第25章一元二次方程 自主学习同步练习题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以基础巩固-能力提升-综合应用三层递进设计，覆盖一元二次方程定义、解法、应用全知识点，通过概念辨析、推理运算、模型构建发展抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|核心概念与基本运算|单选1考一元二次方程定义，解答15直接考查解方程，夯实符号意识| |能力提升|性质辨析与方法迁移|单选7综合判断方程根的性质，填空11通过方程变换考查迁移能力，培养推理意识| |综合应用|实际应用与综合探究|解答20结合几何情境列方程，解答19关联经济利润问题，发展模型意识与应用能力|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若方程是关于的一元二次方程，则代数式可以是（     ） A． B． C． D． 2．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D． 4．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 5．已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 7．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 8．已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 9．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 10．已知实数满足，则代数式的值是____． 11．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 12．定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 13．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 14．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 三、解答题 15．解下列一元二次方程 (1)； (2)． 16．在方程中，若，则原方程的两个根是，；若，则原方程的两个根是________，． (1)完成上面的填空； (2)试用上述的结论解下列方程 ①； ②． 17．已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 18．已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19．近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 20．如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 参考答案 1．B 解：选项A：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故A选项不符合要求； 选项B：将代入，可得：，整理为，是关于的一元二次方程，故B选项符合要求； 选项C：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故C选项不符合要求； 选项D：将代入，可得：，含有，两个未知数，不是关于的一元二次方程，故D选项不符合要求． 2．C 解： 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得． 3．D 解：∵ 一元二次方程 有两个不相等的实数根． ∴ ． 解得 ． 选项D： ，符合条件． 4．A 解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 5．A 解：∵是关于的方程的一个根， ∴，解得：， ∴方程为， 解得：，， ∵这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长， ∴设对角线，，与交于点， 如图， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 6．D 解：设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得： 整理，得： 解这个方程，得： 当时，． 因为墙长只有，而，所以不符合题意，舍去． 当时，． 因为，符合题意． 所以该鸡舍的长度为． 7．B 解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 8．解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 9．解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 10．解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 11．解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 12．解：∵， ∴， 即关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴． 13．解：设参加比赛的足球队有支. 根据题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有支． 14．解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 15．（1）解： ， （2）解： 或 16．（1）解：对于方程，当时，把代入方程，左边为， 。 故答案为： （2）解：①解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为； ②解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为． 17．（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 18．（1）证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 19．（1）解：设2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为x， 根据题意可得， 解得，（舍）， 答：2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为； （2）解：设售价降价y元，根据题意可得， ， 解得，， 则当时，售价为（元）； 当时，售价为（元）； 答：每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元． 20．（1）解：， ， ， ， ； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（舍），， 答：当时，矩形花园的面积为； （3）解：亮亮的说法不正确，理由如下： 根据题意得，即， ， 该方程无实数根， 矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确． 学科网（北京）股份有限公司 $