2。=山，解得a4 变式训练51+V2【解析】若A,B,C三点共线，则 kw-k,六-g,得2o)=由a0,放上 式化简为a2-2a-1=0,解得a=1+V2 例7解：设M(a,0),Q(b,4b),a,b>0,kw=km, 4464 66=6-a,可得：a+5b=ad≥2V5ab,ab≥20， “取等号”时 -5b,a=10,又smr2xax46=2ab≥ ab=20,b=2, 40,取最小值时Q(2,8). 数学文化 解：如图所示，设动点P(2cosx,sinx),点A(-1, 4),B(0,1),C(2,0), 36 A(-1,4)0 B(0,1) c2.0 0 例题答图 则fx)=,in-4表示直线PA的斜率. 2cosx+1 cosr45in=l,0≤cos≤1，点P在yl-分 (0≤x≤2)所表示的线段BC上运动. 故当点P与点B重合时，直线AB的斜率为k=-3: 当点P与点C重合时，直线4C的斜率为k=专， )的值城为3， 第2课时方向向量与法向量 要点精析 例1解：直线AB的一个方向向量为 AB=(-5+2,3-0)=(-3,3), 直线AC的一个方向向量为 AC=(3+2,-5-0)=(5,-5), (-3)×(-5)=3x5,AB∥AC 又AB与AC有公共点A,A,B,C三点共线. 例2解：A,B,C三点共线，AB∥AC AB=(m+3,4),AC=(8,m+7), .(m+3)(m+7)=4x8=32, 即m2+10m-11=0,解得m=1或m=-11(舍). .直线1的一个方向向量为AB=(4,4), ∴斜率k=4=1,倾斜角0=450 变式训练12V3-3(1,-V3)(答案不唯一) 【解析】设直线AB的倾斜角为a,则直线AC的倾 斜角为2a,tana=Y3-0=V3,且0≤a<180r,a 2-1 60,2a=120°，：k=2m=tan120°=-V3,得m=2V3 m-1 -3,直线AC的一个方向向量为(1，-V3). 例3解：方法一：由题可知，直线的一个方向向量坐 标为PQ=(1,V3),.此直线的一个法向量的坐标为 (V3,-1).此时直线的斜率k=V3,.倾斜角为60. 方法二：由两点的斜率公式可知直线的斜率k= V3-0=V3,:直线的一个法向量的坐标为(V了， 2-1 -1),倾斜角为60° 变式训练2解：设点A(a,2),B(b,b2),C(c,c2), 石6-a6,22-bc,ke正 则k1=-b2 -=a+c. b-c a-c 不妨设直线AB的方向向量为(1，V2),则k4= V2,且直线AB的倾斜角为a ,△ABC是等边三角形， km=tana+写，ku=tana&-写， as6+c=2 (kukmtk.） =号V2+tama+号)+n(-号】 =V②1 tana+tanπ 3 tana-tan 3 2+2 1-tanotan +2 1+tanatanT -3V2 10 数学文化 解：设直线l的方向向量u=(m,n), 则0Au=±0B ,.∴.m+4n=±(-3m+n), ul 解得4m=-3n或2m=5n. :直线1的倾斜角为钝角，斜率k=D<0, m 专，即直线1的斜率为手 m 2.2.2直线的方程 第1课时直线方程的点斜式与斜截式 要点精析 例1解：(1)：直线经过点(1,2)，斜率为1，直 线方程为y-2=1×(x-1),化简得y=x+1. (2)·直线经过点(1,2)，斜率为-2， y=x+1 y=2 5-4-3-210 1式34 3 -3 y=-2x+4 -4 例1答图 参考答案。 ,∴.直线方程为y-2=(-2)×(x-1),化简得y=-2x+4. (3)·直线经过点(1,2)，斜率为0， ..直线方程为y-2=0x(x-1),化简得y=2 在平面直角坐标系内画出直线如图所示. 综上，方程y-2=k(x-1)表示的直线具有的与k的取 值无关的特征为直线过定点(1,2). sina+cosa=-5 1 变式训练13x+4y+7=0【解析】由 sin'a+cos'a=1, 3 sina=5 4 sina=-5' 解得 或 cosa=5 3 sina=3 ,ae[0,T),,∴.sina>0,∴. cosa=- 4 5 .'.tana=/=-3 4, 直线方程为)4=子x-3),即34+7=0 例2解：(1)倾斜角为120°，斜率k=-V3. 又直线在y轴上的截距是-2，.直线方程为y= -V3x-2. (2)由直线过点P(0,4)可知直线的截距为4， .直线的方程为y=-2x+4. 变式训练2名45【解析】由慝意，可设)名+6， 5 则该直线与坐标轴交点分别为(0,6)，（号6,0，且 60,b+-号6+V6-号=30，可得6=5.直线 1的方程为)一言+5 例3解：方法一：由题意知a≠0. 令x=0,得直线在y轴上的截距为1-a; 令=0，得直线在x轴上的截距为-1 直线1只通过第一、二、三象限， 1-a>0, a10, 解得0<a<1. a 方法二：直线的斜率为a,在y轴上的截距为l-a. :直线1只通过第一、二、三象限， a0,解得0<a<1 -1->0, 变式训练3D【解析】由4，得a>0,b<0,而由2得a> 37