第25章一元二次方程 专题之 一元二次方程根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过"基础应用-综合拓展-创新实践"三层设计，实现从概念理解到跨学科应用的递进，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|根与系数关系直接应用（求代数式值、参数）|含证明题（如第1题证根的情况）、基础计算题，强化概念理解| |综合拓展层|构造方程、多结论判断、几何结合|设置转化思想题（如第6题构造方程）、辨析题（第11题多结论判断），提升推理能力| |创新实践层|新定义运算、跨学科应用|结合新定义（如第9题自定义运算）、几何情境（第12题菱形对角线），发展模型意识与应用能力|

第25章 一元二次方程 专题1 一元二次方程根与系数的关系（1） 类型一 利用根与系数的关系间接求代数式的值 1.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，求 的值. 类型二 利用根与系数的关系降次求代数式的值 2.已知α，β是方程 的两个实数根，则 的值是 . 3.已知α，β是一元二次方程 的两根，则 的值为 . 类型三 利用根与系数的关系求参数的值 4.已知关于x的一元二次方程 其中一根是另一根的3倍，则k的值为 ( ) A.-2或1 B.-2或-1 C. D.1 5.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)设x₁,x₂是方程的两个根,且 求m的值. 类型四 构造一元二次方程求代数式的值 6.如果实数x,y(xy≠-1)分别满足 则 的值等于( ) C.-450 D.2025 类型五 利用根与系数的关系判断根的情况 7.已知关于x的一元二次方程 则下列判断中不正确的是 ( ) A.若方程有一根为1,则a+b+c=0 B.若a，c异号，则方程必有解 C.若b=0，则方程的两根互为相反数 D.若c=0，则方程有一根为0 8.有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于一元二次方程 的根的说法正确的是 ( ) A.两根都是正数 B.两根都是负数 C.两根一正一负，正根的绝对值较大 D.两根一正一负，负根的绝对值较大 类型六 根与系数的关系中新定义问题 9.定义一种运算：例如，若x&(x-1)=-4,则所有满足条件的实数x的和为 ( ) A.-2 B.2 C.-6 D. 10.对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：( 若关于x的方程1⊙x=0,已知该方程的两个根为x₁,x₂,则. 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 类型七 根与系数关系的多结论判断问题 11.已知一元二次方程 的两个实数根为x₁，x₂，下列说法：①若a，c异号，则方程 一定有实数根；②若b=a+c，则方程 一定有实数根；③若a=1,b=2,c=3,由根与系数的关系可得 其中说法正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 类型八 根与系数关系与几何图形结合 12.若菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为关于x的一元二次方程 的两个根，且 则m的值为 ( ) A.4 B.8 C.-12 D.-24 13.(2025·绵阳一模)已知关于x的方程( (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根x₁，x₂为直角三角形的两直角边长，且 求 p的值及该直角三角形的周长. 专题2 一元二次方程的根与系数的关系 专题练 1.(2025·广西)已知x₁,x₂是方程 的两个实数根，则 ( ) A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.(2025·乐山)若方程 的两个根是x₁和x₂，则 的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.(2025·苏州)已知x₁,x₂是关于x的一元二次方程. 的两个实数根，其中 1,则 4.(2025·启东模拟)设x₁,x₂是方程 的两个根，且 则m= . 5.(2025·眉山)已知方程 的两根分别为x₁,x₂,则( 的值为 . 6.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (3)3x(x-2)=5. 7.小影与小冬一起写作业，在解一个一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是—2和—5.则原来的方程是( ) 8.(2025·宝应期末)已知方程 的两根分别为m，n，则 的值为( ) A.-2024 B.-1 C.1 D.2024 9.(2025·通川区二模)若关于x的一元二次方程 的两根为x₁,x₂,且 则p的值为 . 10.(2025·泸州)若一元二次方程 的两根为α，β，则 的值为 . 11.已知菱形的两条对角线的长分别是一元二次方程 的两个根，则该菱形的边长为 . 12.已知方程 的两个根分别为x₁，x₂，不解方程，求下列代数式的值： 13.(2025·盐城期末)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)若两根x₁,x₂满足 求k的值. 14.已知关于x的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根. 和 (1)填空: (2)求 的值； (3)已知 求p的值. 专题一 一元二次方程的根与系数的关系 1. C 2. C 3.-3 4.-6 5.-2 6.解: (3)原方程可化为 则 7. B 8. B 9.- 10.10 11. 12.解:∵方程 的两个根分别为x₁,x₂, (1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 13.解：(1)∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根x₁，x₂， 解得 (2)∵关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根x₁，x₂， 整理，得 ∴(k-1)(k+2)=0,∴k-1=0;或k+2=0, 解得 (舍去). 14.(1)p 1 (2)解: ∵关于x的一元二次方程. (p为常数)有两个不相等的实数根x₁ 和x₂， 即 (3)解: 解得 当p=3时, 当p=-1时, 专题2 一元二次方程根与系数的关系 专题练 1.(1)证明: ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)由题意，得 2.-10 3.100 4. D 5.解:(1)∵方程 有两个不相等的实数根， 解得 (2)∵x₁,x₂是方程的两个根， 即 解得 6. C 7. C 8. C 9. B 10. A 11. C 12. C 13.(1)证明:由 得 ∴△≥0，∴不论p为任何实数，方程总有实数根. (2)解：根据题意，得 解得 p=2或 p=-1, 直角三角形的斜边长为 所以直角三角形的周长为 学科网（北京）股份有限公司 $