第四单元 图形的运动（易错专项讲义）数学人教版五年级上册（新教材）

该小学数学第四单元“图形的运动”易错专项讲义，通过梳理五大易错题型构建知识体系，以规则要点、步骤分解等方式呈现对称、平移、旋转的核心内容，明确定义边界与操作规范，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“易错点精准突破”与“情境化练习设计，如“凹”字周长通过平移转化为长方形计算，培养几何直观，旋转三要素的反向核验方法发展空间观念。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

第四单元 图形的运动易错专项讲义  易错题型01 对称轴的画法及数量及补全轴对称图形 易错题型02 平移路径及作平移后的图形 易错题型03 利用平移巧算周长或面积 易错题型04 旋转三要素、旋转图形及作旋转后的图形 易错题型05 运用平移、对称、旋转设计图案 易错题型01 对称轴的画法及数量及补全轴对称图形 1、同时满足“找准图形的对称点、对称点连线垂直于对称轴、两侧到轴距离完全相等”画出的图形，才是本单元认可的标准轴对称图形，随意点的位置错位、距离不等画出的图形不能作为有效判定依据。 2、判定对称轴的属性时，要明确对称轴是使图形对折后两侧完全重合的直线，不能把图形内部的线段直接等同于对称轴，混淆二者的定义边界。 3、判定轴对称图形的属性时，要明确沿对称轴对折后图形的两侧能完全严丝合缝重合，不能仅凭视觉上左右相似就判定为轴对称图形，违背轴对称的底层判定逻辑。 4、反向核验补全后的轴对称图形时，沿画出的对称轴将图形对折，最终得到的两侧图形所有点、线必须完全重合，不能出现边缘错位的逻辑矛盾。 5、标注对称轴时，要准确用虚线画出完整的直线，避免出现用实线画、只画一半线段的问题，导致对称轴的标识指代模糊。 6、处理补全轴对称图形的场景时，要明确先找到已知部分图形的所有关键点，再逐一画出对应对称点后连线，不能直接凭感觉描线补全，得到不符合对称规则的错误图形。 7、同一道轴对称相关的题目中，对称点到对称轴的距离判定标准、对称轴的绘制规则必须完全统一，不能中途随意更改距离判定逻辑、切换绘制标准，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定正多边形的对称轴数量场景时，要明确正几边形就对应有几条对称轴，不能随意多画或少画对称轴，违背正多边形对称轴的精度判定要求。 9、处理长方形对称轴的判定场景时，要明确长方形只有2条对边中点连线的对称轴，不能把长方形的对角线直接判定为对称轴，混淆对称轴的核心判定标准。 【题型精讲1】下面图形中，（    ）是轴对称图形。 A． B． C． D． 一条能使直线两旁的部分完全重合的对称轴，不是轴对称图形。 【易错巩固1】如下图，在田字格的交叉点上再放一颗棋子，这颗棋子要与图上已有棋子形成轴对称图形，一共有（    ）种不同的放法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【易错巩固2】在26个大写英文字母中，有两条对称轴的字母有（ ）、（ ）、（ ）（至少写两个）。 【易错巩固3】填空。 （1）只有一条对称轴的图形有（ ）； （2）共有两条对称轴的图形有（ ）； （3）共有四条对称轴的图形有（ ）。 【易错巩固4】画出下面轴对称图形的另一半。 【易错巩固5】画出数字“2”的轴对称图形。 【易错巩固6】下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （    ）条                       （    ）条            （    ）条 易错题型02 平移路径及作平移后的图形 1、同时满足“找准图形所有关键点、平移方向完全一致、平移格数精准统一”画出的图形，才是本单元认可的标准平移图形，随意点的位移错位、方向混乱画出的图形不能作为有效判定依据。 2、判定平移的属性时，要明确平移是图形沿直线方向的整体位置移动，不能把图形的旋转、翻转直接等同于平移，混淆二者的定义边界。 3、判定平移格数的计量属性时，要明确平移格数是对应关键点之间的间隔格数，不能把两个点所在的格子序号直接相减后多算一格，违背平移计量的底层逻辑。 4、反向核验平移后的图形时，任选图形上的两个对应关键点反向平移，最终得到的位置必须和原图形的点完全重合，不能出现位置错位的逻辑矛盾。 5、标注平移结果时，要准确标注清楚平移的方向和对应的格数，避免出现方向写反、格数标错的问题，导致平移路径的指代模糊。 6、处理斜向平移的场景时，要明确拆分成水平和竖直两个方向分步平移，不能直接沿斜线跨格硬数平移格数，得到不符合平移规则的错误路径。 7、同一道平移相关的题目中，关键点的选取标准、平移格数的计数规则必须完全统一，不能中途随意更换参考点、更改计数逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定复杂组合图形的平移场景时，要明确所有组成部分的平移方向和格数完全一致，不能出现部分点多移、部分点少移的情况，违背平移的整体移动精度要求。 9、处理方格纸上的平移作图场景时，要明确先逐个描出所有关键点的平移后位置，再按原图形的连接顺序依次连线，不能直接凭感觉拖动图形描边，得到图形变形的错误结果。 10、判定平移前后的图形属性时，要明确平移后的图形形状、大小完全和原图形一致，不能出现图形缩放、边角变形的情况，违背平移不改变图形形态的核心特点。 【题型精讲2】在“佛山非遗文化”线上展厅的登录验证环节，需要将左上角的“醒狮头”滑块拖动到右下角的指定位置。要想正确完成验证，应该（    ）。 A．先向下平移3格，再向右平移2格 B．先向下平移3格，再向右平移3格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移2格，再向右平移3格 【易错巩固1】要把下面的图形①和图形②拼成如左下角所示的完整图形，可以（    ）。 A．把图形①先向右平移2格，再向下平移4格 B．把图形①先向右平移1格，再向下平移2格 C．把图形①先向右平移2格，再向下平移3格 【易错巩固2】如图，图形A先向（ ）平移（ ）格，再向（ ）平移（ ）格得到图形B。 【易错巩固3】下图中，小猫先向（ ）平移（ ）格，再向（ ）平移（ ）格能吃到小鱼。 【易错巩固4】画出向右平移7格以后的图形。 【易错巩固5】先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移6格后的图形。 【易错巩固6】同伴合作还原拼图，一人设计还原拼图的路线并记录，另一人按记录移一移。 自己制作一个拼图，利用方格纸和同伴玩一玩。 易错题型03 利用平移巧算周长或面积 1、同时满足“找准可平移的线段/图形块、平移后能拼成规则的标准图形、不改变原图形总长度/总面积”的计算结果，才是本单元认可的标准巧算结论，随意平移后改变图形边界、漏算/多算部分得到的数值不能作为有效计算依据。 2、判定可平移线段的属性时，要明确平移的是方向一致、长度相等的平行线段，不能把方向不同的斜线段随意平移拼接，混淆平移巧算的适用边界。 3、判定平移巧算的计量属性时，要明确平移仅改变图形局部的位置，不改变原图形的总周长、总面积，不能在平移后随意增减线段或图形块，违背平移巧算的底层逻辑。 4、反向核验巧算结果时，把平移拼接后的图形拆回原不规则图形，最终得到的周长、面积数值必须和原图形的逐段/逐块计算结果完全一致，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注巧算结果时，要准确对应数值和匹配的计量单位，周长用长度单位、面积用面积单位，避免出现数值与单位错配、结果标注混乱的问题，导致计量指代模糊。 6、处理阶梯状不规则图形的周长计算场景时，要明确把水平方向短边上下平移、竖直方向短边左右平移，拼成完整的长方形再计算周长，不能逐段累加短边长度导致计算繁琐出错，得到不符合平移规则的错误结果。 7、同一道平移巧算的题目中，线段的平移方向标准、图形块的拼接规则必须完全统一，不能中途随意更改平移方向、切换拼接逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定带凹口的不规则图形周长场景时，要明确平移凹口的横边后，必须额外加上凹口处两条竖直边的长度，不能直接按拼成的完整长方形周长计算，违背不规则图形周长的精度计量要求。 9、处理不规则图形的面积巧算场景时，要明确把凸出的图形块平移到对应的凹陷位置，拼成完整的规则图形再计算面积，不能把无法完全匹配的图形块强行平移拼接，得到不符合图形实际构成的错误结果。 【题型精讲3】下图中阴影部分的面积是（    ）。 A． B． C．24cm2 【易错巩固1】下列图形中，周长最长的是（    ）。 A．1号 B．2号 C．3号 【易错巩固2】成语“凹凸不平”非常形象，桐桐写的“凹”字的周长是（ ）cm，“凸”字的周长是（ ）cm。 【易错巩固3】学校要在长方形的空地上种植一块草坪（如图，单位：米），阴影部分表示草坪区域，它的面积是（ ）平方米。 【易错巩固4】王伯伯家的羊圈被小动物掏了个洞（见图中空白部分），王伯伯发现后及时用一块形状相同的木板钉了起来。这块木板的周长是几厘米？ 【易错巩固5】如下图所示，公园中有一块长方形的地，中间有两条完全相同的平行四边形道路，其他的地方是草坪。草坪的面积是多少平方米？ 【易错巩固6】物业人员准备用鲜花摆下面的图案（涂色部分），已知每平方米要摆16盆鲜花，则摆这个图案需要多少盆鲜花？ 易错题型04 旋转三要素、旋转图形及作旋转后的图形 1、同时满足“找准固定旋转中心、明确规定旋转方向、精准锁定旋转角度”画出的图形，才是本单元认可的标准旋转图形，随意三要素缺失、参数错位画出的图形不能作为有效判定依据。 2、判定旋转中心的属性时，要明确旋转中心是图形旋转过程中位置完全固定的定点，不能把图形上移动的点直接等同于旋转中心，混淆二者的定义边界。 3、判定旋转的属性时，要明确旋转是图形绕定点做圆周角度位置变动，不能把单纯的平移、翻转直接等同于旋转，违背旋转运动的底层逻辑。 4、反向核验旋转后的图形时，将图形沿反方向旋转对应相同角度，最终得到的图形必须和原图形完全重合，不能出现位置错位的逻辑矛盾。 5、标注旋转结果时，要准确标注清楚旋转中心、方向和对应角度，避免出现方向写反、角度标错的问题，导致旋转路径的指代模糊。 6、处理方格纸上作旋转后图形的场景时，要明确先画出图形每条边旋转后的对应新位置，再依次连接端点，不能直接凭感觉拖动图形描边，得到图形变形的错误结果。 7、同一道旋转相关的题目中，旋转中心的固定位置、角度的判定标准必须完全统一，不能中途随意更换旋转中心、更改角度判定逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定复杂组合图形的旋转场景时，要明确所有组成部分都绕同一个旋转中心完成对应角度转动，不能出现部分点绕不同定点转动的情况，违背旋转的整体运动精度要求。 9、处理90°特殊角度旋转的场景时，要明确旋转后的边和原对应边互相垂直，不能画出旋转后两条边仍保持平行的图形，违背90°旋转的核心位置关系。 10、判定旋转前后的图形属性时，要明确旋转后的图形形状、大小完全和原图形一致，不能出现图形缩放、边角变形的情况，违背旋转不改变图形形态的核心特点。 【题型精讲4】从10：00到12：00，时针旋转了（    ）°，从1：30到1：50，分针旋转了（    ）°。正确答案是（    ）。 A．60，60 B．60，90 C．60，120 【易错巩固1】把“”逆时针旋转180°，可以得到（    ）。 A． B． C． D． 【易错巩固2】如图，三角形ABC绕点（ ）按（ ）时针方向旋转（ ）°得到三角形A'BC'。 【易错巩固3】根据下图填一填。 （1）分针从“12”绕中心点按顺时针方向旋转90°后的时刻是（ ）。 （2）3小时后，时针绕中心点按（ ）时针方向旋转（ ）°。 【易错巩固4】按要求画图。 （1）画出四边形绕点顺时针旋转后的图形②。 （2）再画出将图形②向右平移6格后的图形③。 【易错巩固5】按要求画一画，填一填。 （1）三角形①绕点按（ ）时针方向旋转（ ）°，才能和三角形②重合。 （2）画出梯形③绕点按顺时针方向旋转90°后得到的图形，并标上④。 【易错巩固6】画一画，填一填。 （1）在图1的方格纸上画出小旗子绕点A逆时针旋转90°后的图形。 （2）填一填，图2中有一个三角形和一个梯形，将三角形绕点B按（ ）时针方向旋转（ ）°后，就能和梯形拼成一个大三角形。 易错题型05 运用平移、对称、旋转设计图案 1、同时满足“选定基础图形、明确指定变换方式、全程保持图形形状大小不变”设计出的图案，才是本单元认可的标准变换图案，随意图形变形、变换规则混乱做出的图案不能作为有效设计依据。 2、判定基础图形的属性时，要明确基础图形是图案设计的原始核心单元，不能把拼接完成的完整图案直接等同于基础图形，混淆二者的定义边界。 3、判定图案变换的属性时，要明确平移、对称、旋转都只改变图形的位置和朝向，不能在变换过程中随意缩放图形尺寸，违背图案设计的底层逻辑。 4、反向核验设计出的图案时，把图案拆分还原回最初的基础图形，最终得到的所有单元图形必须和原始基础图形完全一致，不能出现图形形态错位的逻辑矛盾。 5、标注图案设计说明时，要准确对应每一步使用的变换方式和对应参数，避免出现变换方法和操作过程错配、标注混乱的问题，导致设计思路指代模糊。 6、处理连续重复图案的设计场景时，要明确统一用同一种变换规则批量生成单元图形，不能中途随意切换变换方式，得到不符合统一设计逻辑的混乱图案。 7、同一套图案设计的题目中，基础图形的形态标准、变换的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改基础图形样式、切换变换逻辑，打乱设计逻辑的严谨性。 8、判定对称类图案的设计场景时，要明确沿指定对称轴对折后两侧图案能完全重合，不能出现对称后单元图形错位的情况，违背轴对称图案的精度设计要求。 9、处理旋转拼接类的图案设计场景时，要明确所有单元图形都绕同一个公共旋转中心完成对应角度转动，不能出现多个不同旋转中心的情况，违背旋转图案的核心构成规则。 10、处理组合变换的图案设计场景时，要明确按顺序分步完成每一种变换操作，不能跳步叠加不同变换，导致最终图案的生成逻辑无法反向追溯核验。 【题型精讲5】下面图案中，（    ）是由基本图形经过旋转得来的。 A． B． C． D． 【易错巩固1】小明用“智能体”生成了四个图案。其中，（    ）不能通过轴对称运动生成。 A． B． C． D． 【易错巩固2】下面是笑笑设计的一些图案，这些图案中（ ）是通过旋转得到的，（ ）是通过平移得到的。（填序号） 【易错巩固3】乐乐用如图所示的滚筒沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下面给出的四个图案中，符合图示滚筒涂出的图案的是（ ）。 【易错巩固4】以点O为旋转中心，利用旋转变化设计图案。 【易错巩固5】设计与思考。 （1）请你给图1再涂上一个小正方形，使它变成一个轴对称图形，并画出它的对称轴。 （2）把图2利用平移、轴对称的方法设计一幅自己喜欢的图案。 【易错巩固6】下面是奇奇设计的两个好友标志。 （1）奇奇说：“我设计的图①是轴对称图形”，你能结合轴对称或平移的知识写出图②的设计思路吗？ （2）你能结合奇奇的设计思路再设计一个轴对称图形的好友标志吗？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 图形的运动易错专项讲义  易错题型01 对称轴的画法及数量及补全轴对称图形 易错题型02 平移路径及作平移后的图形 易错题型03 利用平移巧算周长或面积 易错题型04 旋转三要素、旋转图形及作旋转后的图形 易错题型05 运用平移、对称、旋转设计图案 易错题型01 对称轴的画法及数量及补全轴对称图形 1、同时满足“找准图形的对称点、对称点连线垂直于对称轴、两侧到轴距离完全相等”画出的图形，才是本单元认可的标准轴对称图形，随意点的位置错位、距离不等画出的图形不能作为有效判定依据。 2、判定对称轴的属性时，要明确对称轴是使图形对折后两侧完全重合的直线，不能把图形内部的线段直接等同于对称轴，混淆二者的定义边界。 3、判定轴对称图形的属性时，要明确沿对称轴对折后图形的两侧能完全严丝合缝重合，不能仅凭视觉上左右相似就判定为轴对称图形，违背轴对称的底层判定逻辑。 4、反向核验补全后的轴对称图形时，沿画出的对称轴将图形对折，最终得到的两侧图形所有点、线必须完全重合，不能出现边缘错位的逻辑矛盾。 5、标注对称轴时，要准确用虚线画出完整的直线，避免出现用实线画、只画一半线段的问题，导致对称轴的标识指代模糊。 6、处理补全轴对称图形的场景时，要明确先找到已知部分图形的所有关键点，再逐一画出对应对称点后连线，不能直接凭感觉描线补全，得到不符合对称规则的错误图形。 7、同一道轴对称相关的题目中，对称点到对称轴的距离判定标准、对称轴的绘制规则必须完全统一，不能中途随意更改距离判定逻辑、切换绘制标准，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定正多边形的对称轴数量场景时，要明确正几边形就对应有几条对称轴，不能随意多画或少画对称轴，违背正多边形对称轴的精度判定要求。 9、处理长方形对称轴的判定场景时，要明确长方形只有2条对边中点连线的对称轴，不能把长方形的对角线直接判定为对称轴，混淆对称轴的核心判定标准。 【题型精讲1】下面图形中，（    ）是轴对称图形。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，据此逐项分析解答。 【解答】 A．，不存在一条能使直线两旁的部分完全重合的对称轴，不是轴对称图形； B．，不存在一条能使直线两旁的部分完全重合的对称轴，不是轴对称图形； C．，沿着如图的直线对折，直线两旁的部分能完全重合，是轴对称图形； D．，不存在一条能使直线两旁的部分完全重合的对称轴，不是轴对称图形。 【易错巩固1】如下图，在田字格的交叉点上再放一颗棋子，这颗棋子要与图上已有棋子形成轴对称图形，一共有（    ）种不同的放法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】在田字格无棋子的交叉点中寻找能与已有棋子构成轴对称图形的位置，经逐一分析，可以放在格子右下角的位置或者最右边中间的位置； 可得共有2种不同放法。 【解答】可以放在格子右下角的位置或者最右边中间的位置，共2中放法。 故答案为：B。 【易错巩固2】在26个大写英文字母中，有两条对称轴的字母有（ ）、（ ）、（ ）（至少写两个）。 【答案】 【分析】沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，该直线就是图形的对称轴，逐一排查26个大写英文字母，确定每个字母的对称轴数量，筛选出对称轴数量为两条的字母，按要求填写即可。 【解答】根据分析，在大写的个英文字母中，有两条对称轴的字母有、、、。 【易错巩固3】填空。 （1）只有一条对称轴的图形有（ ）； （2）共有两条对称轴的图形有（ ）； （3）共有四条对称轴的图形有（ ）。 【答案】（1）③、⑤ （2）①、④ （3）② 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【解答】（1）只有一条对称轴的图形有③、⑤； （2）共有两条对称轴的图形有①、④； （3）共有四条对称轴的图形有②。 【易错巩固4】画出下面轴对称图形的另一半。 【答案】 【分析】根据题意，根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出原图形关键点的对称点，依次连接即可补全上面这个轴对称图形；据此可解此题。 【解答】略 【易错巩固5】画出数字“2”的轴对称图形。 【答案】 【分析】先明确对称轴的位置，本题对称轴是网格中间的竖直虚线；确定原数字“2”所有黑色轮廓的关键顶点，数出每个顶点到对称轴的水平格子距离；在对称轴的另一侧，对应数出相同的水平距离，标记出所有顶点的对称点；按照原数字“2”的轮廓连接顺序，把所有对称点依次连接，填充对应区域，就能得到和原图形沿对称轴完全重合的轴对称图形。 【解答】画图略： 绘制步骤可以拆解为三步： 定特征点：沿着网格线，把左侧数字“2”的所有黑色边缘的拐角顶点逐一标注出来。 找对称点：对每一个标注的顶点，向中间的竖直对称轴作水平垂线，测量该点到对称轴的格数，在对称轴右侧垂线的延长线上，取和左侧格数完全相等的位置，得到这个点的轴对称对应点。 连点成形：参照左侧数字“2”的轮廓连接顺序，把所有右侧的对称点依次连接，填充对应黑色区域，最终得到的图形就是数字“2”的轴对称图形，沿给定竖直线折叠后，左右两部分可以完全重合。 【易错巩固6】下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （    ）条                       （    ）条            （    ）条 【答案】图见详解； 1；2；4 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点；（2）连结对称点；（3）画出对称点所连线段中点的垂线，就可以得到该图形的对称轴。 【解答】如图： 1条             2条              4条 易错题型02 平移路径及作平移后的图形 1、同时满足“找准图形所有关键点、平移方向完全一致、平移格数精准统一”画出的图形，才是本单元认可的标准平移图形，随意点的位移错位、方向混乱画出的图形不能作为有效判定依据。 2、判定平移的属性时，要明确平移是图形沿直线方向的整体位置移动，不能把图形的旋转、翻转直接等同于平移，混淆二者的定义边界。 3、判定平移格数的计量属性时，要明确平移格数是对应关键点之间的间隔格数，不能把两个点所在的格子序号直接相减后多算一格，违背平移计量的底层逻辑。 4、反向核验平移后的图形时，任选图形上的两个对应关键点反向平移，最终得到的位置必须和原图形的点完全重合，不能出现位置错位的逻辑矛盾。 5、标注平移结果时，要准确标注清楚平移的方向和对应的格数，避免出现方向写反、格数标错的问题，导致平移路径的指代模糊。 6、处理斜向平移的场景时，要明确拆分成水平和竖直两个方向分步平移，不能直接沿斜线跨格硬数平移格数，得到不符合平移规则的错误路径。 7、同一道平移相关的题目中，关键点的选取标准、平移格数的计数规则必须完全统一，不能中途随意更换参考点、更改计数逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定复杂组合图形的平移场景时，要明确所有组成部分的平移方向和格数完全一致，不能出现部分点多移、部分点少移的情况，违背平移的整体移动精度要求。 9、处理方格纸上的平移作图场景时，要明确先逐个描出所有关键点的平移后位置，再按原图形的连接顺序依次连线，不能直接凭感觉拖动图形描边，得到图形变形的错误结果。 10、判定平移前后的图形属性时，要明确平移后的图形形状、大小完全和原图形一致，不能出现图形缩放、边角变形的情况，违背平移不改变图形形态的核心特点。 【题型精讲2】在“佛山非遗文化”线上展厅的登录验证环节，需要将左上角的“醒狮头”滑块拖动到右下角的指定位置。要想正确完成验证，应该（    ）。 A．先向下平移3格，再向右平移2格 B．先向下平移3格，再向右平移3格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移2格，再向右平移3格 【答案】C 【分析】确定平移路线时，找准图形上一个关键点，先数上下移动格数，再数左右移动格数；数格子时，从起点格子的下一格开始计数。 【解答】醒狮起点在第1行第1格，目标位置是第3行第3格，竖直方向从第1行向下移动到第3行，向下平移2格；水平方向从第1列向右移动到第3列，向右平移2格；综上，先向下平移2格，再向右平移2格或先向右平移2格，再向下平移2格。 【易错巩固1】要把下面的图形①和图形②拼成如左下角所示的完整图形，可以（    ）。 A．把图形①先向右平移2格，再向下平移4格 B．把图形①先向右平移1格，再向下平移2格 C．把图形①先向右平移2格，再向下平移3格 【答案】C 【分析】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。先从图形①中选择一个关键点，再从图形②中选择与这个关键点拼接在一起的对应点，通过分析这两个点的位置，判断图形①如何平移。 【解答】要把图形①和图形②拼成如左下角所示的完整图形，可以把图形①先向右平移2格，再向下平移3格。 故答案为：C 【易错巩固2】如图，图形A先向（ ）平移（ ）格，再向（ ）平移（ ）格得到图形B。 【答案】右 6 下 2 【分析】判断平移方向与格数方法：选取图形上同一个对应顶点（关键点），数关键点移动的格子，不能数两个图形中间空隙。（答案不唯一） 【解答】在图形A和图形B找到一组对应关键点；先水平方向：向右数6格；再竖直方向：向下数2格；即图形A先向右平移6格，再向下平移2格得到图形B；或者图形A先向下平移2格，再向右平移6格得到图形B。（答案不唯一） 【易错巩固3】下图中，小猫先向（ ）平移（ ）格，再向（ ）平移（ ）格能吃到小鱼。 【答案】右 4 下 3 【分析】平移：是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。据此，观察图形可知，小猫先向右平移4格，再向下平移3格能吃到小鱼（或者小猫先向下平移3格，再向右平移4格能吃到小鱼）。 【解答】根据分析可知， 下图中，小猫先向右平移4格，再向下平移3格能吃到小鱼。（答案不唯一） 【点睛】抓住平移的方向和平移的距离，是解答此题的关键。 【易错巩固4】画出向右平移7格以后的图形。 【答案】 【分析】先数出原小船图形所有的顶点（一共8个端点）。移点：把每个点都沿着水平向右的方向数7格，标记出每个点平移后的新位置连线：按照原来图形的顺序，把新的点依次连起来，就得到平移后的图形。 【解答】略 【易错巩固5】先根据对称轴补全下面这个轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移6格后的图形。 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，数出已知图形每个顶点到虚线对称轴的水平距离，在对称轴另一侧相同位置找到对应对称点，再按照已知图形的形状依次连接对称点即可。把补全后的图形的所有顶点都向右平移6格，再按照补全后的图形的形状依次连接顶点，即可得到平移后的图形。 【解答】根据分析作图即可，作图略。 【易错巩固6】同伴合作还原拼图，一人设计还原拼图的路线并记录，另一人按记录移一移。 自己制作一个拼图，利用方格纸和同伴玩一玩。 【答案】见详解 【分析】本题考查图形的平移。在同伴合作还原拼图时，一人需根据方格纸设计图形移动路线，明确平移方向与格数并记录，另一人按记录操作，将拼图在方格中准确平移。要利用方格纸合理移动图形，通过与同伴互动游戏，加深对图形运动的理解。 【解答】A图片不移动； B图片先向右移动3格，再向上移动1格； C图片向左移动3格； D图片先向右移动3格，再向上移动2格。 易错题型03 利用平移巧算周长或面积 1、同时满足“找准可平移的线段/图形块、平移后能拼成规则的标准图形、不改变原图形总长度/总面积”的计算结果，才是本单元认可的标准巧算结论，随意平移后改变图形边界、漏算/多算部分得到的数值不能作为有效计算依据。 2、判定可平移线段的属性时，要明确平移的是方向一致、长度相等的平行线段，不能把方向不同的斜线段随意平移拼接，混淆平移巧算的适用边界。 3、判定平移巧算的计量属性时，要明确平移仅改变图形局部的位置，不改变原图形的总周长、总面积，不能在平移后随意增减线段或图形块，违背平移巧算的底层逻辑。 4、反向核验巧算结果时，把平移拼接后的图形拆回原不规则图形，最终得到的周长、面积数值必须和原图形的逐段/逐块计算结果完全一致，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注巧算结果时，要准确对应数值和匹配的计量单位，周长用长度单位、面积用面积单位，避免出现数值与单位错配、结果标注混乱的问题，导致计量指代模糊。 6、处理阶梯状不规则图形的周长计算场景时，要明确把水平方向短边上下平移、竖直方向短边左右平移，拼成完整的长方形再计算周长，不能逐段累加短边长度导致计算繁琐出错，得到不符合平移规则的错误结果。 7、同一道平移巧算的题目中，线段的平移方向标准、图形块的拼接规则必须完全统一，不能中途随意更改平移方向、切换拼接逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定带凹口的不规则图形周长场景时，要明确平移凹口的横边后，必须额外加上凹口处两条竖直边的长度，不能直接按拼成的完整长方形周长计算，违背不规则图形周长的精度计量要求。 9、处理不规则图形的面积巧算场景时，要明确把凸出的图形块平移到对应的凹陷位置，拼成完整的规则图形再计算面积，不能把无法完全匹配的图形块强行平移拼接，得到不符合图形实际构成的错误结果。 【题型精讲3】下图中阴影部分的面积是（    ）。 A． B． C．24cm2 【答案】C 【分析】本题运用割补法，把左侧凸出的半圆阴影平移填补到右侧空白半圆处，阴影部分转化为长方形。小方格边长1厘米，长方形长6厘米，宽4厘米，根据长方形面积公式计算。 【解答】6×4＝24（平方厘米） 所以阴影部分的面积是24平方厘米。 【易错巩固1】下列图形中，周长最长的是（    ）。 A．1号 B．2号 C．3号 【答案】B 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，不规则图形可通过平移拼成完整的长方形进行计算，比较即可。 【解答】A．周长相当于长7分米，宽5分米的长方形的周长； B．通过平移，周长相当于长7分米，宽5分米的长方形的周长再加上两条边； C．通过平移，周长相当于长7分米，宽5分米的长方形的周长。 【易错巩固2】成语“凹凸不平”非常形象，桐桐写的“凹”字的周长是（ ）cm，“凸”字的周长是（ ）cm。 【答案】60 50 【分析】如下图，计算“凹”字的周长时，可以将红色线段平移至顶端，补齐“凹”字的缺口，此时“凹”字的周长就相当于一个长方形的周长再单独加上2条5厘米的线段长。计算“凸”字的周长时，可以将红色线段平移至左上、右上的缺口，正好将其补齐为一个完整的长方形，此时“凸”字的周长就相当于长方形的周长。长方形周长＝（长＋宽）×2。 【解答】 （10＋15）×2＋5×2 ＝25×2＋5×2 ＝50＋10 ＝60（厘米） 5＋5＝10（厘米） （10＋15）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） 【易错巩固3】学校要在长方形的空地上种植一块草坪（如图，单位：米），阴影部分表示草坪区域，它的面积是（ ）平方米。 【答案】18 【分析】用平移法，将最左边图形的阴影平移到中间图形上面的空白部分，阴影和空白部分可以完全重合，再把重合一起的图形平移到最右边图形的空白部分，重合的阴影和此空白部分也可以完全重合，那么将阴影部分平移并拼接为一个长3米、宽6米的长方形，直接用长方形面积＝长×宽，计算出阴影的面积。 【解答】（平方米） 所以：它的面积是18平方米。 【易错巩固4】王伯伯家的羊圈被小动物掏了个洞（见图中空白部分），王伯伯发现后及时用一块形状相同的木板钉了起来。这块木板的周长是几厘米？ 【答案】240厘米 【分析】根据图形的特点，可以通过平移的方法“转化”为一个长是8分米，宽是4分米的长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式计算，再根据1分米＝10厘米转化单位。 【解答】（8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（分米） 24分米＝240厘米 答：这块木板的周长是240厘米。 【易错巩固5】如下图所示，公园中有一块长方形的地，中间有两条完全相同的平行四边形道路，其他的地方是草坪。草坪的面积是多少平方米？ 【答案】560平方米 【分析】如图所示，把左右两侧的草坪向中间拼接，刚好可以拼成一个新的长方形：这个新长方形的长就是题目里的28米，宽是原来长方形的宽20米，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，即可计算草坪的面积。 【解答】28×20＝560（平方米） 答：草坪的面积是560平方米。 【易错巩固6】物业人员准备用鲜花摆下面的图案（涂色部分），已知每平方米要摆16盆鲜花，则摆这个图案需要多少盆鲜花？ 【答案】480盆 【分析】通过平移法把右边突出来的部分接到左边，上面突出来的部分接到下面，这样就变成了一个长为10米，宽为3米的长方形，根据长方形面积＝长×宽计算出面积，然后用面积乘16即可求出需要多少盆鲜花； 【解答】根据分析，解答如下： 10×3×16 ＝30×16 ＝480（盆） 答：摆这个图案需要480盆鲜花。 易错题型04 旋转三要素、旋转图形及作旋转后的图形 1、同时满足“找准固定旋转中心、明确规定旋转方向、精准锁定旋转角度”画出的图形，才是本单元认可的标准旋转图形，随意三要素缺失、参数错位画出的图形不能作为有效判定依据。 2、判定旋转中心的属性时，要明确旋转中心是图形旋转过程中位置完全固定的定点，不能把图形上移动的点直接等同于旋转中心，混淆二者的定义边界。 3、判定旋转的属性时，要明确旋转是图形绕定点做圆周角度位置变动，不能把单纯的平移、翻转直接等同于旋转，违背旋转运动的底层逻辑。 4、反向核验旋转后的图形时，将图形沿反方向旋转对应相同角度，最终得到的图形必须和原图形完全重合，不能出现位置错位的逻辑矛盾。 5、标注旋转结果时，要准确标注清楚旋转中心、方向和对应角度，避免出现方向写反、角度标错的问题，导致旋转路径的指代模糊。 6、处理方格纸上作旋转后图形的场景时，要明确先画出图形每条边旋转后的对应新位置，再依次连接端点，不能直接凭感觉拖动图形描边，得到图形变形的错误结果。 7、同一道旋转相关的题目中，旋转中心的固定位置、角度的判定标准必须完全统一，不能中途随意更换旋转中心、更改角度判定逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定复杂组合图形的旋转场景时，要明确所有组成部分都绕同一个旋转中心完成对应角度转动，不能出现部分点绕不同定点转动的情况，违背旋转的整体运动精度要求。 9、处理90°特殊角度旋转的场景时，要明确旋转后的边和原对应边互相垂直，不能画出旋转后两条边仍保持平行的图形，违背90°旋转的核心位置关系。 10、判定旋转前后的图形属性时，要明确旋转后的图形形状、大小完全和原图形一致，不能出现图形缩放、边角变形的情况，违背旋转不改变图形形态的核心特点。 【题型精讲4】从10：00到12：00，时针旋转了（    ）°，从1：30到1：50，分针旋转了（    ）°。正确答案是（    ）。 A．60，60 B．60，90 C．60，120 【答案】C 【分析】钟面上有12格，360°÷12＝30°，所以每大格30°，从10：00到12：00，时针转了2大格，从1：30到1：50，分针旋转了4大格。 【解答】360°÷12＝30° 30°×2＝60° 30°×4＝120° 所以从10：00到12：00，时针旋转了60°，从1：30到1：50，分针旋转了120°。 【易错巩固1】把“”逆时针旋转180°，可以得到（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将图形逆时针旋转180°后，原图形的上下方向完全颠倒、左右方向也完全颠倒，相当于把图形同时进行“上下翻转”和“左右翻转”，图形的所有局部细节的朝向都会同步完成180°的转向。只需要逐一比对选项，排除特征朝向不符合“上下＋左右全颠倒”的选项即可。 【解答】逐一排除错误选项： A．底部箭头朝右，水平箭头上下，没有完成180°的上下颠倒、左右全颠倒，不符合要求； B．上下方向完全颠倒、左右方向也完全颠倒，符合要求； C．底部箭头朝左，水平箭头上下、没有完成180°的上下颠倒、左右全颠倒，不符合要求； D．和原图形完全一致，没有发生旋转变换，不符合要求。 对比各选项应选B。 【易错巩固2】如图，三角形ABC绕点（ ）按（ ）时针方向旋转（ ）°得到三角形A'BC'。 【答案】B 顺 90 【分析】找旋转中心看位置不变的点，点B位置没有移动，所以旋转中心是点B；观察图上箭头的转向，判断是顺时针方向；原来的边BC旋转到BC'，转过的角度是90°，由此确定旋转角度是90°。 【解答】三角形ABC绕点B按顺时针方向旋转90°得到三角形A'BC'。 【易错巩固3】根据下图填一填。 （1）分针从“12”绕中心点按顺时针方向旋转90°后的时刻是（ ）。 （2）3小时后，时针绕中心点按（ ）时针方向旋转（ ）°。 【答案】（1）2∶15/2时15分 （2）顺 90 【分析】（1）钟面一圈为360°，平均分成12大格，用360°除以12，求出先算出1大格的角度，再用旋转角度除以1大格角度，求出走过的大格数量；分针走一大格是5分钟，求出走3大格是多少分钟，写出此时对应的时刻； （2）指针正常走动方向为顺时针，3小时后，时针从“2”走到了“2＋3”，共走了3个大格，用走过大格的数量乘1大格的角度，求出旋转的角度。 【解答】（1）360°÷12＝30° 90°÷30°＝3（大格） 3×5＝15（分钟） 分针从12顺时针走3大格指向3，初始时刻时针指向2，因此旋转后的时刻为2∶15（2时15分）。 （2）3×30°＝90° 所以，3小时后，时针绕中心点按顺时针方向旋转90°。 【易错巩固4】按要求画图。 （1）画出四边形绕点顺时针旋转后的图形②。 （2）再画出将图形②向右平移6格后的图形③。 【答案】（）如图： （）如图： 【分析】（）先确定四边形的、、三个顶点的坐标，旋转中心位置不变，根据图形绕点顺时针旋转的坐标变换规则，计算三个顶点旋转后的对应点坐标，再依次连接和三个对应点得到图形②。 （）确定图形②的所有顶点坐标，根据平移规则，将每个顶点水平向右平移格，得到平移后的对应点标志，依次连接各对应点得到图形③。 【解答】（）先确定图形①的各个顶点，因为绕点顺时针旋转时，点位置不变，其余顶点绕O按顺时针方向旋转，对应点到的距离不变，确定各顶点旋转后的位置，再顺次连接得到图形②。 图略。 （）平移： ①先找出图形②的4个顶点。 ②把每个顶点先向右水平数格，标记新顶点。 ③按原来的顺序连接新顶点，得到平移后的图形③。 图略： 【易错巩固5】按要求画一画，填一填。 （1）三角形①绕点按（ ）时针方向旋转（ ）°，才能和三角形②重合。 （2）画出梯形③绕点按顺时针方向旋转90°后得到的图形，并标上④。 【答案】（1）逆 90 （2） 【分析】（1）以三角形较长的直角边为例，观察发现，三角形①是竖着的，三角形②是横着的，所以，三角形①和三角形②较长的直角边组成的较小的角度是90°。 （2）根据旋转的特征，旋转点P位置不变，把梯形的顶点和边绕点按顺时针方向旋转90°。 【解答】（1）三角形①绕点按逆时针方向旋转90°，才能和三角形②重合。 （2）把梯形的顶点和边绕点按顺时针方向旋转90°，并标上④。图略。 【易错巩固6】画一画，填一填。 （1）在图1的方格纸上画出小旗子绕点A逆时针旋转90°后的图形。 （2）填一填，图2中有一个三角形和一个梯形，将三角形绕点B按（ ）时针方向旋转（ ）°后，就能和梯形拼成一个大三角形。 【答案】（1） （2）顺 90 【分析】旋转作图时，需注意以下三点：首先确定旋转中心，明确绕哪个点旋转（如第一问中的点A）。然后要明确旋转方向：区分顺时针或逆时针（如第一问要求逆时针）；其次要保证旋转角度：严格按指定角度旋转（如第一问的），旋转后各关键点到旋转中心的距离不变。 【解答】（1）画出小旗子绕A逆时针旋转后的图形，要确定小旗子的各个顶点（关键点）。分别将每个关键点绕点A逆时针旋转，保持关键点到点A的距离不变，确定旋转后的对应点位置，按原小旗子的顶点顺序连接旋转后的对应点，得到旋转后的图形。 （2）观察图2中三角形与梯形的位置关系，要拼成大三角形，需使三角形的短直角边与梯形的上底重合。通过分析图形可知，将三角形绕点B按顺时针方向旋转后，能与梯形拼成一个大三角形。 易错题型05 运用平移、对称、旋转设计图案 1、同时满足“选定基础图形、明确指定变换方式、全程保持图形形状大小不变”设计出的图案，才是本单元认可的标准变换图案，随意图形变形、变换规则混乱做出的图案不能作为有效设计依据。 2、判定基础图形的属性时，要明确基础图形是图案设计的原始核心单元，不能把拼接完成的完整图案直接等同于基础图形，混淆二者的定义边界。 3、判定图案变换的属性时，要明确平移、对称、旋转都只改变图形的位置和朝向，不能在变换过程中随意缩放图形尺寸，违背图案设计的底层逻辑。 4、反向核验设计出的图案时，把图案拆分还原回最初的基础图形，最终得到的所有单元图形必须和原始基础图形完全一致，不能出现图形形态错位的逻辑矛盾。 5、标注图案设计说明时，要准确对应每一步使用的变换方式和对应参数，避免出现变换方法和操作过程错配、标注混乱的问题，导致设计思路指代模糊。 6、处理连续重复图案的设计场景时，要明确统一用同一种变换规则批量生成单元图形，不能中途随意切换变换方式，得到不符合统一设计逻辑的混乱图案。 7、同一套图案设计的题目中，基础图形的形态标准、变换的判定规则必须完全统一，不能中途随意更改基础图形样式、切换变换逻辑，打乱设计逻辑的严谨性。 8、判定对称类图案的设计场景时，要明确沿指定对称轴对折后两侧图案能完全重合，不能出现对称后单元图形错位的情况，违背轴对称图案的精度设计要求。 9、处理旋转拼接类的图案设计场景时，要明确所有单元图形都绕同一个公共旋转中心完成对应角度转动，不能出现多个不同旋转中心的情况，违背旋转图案的核心构成规则。 10、处理组合变换的图案设计场景时，要明确按顺序分步完成每一种变换操作，不能跳步叠加不同变换，导致最终图案的生成逻辑无法反向追溯核验。 【题型精讲5】下面图案中，（    ）是由基本图形经过旋转得来的。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移是图形沿直线移动，移动过程中图形自身的形状、方向都不改变，只有位置改变； 旋转是图形绕一个定点转动一定角度，图形自身的方向会发生变化； 逐一观察每个图案，判断图案的组成部分是否是其中一个基础部分经过平移或旋转得到的：如果图案的基础部分只是位置沿直线变化，方向没有改变，那么属于平移得到；如果基础部分是绕某一点转动后得到整个图案，方向发生了改变，那么属于旋转得到； 【解答】A．图形自身形状和方向都没有改变，只是沿直线移动了位置，符合平移的特征； B．图形由同一个三角形绕中心旋转得到，符合旋转的特征； C．图形自身形状和方向都没有改变，只是沿直线移动了位置，符合平移的特征； D．该图形由基本图形经过轴对称变换得到，不属于旋转变换。 【易错巩固1】小明用“智能体”生成了四个图案。其中，（    ）不能通过轴对称运动生成。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，可由轴对称运动生成。 逐个分析四个选项的图案，判断是否存在至少一条这样的直线，使得图案沿直线对折后两侧完全重合。 【解答】A．不存在这样的对称轴，对折后两侧无法重合，因此不能通过轴对称运动生成； B．沿图中对称轴对折后两侧完全重合，可以通过轴对称运动生成； C．沿图中对称轴对折后两侧完全重合，可以通过轴对称运动生成； D．沿图中对称轴对折后两侧完全重合，可以通过轴对称运动生成。 【易错巩固2】下面是笑笑设计的一些图案，这些图案中（ ）是通过旋转得到的，（ ）是通过平移得到的。（填序号） 【答案】①③ ②④ 【分析】平移是图形沿直线移动，移动过程中图形自身的形状、方向都不改变，只有位置改变；旋转是图形绕一个定点转动一定角度，图形自身的方向会发生变化； 逐一观察每个图案，判断图案的组成部分是否是其中一个基础部分经过平移或旋转得到的：如果图案的基础部分只是位置沿直线变化，方向没有改变，那么属于平移得到；如果基础部分是绕某一点转动后得到整个图案，方向发生了改变，那么属于旋转得到； 分别筛选出符合旋转特征、平移特征的图案序号，对应填入空格。 【解答】图①是同一个花瓣绕中心多次旋转得到的，图③是同一片花瓣绕中心旋转得到的，二者都符合旋转的特征； 图②的两个水滴、图④的三个卷纹，自身形状和方向都没有改变，只是沿直线移动了位置，符合平移的特征。 这些图案中①③是通过旋转得到的，②④是通过平移得到的。 【易错巩固3】乐乐用如图所示的滚筒沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下面给出的四个图案中，符合图示滚筒涂出的图案的是（ ）。 【答案】① 【分析】滚筒是圆柱形，沿从左到右的方向滚动时，滚筒上的图案会以平移的方式重复出现。 【解答】观察滚筒上的图案，其粉色三角形的排列具有特定的规律： 当滚筒滚动时，图案的重复应保持形状、方向和相对位置的一致性。 对比四个选项，选项①的图案中粉色三角形的排列与滚筒上的图案在平移展开后的规律完全一致，而其他选项在三角形的形状、方向或排列上存在差异。 故符合图示滚筒涂出的图案的是①。 【易错巩固4】以点O为旋转中心，利用旋转变化设计图案。 【答案】 【分析】将图形绕点O按顺时针方向依次旋转90°即可。 作旋转一定角度后的图形步骤：确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点。 【解答】确定3个关键点，找出3个关键点的对应点，顺时针旋转90°，顺次连接作出的各点，据此依次将图形旋转3次即可。 作图略 【易错巩固5】设计与思考。 （1）请你给图1再涂上一个小正方形，使它变成一个轴对称图形，并画出它的对称轴。 （2）把图2利用平移、轴对称的方法设计一幅自己喜欢的图案。 【答案】（答案不唯一） 【分析】（1）轴对称图形是指沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形。据此，小正方形可以画在第一行最右侧，就变成一个轴对称图形。 （2）平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一定的距离，形状和大小不变。所以，可以先画出轴对称图形，再把轴对称图形向下平移即可。 【解答】图略。 【易错巩固6】下面是奇奇设计的两个好友标志。 （1）奇奇说：“我设计的图①是轴对称图形”，你能结合轴对称或平移的知识写出图②的设计思路吗？ （2）你能结合奇奇的设计思路再设计一个轴对称图形的好友标志吗？ 【答案】（1）可以先画出其中1个小人的图形，再将这个小人沿着两个小人相连的中线进行轴对称变换（即作这个小人关于该中线的轴对称图形），就能得到图②的两个小人组合。（答案不唯一） （2）画图见详解 【分析】（1）根据题目要求，结合轴对称知识分析给定图形的设计思路。 （2）根据（1）的设计思路，利用轴对称或平移等知识设计新的好友标志，答案不唯一。 【解答】（1）答：可以先画出其中1个小人的图形，再将这个小人沿着两个小人相连的中线进行轴对称变换（即作这个小人关于该中线的轴对称图形），就能得到图②的两个小人组合。（答案不唯一） （2）答：画图如下：（画法不唯一） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $