有理数：有理数的定义与分类、带“非”字的有理数讲义-2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数的定义与分类、带“非”字的有理数两大核心知识点。先通过定义（整数和分数统称，可表为两整数比值）和双重分类（按定义分整数与分数，按正负分正、0、负有理数）构建基础，再深入带“非”字概念（如非负有理数含0和正有理数，非负整数即自然数），形成递进式学习支架。 资料亮点在于通过易混辨析（如自然数与整数关系、小数与分数区别）培养抽象能力，例题与变式训练（如判断非负整数个数、数集分类题）发展推理意识，用精准数学语言（如“非正整数含0和负整数”）强化模型意识。课中辅助教师突破概念难点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升有理数认知的准确性。

有理数：有理数的定义与分类、带“非”字的有理数讲义 有理数：有理数的定义与分类、带“非”字的有理数讲义 考点目录 有理数的定义与分类 带“非”字的有理数 考点一 有理数的定义与分类 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 整数和分数统称为有理数。 有理数的本质特征：任何一个有理数都可以写成两个整数的比值 （ 为整数，且 ）；反之，能表示为两个整数比值的数都是有理数。这是有理数与无理数的核心区分依据。 1. 按定义分类 · 整数：正整数、、负整数，统称为整数。 · 分数：正分数、负分数，统称为分数。 补充说明：有限小数、无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于有理数；无限不循环小数无法化为两个整数的比值，不属于有理数（属于无理数）。 1. 按正负性质分类 · 正有理数：正整数、正分数； · ：单独一类； · 负有理数：负整数、负分数。 1. 关键特殊数：0 · 是整数，也是有理数； · 既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； · 的绝对值最小，相反数是自身，没有倒数。 二、易混辨析 1. 自然数与整数：自然数包含 和正整数，是整数的一部分；整数除自然数外还包含负整数。 1. 小数与分数：不是所有小数都是有理数，只有有限小数、无限循环小数属于有理数；无限不循环小数（如 ）是无理数。 1. 正数与正有理数：正数包含正有理数和正无理数，正有理数只是正数中属于有理数的部分。 【例题分析】 例1．（2026·广东茂名·一模）下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 【答案】C 【详解】解：A．是负分数，不符合题意； B．既不是正数也不是负数，不符合题意； C．是负整数，符合题意； D．是正整数，不符合题意． 例2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有理数分类中分数的定义判断各数，初中数学中有限小数和无限循环小数都属于分数，统计符合条件的数的个数即可得到答案． 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 例4．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【答案】(1)8.5，0.3，12， (2)0，12， (3)，， 【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数. 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 例5．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【答案】25，4.7，，；，，，；25；；25，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类解答即可，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正有理数集合{25，4.7，，，…}； 负有理数集合{，，，，…}； 正整数集合{25，…}； 负整数集合{，…}； 整数集合{25，，0，…}． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：B选项中 0不是正数． 变式2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义与绝对值的性质，根据相关基础概念逐一判断选项即可． 【详解】解：0是整数，故A选项说法错误； 有理数的定义为整数和分数统称有理数，故 B选项说法正确； 的绝对值是0，0不是正数，故C选项说法错误； 所有非负数的绝对值都等于它本身，故D选项说法错误． 综上，选B． 变式3．（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6个数：、、，0、、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据有理数的意义，将所给的数一一分析，再作出判断． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数， 故不属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 综上所述，共有5个有理数， 故选：C． 变式4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合：{                 } 分数集合：{                 } 负整数集合：{                 } 【答案】正数集合：；分数集合：；负整数集合： 【分析】根据正数、分数和负整数的定义，将题目中给出的数值按题意分类． 【详解】解：题干中给出的数值中，正数有：；分数有：；负整数有：． 变式5．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 【答案】 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 考点二 带“非”字的有理数 【知识点解析】 一、核心知识点 “非”字的核心逻辑：否定某一类，同时包含分界点 0，并非简单的“反义词”，是概念辨析的高频易错点。 1. 非负有理数 · 定义：不是负的有理数，即 和正有理数； · 数学表达：有理数 ； · 包含范围：、正整数、正分数。 1. 非正有理数 · 定义：不是正的有理数，即 和负有理数； · 数学表达：有理数 ； · 包含范围：、负整数、负分数。 1. 非负整数（自然数） · 定义：不是负的整数，即 和正整数； · 数学表达：整数 ； · 包含范围：； · 备注：是最常考的“非”字概念，极易漏掉 。 1. 非正整数 · 定义：不是正的整数，即 和负整数； · 数学表达：整数 ； · 包含范围：。 1. 非零有理数 · 定义：不等于 的有理数，即正有理数和负有理数； · 数学表达：有理数 ； · 包含范围：正整数、正分数、负整数、负分数。 1. 拓展：非负分数与非正分数 · 非负分数：即正分数； 是整数，不属于分数，因此“非负分数”不包含 。 · 非正分数：即负分数；同理不包含 。 二、解题思路与易错点 1. 核心判断原则 遇到带“非”的概念，第一步先判断 是否属于该数集的大范畴： · 大范畴是“有理数”“整数”时，“非正/非负”一定包含 ； · 大范畴是“分数”时，“非正/非负”不包含 （因为 是整数，不是分数）。 1. 范围层级辨析 · 非负整数非负有理数； · 非正整数非正有理数； 审题时需看清限定词是“整数”还是“有理数”，避免范围放大或缩小。 1. 常见误区 · 误认为“非负”等价于“正”，漏掉 ； · 误认为“非正整数”等价于“负整数”，漏掉 ； · 混淆“非负有理数”和“非负整数”，把分数纳入整数范畴。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 例2．（25-26七年级上·云南昭通·期末）在，0，，，，，中，非负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类（非负分数的概念），解题的关键是明确非负分数即正分数． 先从给定的数中筛选出非负的数，再从中识别出分数，注意不是分数，是无理数． 【详解】解：在中， 非负分数有，共个． 故选：D． 例3．（25-26七年级上·福建福州·期中）在，，0，，中，非负数有________个． 【答案】3 【分析】题目主要考查有理数的分类，根据非负数的定义求解即可． 【详解】解：是负数，不是非负数； ，是非负数； 0是非负数；是负数，不是非负数； ，是非负数， 因此非负数有，0，，共3个， 故答案为：3． 例4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数__________． 【答案】①③ 【分析】本题考查有理数的分类，根据非正整数，包括0和负整数，进行判断即可． 【详解】解：①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥，中，是非正整数的是和0， 故答案为：①③． 例5．（25-26七年级上·湖南永州·期中）将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，， 非负分数集合{                …}； 整数集合{                    …}； 正有理数集合{                …}； 非正整数集合{                …} 【答案】 解：非负分数集合：，，，； 整数集合：，，，； 正有理数集合：，，，，； 非正整数集合：，，． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负分数集合包括正分数；整数集合包括正整数、、负整数；正有理数集合包括正分数和正整数；非正整数集合包括负整数和． 【详解】略 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）在1，，0，，，，2025，中， 非负数有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负数是大于或等于0的数，据此可得答案． 【详解】解：在1，，0，，，，2025，中，非负数有1，0，，2025，，共5个， 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·四川广安·期中）在数，，中，非负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】非负整数包括0和正整数，需计算每个数的值再判断． 本题主要考查非负整数的概念，绝对值化简，多重符号化简，理解并掌握以上知识是关键． 【详解】解：∵ ，不是非负整数； ∵ ，是正整数，是非负整数； ∵ ，不是非负整数； ∵ ，不是整数，不是非负整数； ∵ ，是非负整数； ∵ ，是正整数，是非负整数； ∵ ，不是整数，不是非负整数； ∴ 非负整数有，共3个， 故选：B． 变式3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在有理数5，，，，，， ，102，中，属于非负整数的有_____个． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的分类．认真掌握有理数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．根据正、负数的意义和整数的意义可以判断出这些数中哪些是非负整数． 【详解】解：在有理数5，，，，，， ，102，中，属于非负整数的有：5，102共2个． 故答案为：2． 变式4．（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）下列各数：，，，0，，，其中非负有理数有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非负有理数是指0和正有理数，进行逐个分析比较，即可作答． 【详解】解：下列各数：，，，0，，， 其中非负有理数有，0，，共3个． 故答案为：3． 变式5．（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 【答案】(1)，，， (2)15，0 (3)，0 【分析】本题考查有理数的概念，掌握好有理数的定义是关键． 非负有理数是指大于或等于零且能表示为两个整数之比的数；非负整数是指大于或等于零的整数；非正整数是指小于或等于零的整数．根据给定数字，逐一判断其类型并分类． 【详解】（1）解：非负有理数有 ，，，； （2）解：非负整数有15，0； （3）解：非正整数有，0． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数：有理数的定义与分类、带“非”字的有理数讲义 有理数：有理数的定义与分类、带“非”字的有理数讲义 考点目录 有理数的定义与分类 带“非”字的有理数 考点一 有理数的定义与分类 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 整数和分数统称为有理数。 有理数的本质特征：任何一个有理数都可以写成两个整数的比值 （ 为整数，且 ）；反之，能表示为两个整数比值的数都是有理数。这是有理数与无理数的核心区分依据。 1. 按定义分类 · 整数：正整数、、负整数，统称为整数。 · 分数：正分数、负分数，统称为分数。 补充说明：有限小数、无限循环小数都可以转化为分数形式，因此都属于有理数；无限不循环小数无法化为两个整数的比值，不属于有理数（属于无理数）。 1. 按正负性质分类 · 正有理数：正整数、正分数； · ：单独一类； · 负有理数：负整数、负分数。 1. 关键特殊数：0 · 是整数，也是有理数； · 既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； · 的绝对值最小，相反数是自身，没有倒数。 二、易混辨析 1. 自然数与整数：自然数包含 和正整数，是整数的一部分；整数除自然数外还包含负整数。 1. 小数与分数：不是所有小数都是有理数，只有有限小数、无限循环小数属于有理数；无限不循环小数（如 ）是无理数。 1. 正数与正有理数：正数包含正有理数和正无理数，正有理数只是正数中属于有理数的部分。 【例题分析】 例1．（2026·广东茂名·一模）下列四个数中，是负整数的是（    ） A． B．0 C． D．7 例2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例3．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 例4．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 例5．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把下列各有理数填在相应的括号内： ，25，，，4.7，，0，， 正有理数集合{…}； 负有理数集合{…}； 正整数集合{…}； 负整数集合{…}； 整数集合{…}． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 变式2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．整数和分数统称有理数 C．一个数的绝对值一定是正数 D．绝对值等于它本身的数是,0和1 变式3．（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）下列6个数：、、，0、、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 变式4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）把下列各数填在相应集合里： 正数集合：{                 } 分数集合：{                 } 负整数集合：{                 } 变式5．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                 } 整数集合：{                 } 负有理数集合：{                 } 正分数集合：{                 } 考点二 带“非”字的有理数 【知识点解析】 一、核心知识点 “非”字的核心逻辑：否定某一类，同时包含分界点 0，并非简单的“反义词”，是概念辨析的高频易错点。 1. 非负有理数 · 定义：不是负的有理数，即 和正有理数； · 数学表达：有理数 ； · 包含范围：、正整数、正分数。 1. 非正有理数 · 定义：不是正的有理数，即 和负有理数； · 数学表达：有理数 ； · 包含范围：、负整数、负分数。 1. 非负整数（自然数） · 定义：不是负的整数，即 和正整数； · 数学表达：整数 ； · 包含范围：； · 备注：是最常考的“非”字概念，极易漏掉 。 1. 非正整数 · 定义：不是正的整数，即 和负整数； · 数学表达：整数 ； · 包含范围：。 1. 非零有理数 · 定义：不等于 的有理数，即正有理数和负有理数； · 数学表达：有理数 ； · 包含范围：正整数、正分数、负整数、负分数。 1. 拓展：非负分数与非正分数 · 非负分数：即正分数； 是整数，不属于分数，因此“非负分数”不包含 。 · 非正分数：即负分数；同理不包含 。 二、解题思路与易错点 1. 核心判断原则 遇到带“非”的概念，第一步先判断 是否属于该数集的大范畴： · 大范畴是“有理数”“整数”时，“非正/非负”一定包含 ； · 大范畴是“分数”时，“非正/非负”不包含 （因为 是整数，不是分数）。 1. 范围层级辨析 · 非负整数非负有理数； · 非正整数非正有理数； 审题时需看清限定词是“整数”还是“有理数”，避免范围放大或缩小。 1. 常见误区 · 误认为“非负”等价于“正”，漏掉 ； · 误认为“非正整数”等价于“负整数”，漏掉 ； · 混淆“非负有理数”和“非负整数”，把分数纳入整数范畴。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（25-26七年级上·云南昭通·期末）在，0，，，，，中，非负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 例3．（25-26七年级上·福建福州·期中）在，，0，，中，非负数有________个． 例4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数__________． 例5．（25-26七年级上·湖南永州·期中）将下列各数填入相应的括号里： ，，，，，，，，，，， 非负分数集合{                …}； 整数集合{                    …}； 正有理数集合{                …}； 非正整数集合{                …} 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）在1，，0，，，，2025，中， 非负数有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2．（25-26七年级上·四川广安·期中）在数，，中，非负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在有理数5，，，，，， ，102，中，属于非负整数的有_____个． 变式4．（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）下列各数：，，，0，，，其中非负有理数有________个． 变式5．（25-26七年级上·河北衡水·阶段检测）下列各数：15，，，，0，，，中． (1)非负有理数有_________________ (2)非负整数有__________________ (3)非正整数有_________________ 2 学科网（北京）股份有限公司 $