第四单元 多位数乘一位数（易错专项讲义）数学人教版三年级上册（新教材）

该小学数学第四单元“多位数乘一位数”易错专项讲义，通过分类梳理7大易错题型构建知识体系，每个题型以“规则说明-反向核验-场景应用”的框架呈现，清晰标注数位对齐、进位累加等核心重难点，形成逻辑严谨的知识脉络。 讲义亮点在于“问题情境化+策略结构化”的练习设计，如估算解决问题中“带钱够不够”场景强调往大估策略，培养应用意识；竖式谜通过已知数字锚点推导未知数字，发展推理意识。题型精讲与易错巩固分层设置，基础学生可掌握运算规则，优秀学生能深化逻辑思维，助力教师实施精准复习教学。

第四单元 多位数乘一位数易错专项讲义  易错题型01 多位数乘一位数的口算、竖式及脱式 易错题型02 多位数乘一位数的估算解决问题 易错题型03 多位数乘一位数的不进位乘法 易错题型04 多位数乘一位数的进位乘法 易错题型05 多位数乘一位数乘法的竖式谜 易错题型06 根据积的位数判断乘数的最大值最小值 易错题型07 根据数字按要求组算式（积最大或积最小） 易错题型01 多位数乘一位数的口算、竖式及脱式 1、同时满足“数位对齐规则正确、运算步骤完整无遗漏、进位数值准确累加”得到的结果，才是本单元认可的标准多位数乘一位数计算结论，随意数位错位、漏加进位算出的数值不能作为有效计算依据。 2、判定竖式数位的属性时，要明确一位数必须和多位数的个位对齐，不能把一位数和多位数的高位直接对齐，混淆二者的对位边界。 3、判定口算运算的属性时，要明确把多位数拆成整十、整百数和个位数分别相乘再合并结果，不同数位对应专属的运算规则，不能跨数位乱算，违背乘法口算的底层逻辑。 4、反向核验计算结果时，用算出的乘积除以已知的一位数乘数，最终得到的数值必须和题目给出的原始多位数完全一致，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注计算结果时，要准确对应数位和最终数值，避免出现数位错配、结果书写混乱的问题，导致乘法计算指代模糊。 6、处理乘数末尾带0的口算场景时，要明确先算非0部分的乘积再补全对应个数的0，不能直接把末尾的0忽略不算，得到不符合简便口算规则的错误结果。 7、同一道多位数乘一位数的题目中，数位的对位标准、进位的处理规则必须完全统一，不能中途随意切换对位方式、更改进位逻辑，打乱计算逻辑的严谨性。 8、判定连续进位的竖式计算场景时，要明确每一位相乘后都及时累加低位的进位数值，不能随意跳过进位直接写本位乘积，违背竖式计算的精度运算要求。 9、处理乘加/乘减混合的脱式计算场景时，要明确先算乘法再算加减，不能按从左到右的顺序直接先算加减，得到不符合四则运算顺序的错误结果。 10、判定含括号的脱式计算场景时，要明确优先计算括号内部的运算再和括号外的一位数相乘，不能随意跳过括号先算外部乘法，违背混合运算的核心优先级规则。 【题型精讲1】直接写得数。 157＋46＝                       200×5＝                     42÷7×8＝ 230×2＝                        125×4＝                     72＋128×0＝ 【易错巩固1】直接写得数。 500×2＝        60×6＝        9×210＝         4×24＝      32×2＝         900×0＝       331×3＝         52×7＝ 305×8＝       203×4≈        399×3≈         712×8≈ 【易错巩固2】列竖式计算。 86×9＝        309×4＝        720×5＝        371×6＝ 【易错巩固3】列竖式计算。 39×6＝         408×7＝         250×3＝ 【易错巩固4】计算。 140×6＋213                        （257－107）×9 【易错巩固5】脱式计算。 520－20×7        （708－258）×4         75＋125×8 易错题型02 多位数乘一位数的估算解决问题 1、同时满足“结合实际场景选对估算策略、近似数取值贴合题意、最终结论符合生活逻辑”得到的结果，才是本单元认可的标准估算解题结论，随意乱取近似数、脱离实际场景算出的结果不能作为有效判定依据。 2、判定估算近似数的属性时，要明确近似数是和原数接近的整十/整百数，不能把完全不相近的数字直接当作近似数，混淆精确数和近似数的定义边界。 3、判定估算策略的属性时，要明确不同场景对应专属的往大估/往小估规则，不能不分场景统一往同一方向估算，违背估算解决实际问题的底层逻辑。 4、反向核验估算结果时，把原数代入做精确计算，最终得到的精确值必须落在估算结果对应的合理区间内，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注估算解题结果时，要准确对应近似数、估算过程和最终判定结论，避免出现数值与场景错配、结果标注混乱的问题，导致估算指代模糊。 6、处理“带钱够不够”的估算场景时，要明确把商品单价往大估后再计算总金额，不能往小估总金额，得到不符合实际带钱规则的错误结论。 7、同一道估算解决问题的题目中，近似数的取值标准、估算方向的判定规则必须完全统一，不能中途随意切换近似数取值、更改估算逻辑，打乱解题逻辑的严谨性。 8、判定“座位够不够坐”的估算场景时，要明确把总人数往小估、总座位数往大估后再对比，不能反向估算，违背人数座位匹配的精度判定要求。 9、处理“最多能买几件”的估算场景时，要明确把商品单价往大估后再计算可购买数量，不能往小估数量，得到不符合实际购买规则的错误结果。 10、判定“运输次数够不够”的估算场景时，要明确把单次运载量往小估、总货物量往大估后再对比，不能反向估算，违背运输场景的核心判定逻辑。 【题型精讲2】厦门园林植物园是国家5A级景区，若景区入口闸门每分钟平均放行33～59人，则4分钟进入景区的人数（    ）。 A．小于120 B．在120和130之间C．在120和240之间 D．大于240 【易错巩固1】多功能厅共有9排座位，每排能坐42人，三年级一共有360名学生。估算一下，多功能厅的座位能否一次容纳三年级学生？ 小明和小红分别是这样想的： 他俩（    ）的想法更符合估算的要求。 A．小明 B．小红 【易错巩固2】宝鸡体育场的观众席共有8个看台，每个看台能容纳198人，这个观众席上大约容纳（ ）人。 【易错巩固3】阳光小学全校398名学生去参观西安科技园，门票每人8元，学校大约要准备（ ）元钱购买门票。 【易错巩固4】暮春时分，飞来飞去的柳絮吸入口鼻容易让人感到不适。绿化工人要给河堤上的198棵柳树注入停絮药剂，每棵柳树需要用4瓶，准备了816瓶药剂，准备的停絮药剂够吗？ 【易错巩固5】重庆轨道交通九号线红岩村站是世界上最深的地铁站。其中2号出入口与4号出入口垂直落差达141米，相当于48层楼高。明明如果从4号出入口出站，需要走716级台阶，他每分钟走86级台阶，8分钟能走完这些台阶吗？明明的想法对吗？说说你的理由。 易错题型03 多位数乘一位数的不进位乘法 1、同时满足“数位严格对齐个位、每一位乘积均小于10、对位累加过程无偏差”得到的结果，才是本单元认可的标准不进位乘法结论，随意数位错位、出现进位仍按不进位计算的数值不能作为有效依据。 2、判定不进位乘法的属性时，要明确每一位相乘的结果都不满十，不能把有进位的多位数乘一位数直接归为不进位乘法，混淆二者的定义边界。 3、判定数位运算的属性时，要明确多位数的每一位都要单独和一位数相乘，不同数位对应专属的乘积位置，不能跨数位合并运算，违背不进位乘法的底层逻辑。 4、反向核验计算结果时，用算出的乘积逐位减去对应数位的乘积，最终得到的差值必须全部为0，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注计算结果时，要准确对应每一位乘积的数位位置，避免出现数位错配、结果书写混乱的问题，导致乘法计量指代模糊。 6、处理两位数乘一位数的不进位口算场景时，要明确拆分整十数和个位数分别相乘再合并结果，不能直接把两位数的十位和个位相加后乘一位数，得到不符合拆分规则的错误结果。 7、同一道不进位乘法的题目中，数位的对位标准、乘积的书写规则必须完全统一，不能中途随意切换对位方式、更改运算逻辑，打乱计算逻辑的严谨性。 8、判定三位数乘一位数的不进位竖式场景时，要明确从个位开始从右往左逐位相乘，不能从高位开始反向运算，违背竖式计算的精度运算要求。 【题型精讲3】□32×3，积仍然是一个三位数，□里最大能填（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【易错巩固1】一筐水果连筐重25千克，卖掉一半水果后连筐重13千克，空筐重量是（    ）。 A．1kg B．2kg C．3kg D．4kg 【易错巩固2】一桶油，连桶重30千克，用去一半后连桶重16千克，原来桶里有（ ）千克的油，空桶重（ ）千克。 【易错巩固3】大课间开展绳毽比赛，学校准备了310根跳绳，准备毽子的数量比跳绳的3倍多，又比跳绳的4倍少。学校准备的毽子最少有（ ）个，最多有（ ）个。 【易错巩固4】学校书法社团开展月度作品征集活动，六月份上交硬笔书法作品31幅，七月份上交的作品数量是六月份的3倍，且比八月份上交的作品数量少16幅、八月份上交了多少幅作品？ 【易错巩固5】学校开设课后兴趣班，三年级参加美术班的有68人，参加书法班比美术班的多45人，参加体育班的是参加书法班的2倍。三年级参加体育兴趣班的有多少人？ 易错题型04 多位数乘一位数的进位乘法 1、同时满足“数位严格对齐个位、满十及时向高位进位、进位数值准确累加不遗漏”得到的结果，才是本单元认可的标准进位乘法结论，随意数位错位、漏加进位算出的数值不能作为有效计算依据。 2、判定进位乘法的属性时，要明确某一位相乘结果满十就需要向高位传递进位，不能把每一位乘积都不满十的算式直接归为进位乘法，混淆进位与不进位的定义边界。 3、判定进位数值的属性时，要明确进位数是本位乘积中满十的部分，不同数位对应专属的进位量级，不能跨数位乱加进位数值，违背进位乘法的底层逻辑。 4、反向核验计算结果时，用算出的乘积除以已知的一位数乘数，最终得到的数值必须和题目给出的原始多位数完全一致，不能出现进位遗漏导致的数值错位逻辑矛盾。 5、标注进位乘法的计算结果时，要准确对应每一位的乘积和累加的进位数值，避免出现数位与数值错配、进位标注混乱的问题，导致乘法计量指代模糊。 6、处理个位相乘满几十的进位场景时，要明确只把个位数值留在本位，将十位部分作为进位加到前一位，不能直接把完整乘积全部写在本位，得到不符合进位规则的错误结果。 7、同一道进位乘法的题目中，数位的对位标准、进位的传递规则必须完全统一，不能中途随意切换进位处理方式、更改运算逻辑，打乱计算逻辑的严谨性。 8、判定连续进位的多位数乘一位数场景时，要明确从个位开始逐位运算并依次累加低位进位，不能跳过某一位直接向更高位进位，违背连续进位的精度运算要求。 9、处理“求多个相同数量的总数量”的进位应用场景时，要明确用单份数量乘总份数，按进位规则算出最终结果，不能直接用逐份累加的方式省略进位运算，得到不符合乘法简便规则的低效错误结果。 10、判定“单价乘数量总价进位”的实际应用场景时，要明确每一位相乘后都核对进位数值，不能忽略进位直接拼接数位数字，违背进位乘法的核心运算逻辑。 【题型精讲4】7□5×8的积可能是（    ）。 A．6420 B．6120 C．5580 【易错巩固1】成都到昆明三种不同火车的票价如下表。 快速列车 动车组列车 高速动车组列车 每张207元 每张324元 每张522元 王阿姨买3张同样价格的火车票，付给售票员10张100元，她买的是（    ）。 A．快速列车 B．动车组列车 C．高速动车组列车 【易错巩固2】聪聪练习毛笔字，每天写2张，每张写8个字。他一个星期（7天）共写（ ）个毛笔字。 【易错巩固3】如果每人每天节约用水2千克，一个4口之家一年（按365天计算）可以节约（ ）千克水，大约是（ ）吨。 【易错巩固4】李叔叔陪同4位老人从福州出发去广州旅行，有三个班次的列车可乘坐，票价情况如表，李叔叔说2000元够了。他买的是哪个班次？为什么？ 班次 1 2 3 票价 386 434 417 【易错巩固5】中秋节到了，欢欢要和爸爸、妈妈一起到三色鸽购买礼物。 月饼 牛奶 ？/盒 40元/提 （1）每盒月饼的价格是每提牛奶价格的5倍少32元，每盒月饼多少钱？ （2）妈妈买6盒月饼，付了多少钱？ 易错题型05 多位数乘一位数乘法的竖式谜 1、同时满足“竖式数位严格对齐、乘法运算规则完全匹配、所有数字推导无逻辑冲突”得到的结果，才是本单元认可的标准竖式谜结论，随意乱填数字、违背乘法规则得到的结果不能作为有效推导依据。 2、判定竖式谜已知数字的属性时，要明确已知数字是推导未知数字的固定锚点，不能把空白待填数位直接当作0忽略，混淆已知和未知的定义边界。 3、判定乘法竖式谜的运算属性时，要明确每一位都遵循多位数乘一位数的对位、进位规则，不同数位对应专属的运算逻辑，不能跨数位乱套运算关系，违背乘法竖式的底层逻辑。 4、反向核验推导结果时，把所有填好的数字代入完整竖式重新计算，最终得到的乘积必须和谜面上的结果完全一致，不能出现运算错位的逻辑矛盾。 5、标注竖式谜的推导结果时，要准确对应每一个空白数位的正确数字，避免出现数字与数位错配、填写位置混乱的问题，导致竖式运算指代模糊。 6、处理个位数字完全未知的竖式谜场景时，要明确先从个位的乘法运算关系入手推导，不能直接从高位盲目猜数字，得到不符合运算顺序规则的错误结果。 7、同一道乘法竖式谜的题目中，乘法的运算规则、进位的传递逻辑必须完全统一，不能中途随意切换运算规则、更改进位判定逻辑，打乱推导逻辑的严谨性。 8、判定带明确进位提示的竖式谜场景时，要明确把给定的进位数值代入本位运算做反向推导，不能随意忽略已知进位信息，违背竖式谜的精度推导要求。 9、处理“乘积末尾有固定数字”的竖式谜场景时，要明确利用一位数乘法的个位乘积特征锁定候选数字，不能无范围随机试填数字，得到不符合个位乘积特征的无效推导结果。 10、判定多解型乘法竖式谜场景时，要明确每一组候选数字都代入完整竖式做全流程校验，不能只满足某一位运算就直接判定成立，违背竖式谜的核心校验逻辑。 【题型精讲5】A，B，C，D分别是几？ （ ），（ ），（ ），（ ）。 【易错巩固1】下面算式中，“数”“学”“俱”“乐”“部”这五个汉字各代表什么数字？ 数＝（ ），学＝（ ），俱＝（ ），乐＝（ ），部＝（ ）。 【易错巩固2】在里填上合适的数字。 【易错巩固3】在括号里填上合适的数。 ☆＝（ ）， □＝（ ）， ♥＝（ ）。 ◆＝（ ），△＝（ ）。 【易错巩固4】计算。         【易错巩固5】在下面乘法竖式□中填入合适的数字，使竖式成立。      易错题型06 根据积的位数判断乘数的最大值最小值 1、同时满足“积的位数判定标准清晰、乘积极限值推导符合进位规则、代入验证结果完全匹配”得到的结果，才是本单元认可的标准判定结论，随意乱猜边界数值、脱离乘法进位逻辑得到的结果不能作为有效判定依据。 2、判定积的位数属性时，要明确积的位数是数字完整占位的总个数，不能把数字末尾的0直接省略后统计位数，混淆积的实际位数的定义边界。 3、判定乘数取值的属性时，要明确每一个候选乘数都要严格满足积的位数要求，不同位数的积对应专属的乘数取值区间，不能跨区间随意取值，违背积与乘数匹配的底层逻辑。 4、反向核验边界数值时，把推导出的最大、最小乘数代入原式计算，最终得到的积的位数必须完全符合题目要求，不能出现位数错位的逻辑矛盾。 5、标注最终判定结果时，要准确对应符合要求的最大、最小乘数数值，避免出现数值与边界错配、结果标注混乱的问题，导致取值指代模糊。 6、处理“积是三位数求乘数最大值”的场景时，要明确找到刚好不进位成四位数的临界数值，不能把进位后得到四位数的数值也纳入可选范围，得到不符合位数要求的错误结果。 7、同一道积的位数判定题目中，积的位数统计标准、进位的判定规则必须完全统一，不能中途随意切换位数统计方式、更改进位逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定“积是四位数求乘数最小值”的场景时，要明确找到刚好进位成四位数的临界数值，不能把未达到四位数的数值也纳入可选范围，违背临界取值的精度判定要求。 9、处理“多位数首位固定、仅未知一位数乘数”的取值场景时，要明确从最小的1开始逐一代入验证，不能直接跳过中间数值盲目试算，得到不符合逐步推导规则的错误结果。 10、判定“多位数中间带0的积的位数判定”场景时，要明确把0参与运算后的进位情况完整纳入判定，不能忽略0的运算直接套用普通多位数规则，违背特殊多位数的核心判定逻辑。 【题型精讲6】□27×4，如果积是三位数，□里最大可以填（ ）；如果积是四位数，□最小可以填（ ）。 【易错巩固1】345×□，如果积是三位数，□里最大可填（ ），如果积是四位数，□里最小可填（ ）。 【易错巩固2】如果□28×3的积是三位数，□里最大填（ ）；如果□50×4的积是四位数，□里最小填（ ）。 【易错巩固3】314×□，要使积是三位数，□里最大填（ ）；要使积是四位数，□里最小填（ ）。 【易错巩固4】算式421×□，要使它的积是三位数，□里最大能填（ ）；要使它的积是四位数，□里最小能填（ ）。 【易错巩固5】□64×3，如果积是三位数，□里最大能填（ ）；如果积是四位数，□里最小能填（ ）。 易错题型07 根据数字按要求组算式（积最大或积最小） 1、同时满足“数字不重复使用、数位排列符合大小规律、乘积计算验证无偏差”得到的结果，才是本单元认可的标准组算式结论，随意乱排数位、重复使用数字得到的结果不能作为有效判定依据。 2、判定数字使用规则的属性时，要明确题目给出的每个数字只能使用一次，不能把数字0直接放在三位数的首位，混淆有效三位数的定义边界。 3、判定数位权重的属性时，要明确高位数字对乘积大小的影响远大于低位，不同数位对应专属的数字分配规则，不能跨数位随意分配大小数字，违背乘积大小变化的底层逻辑。 4、反向核验组出的算式结果时，把所有可能的候选排列都计算乘积对比，最终得到的最大/最小积必须和推导结果完全一致，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注最终组出的算式时，要准确对应三位数、一位数的数字和最终乘积，避免出现数字重复、数位错配的问题，导致算式指代模糊。 6、处理“组积最大的算式”场景时，要明确把最大的数字作为一位数乘数，剩余数字从大到小排列组成三位数，不能把最小的数字放在高位，得到不符合权重规则的错误结果。 7、同一道组算式的题目中，数字的使用规则、数位的权重判定标准必须完全统一，不能中途随意重复用数字、更改大小分配逻辑，打乱推导逻辑的严谨性。 8、判定“组积最小的算式”场景时，要明确把除0外最小的数字作为一位数乘数，剩余数字从小到大排列组成三位数（0放在三位数的十位），不能把0作为一位数乘数，违背有效乘法算式的精度判定要求。 9、处理“数字不含0的组算式”场景时，要明确积最小的情况是把最小数字作为一位数，剩余数字从小到大排列组成三位数，不能直接套用含0的排列规则，得到不符合数字特征的错误结果。 10、判定“多个候选算式大小对比”场景时，要明确把所有符合规则的算式计算出实际乘积再排序，不能只凭数位数字大小直接判定结果，违背组算式问题的核心验证逻辑。 【题型精讲7】用3、4、5、7这四个数字组成的三位数乘一位数，乘积最小的算式是（ ），乘积最大的算式是（ ）。 【易错巩固1】把3、4、6、8四个数字写成□□□×□ 的乘法算式，要使积最大，应该是（ ），要使积最小，应该是（ ）． 【易错巩固2】用2，4，6，8这四个数字组成三位数乘一位数的算式，算得的积最大是（ ），最小是（ ）。 【易错巩固3】用1、2、4、5这四个数字组成一个三位数乘一位数的算式，积最大是（ ），积最小是（ ）。 【易错巩固4】用4、5、6、8四个数字组成一个三位数乘一位数的乘法算式，乘积最大是（ ），乘积最小是（ ）。 【易错巩固5】用5、6、7、8这4个数字组成三位数乘一位数的算式，积最大（ ）×（ ），积最小是（ ）×（ ）。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 多位数乘一位数易错专项讲义  易错题型01 多位数乘一位数的口算、竖式及脱式 易错题型02 多位数乘一位数的估算解决问题 易错题型03 多位数乘一位数的不进位乘法 易错题型04 多位数乘一位数的进位乘法 易错题型05 多位数乘一位数乘法的竖式谜 易错题型06 根据积的位数判断乘数的最大值最小值 易错题型07 根据数字按要求组算式（积最大或积最小） 易错题型01 多位数乘一位数的口算、竖式及脱式 1、同时满足“数位对齐规则正确、运算步骤完整无遗漏、进位数值准确累加”得到的结果，才是本单元认可的标准多位数乘一位数计算结论，随意数位错位、漏加进位算出的数值不能作为有效计算依据。 2、判定竖式数位的属性时，要明确一位数必须和多位数的个位对齐，不能把一位数和多位数的高位直接对齐，混淆二者的对位边界。 3、判定口算运算的属性时，要明确把多位数拆成整十、整百数和个位数分别相乘再合并结果，不同数位对应专属的运算规则，不能跨数位乱算，违背乘法口算的底层逻辑。 4、反向核验计算结果时，用算出的乘积除以已知的一位数乘数，最终得到的数值必须和题目给出的原始多位数完全一致，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注计算结果时，要准确对应数位和最终数值，避免出现数位错配、结果书写混乱的问题，导致乘法计算指代模糊。 6、处理乘数末尾带0的口算场景时，要明确先算非0部分的乘积再补全对应个数的0，不能直接把末尾的0忽略不算，得到不符合简便口算规则的错误结果。 7、同一道多位数乘一位数的题目中，数位的对位标准、进位的处理规则必须完全统一，不能中途随意切换对位方式、更改进位逻辑，打乱计算逻辑的严谨性。 8、判定连续进位的竖式计算场景时，要明确每一位相乘后都及时累加低位的进位数值，不能随意跳过进位直接写本位乘积，违背竖式计算的精度运算要求。 9、处理乘加/乘减混合的脱式计算场景时，要明确先算乘法再算加减，不能按从左到右的顺序直接先算加减，得到不符合四则运算顺序的错误结果。 10、判定含括号的脱式计算场景时，要明确优先计算括号内部的运算再和括号外的一位数相乘，不能随意跳过括号先算外部乘法，违背混合运算的核心优先级规则。 【题型精讲1】直接写得数。 157＋46＝                       200×5＝                     42÷7×8＝ 230×2＝                        125×4＝                     72＋128×0＝ 【答案】203；1000；48； 460；500；72 【易错巩固1】直接写得数。 500×2＝        60×6＝        9×210＝         4×24＝      32×2＝         900×0＝       331×3＝         52×7＝ 305×8＝       203×4≈        399×3≈         712×8≈ 【答案】1000；360；1890；96； 64；0；993；364； 2440；800；1200；5600 【易错巩固2】列竖式计算。 86×9＝        309×4＝        720×5＝        371×6＝ 【答案】774；1236；3600；2226 【分析】多位数乘一位数竖式计算，相同数位对齐，从个位起，用一位数依次乘多位数每一位上的数字；哪一位相乘满几十，就向前一位进几。多位数中间有0时，0也要参与计算，有进位要加上进位；末尾有0的，可以先计算0前面的数，最后在积的末尾补上0。 【解答】86×9＝774   309×4＝1236 720×5＝3600   371×6＝2226                          【易错巩固3】列竖式计算。 39×6＝         408×7＝         250×3＝ 【答案】234；2856；750 【分析】两位数乘一位数：先用两位数的个位与一位数相乘，再用两位数的十位与一位数相乘，最后将两次乘得的积相加； 三位数乘一位数：用一位数从三位数的个位起分别去乘三位数的每一位，哪一位上相乘满十，一定要向前一位进位，每一位相乘后要加上进位的数。 【解答】（1）39×6＝234          （2）408×7＝2856          （3）250×3＝750                                       【易错巩固4】计算。 140×6＋213                        （257－107）×9 【答案】1053；1350 【分析】先算乘法，再算加法。 先算括号内的减法，再算括号外的乘法。 【解答】140×6＋213 ＝840＋213 ＝1053 （257－107）×9 ＝150×9 ＝1350 【易错巩固5】脱式计算。 520－20×7        （708－258）×4         75＋125×8 【答案】380；1800；1075 【分析】（1）先算乘法，再算减法； （2）先算括号内的减法，再算括号外的乘法； （3）先算乘法，再算加法。 【解答】520－20×7 ＝520－140 ＝380 （708－258）×4 ＝450×4 ＝1800 75＋125×8 ＝75＋1000 ＝1075 易错题型02 多位数乘一位数的估算解决问题 1、同时满足“结合实际场景选对估算策略、近似数取值贴合题意、最终结论符合生活逻辑”得到的结果，才是本单元认可的标准估算解题结论，随意乱取近似数、脱离实际场景算出的结果不能作为有效判定依据。 2、判定估算近似数的属性时，要明确近似数是和原数接近的整十/整百数，不能把完全不相近的数字直接当作近似数，混淆精确数和近似数的定义边界。 3、判定估算策略的属性时，要明确不同场景对应专属的往大估/往小估规则，不能不分场景统一往同一方向估算，违背估算解决实际问题的底层逻辑。 4、反向核验估算结果时，把原数代入做精确计算，最终得到的精确值必须落在估算结果对应的合理区间内，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注估算解题结果时，要准确对应近似数、估算过程和最终判定结论，避免出现数值与场景错配、结果标注混乱的问题，导致估算指代模糊。 6、处理“带钱够不够”的估算场景时，要明确把商品单价往大估后再计算总金额，不能往小估总金额，得到不符合实际带钱规则的错误结论。 7、同一道估算解决问题的题目中，近似数的取值标准、估算方向的判定规则必须完全统一，不能中途随意切换近似数取值、更改估算逻辑，打乱解题逻辑的严谨性。 8、判定“座位够不够坐”的估算场景时，要明确把总人数往小估、总座位数往大估后再对比，不能反向估算，违背人数座位匹配的精度判定要求。 9、处理“最多能买几件”的估算场景时，要明确把商品单价往大估后再计算可购买数量，不能往小估数量，得到不符合实际购买规则的错误结果。 10、判定“运输次数够不够”的估算场景时，要明确把单次运载量往小估、总货物量往大估后再对比，不能反向估算，违背运输场景的核心判定逻辑。 【题型精讲2】厦门园林植物园是国家5A级景区，若景区入口闸门每分钟平均放行33～59人，则4分钟进入景区的人数（    ）。 A．小于120 B．在120和130之间C．在120和240之间 D．大于240 【答案】C 【分析】先根据每分钟放行人数的最小值和最大值估算出在4分钟内对应的进入人数，再确定其范围。把33看作30，根据“人数＝每分钟放行人数×时间”，4分钟最少进入的人数大约为30×4＝120（人）；把59看作60，4分钟最多进入的人数大约为60×4＝240（人）。所以4分钟内进入景区的人数在120和240之间。据此逐项分析。 【解答】33×4≈120（人） 59×4≈240（人） 4分钟进入景区的人数在120和240之间。 【易错巩固1】多功能厅共有9排座位，每排能坐42人，三年级一共有360名学生。估算一下，多功能厅的座位能否一次容纳三年级学生？ 小明和小红分别是这样想的： 他俩（    ）的想法更符合估算的要求。 A．小明 B．小红 【答案】B 【分析】要知道多功能厅的座位能否一次容纳三年级学生，可以估算出多功能厅的座位总数；估算时，通常把乘数看作接近的整十数，估算出结果，再把结果与总人数进行比较，如果座位总数大于或等于总人数，则能一次容纳，否则不能。 【解答】小明的想法：计算出多功能厅座位的总数（准确数），再与总人数进行比较，得出结论，不符合估算的要求； 小红的想法：把42看作40（估小了），估算的结果与总人数360相等，可知实际的座位总数比总人数360多，从而得出结论，符合估算的要求。 所以，小红的想法更符合估算的要求。 【易错巩固2】宝鸡体育场的观众席共有8个看台，每个看台能容纳198人，这个观众席上大约容纳（ ）人。 【答案】1600 【分析】分析题意可知：用每个看台能容纳的人数×看台的数量，即可求解。计算时把看台能容纳的人数198看作200即可。 【解答】把198看作200 200×8＝1600（人） 所以，这个观众席上大约容纳1600人。 【易错巩固3】阳光小学全校398名学生去参观西安科技园，门票每人8元，学校大约要准备（ ）元钱购买门票。 【答案】3200 【分析】根据题意，将全校的学生人数乘每张门票的价钱，即可求出一共需要的钱数，计算时采用估算的方法，将学生人数看作整百数400，再与8相乘即可。 【解答】398×8≈400×8＝3200（元） 因此，学校大约要准备3200元钱购买门票。 【易错巩固4】暮春时分，飞来飞去的柳絮吸入口鼻容易让人感到不适。绿化工人要给河堤上的198棵柳树注入停絮药剂，每棵柳树需要用4瓶，准备了816瓶药剂，准备的停絮药剂够吗？ 【答案】够 【分析】解决“够不够”的问题，通常可以将接近整百数的三位数看作整百数进行估算。将柳树棵数198看作200，计算出大约需要的药剂瓶数，若准备的瓶数大于估算出的最大需要量，则说明一定够用。 【解答】198≈200 200×4＝800（瓶） 因为198＜200，所以198×4＜800，又因为816＞800，所以816＞198×4； 答：准备的停絮药剂够。 【易错巩固5】重庆轨道交通九号线红岩村站是世界上最深的地铁站。其中2号出入口与4号出入口垂直落差达141米，相当于48层楼高。明明如果从4号出入口出站，需要走716级台阶，他每分钟走86级台阶，8分钟能走完这些台阶吗？明明的想法对吗？说说你的理由。 【答案】不能；不对；因为8分钟只能走688级台阶。（理由不唯一） 【分析】根据题意，明明每分钟走86级台阶，问8分钟能不能走完716级台阶，用86×8求出可以走多少级台阶，如果大于或等于716级则能走完，根据两位数乘一位数的估算，明明将86估成90，估大了，则实际的结果应该比90×8的结果小，则小于720级，不能确定是不是大于716级，据此解答即可。 【解答】86×8≈90×8＝720（级） 86＜90，86×8＜720，8分钟走不到720级，但是也不能确定能不能走到716级。 86×8＝688（级） 688＜716 答：8分钟不能走完这些台阶，明明的想法不对，因为8分钟只能走688级台阶。 易错题型03 多位数乘一位数的不进位乘法 1、同时满足“数位严格对齐个位、每一位乘积均小于10、对位累加过程无偏差”得到的结果，才是本单元认可的标准不进位乘法结论，随意数位错位、出现进位仍按不进位计算的数值不能作为有效依据。 2、判定不进位乘法的属性时，要明确每一位相乘的结果都不满十，不能把有进位的多位数乘一位数直接归为不进位乘法，混淆二者的定义边界。 3、判定数位运算的属性时，要明确多位数的每一位都要单独和一位数相乘，不同数位对应专属的乘积位置，不能跨数位合并运算，违背不进位乘法的底层逻辑。 4、反向核验计算结果时，用算出的乘积逐位减去对应数位的乘积，最终得到的差值必须全部为0，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注计算结果时，要准确对应每一位乘积的数位位置，避免出现数位错配、结果书写混乱的问题，导致乘法计量指代模糊。 6、处理两位数乘一位数的不进位口算场景时，要明确拆分整十数和个位数分别相乘再合并结果，不能直接把两位数的十位和个位相加后乘一位数，得到不符合拆分规则的错误结果。 7、同一道不进位乘法的题目中，数位的对位标准、乘积的书写规则必须完全统一，不能中途随意切换对位方式、更改运算逻辑，打乱计算逻辑的严谨性。 8、判定三位数乘一位数的不进位竖式场景时，要明确从个位开始从右往左逐位相乘，不能从高位开始反向运算，违背竖式计算的精度运算要求。 【题型精讲3】□32×3，积仍然是一个三位数，□里最大能填（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先计算个位、十位乘3的进位情况，可知没有进位到百位，因此百位上的数乘3的结果需小于10，据此找最大的数即可。 【解答】，个位无进位；，十位无进位；要使积是三位数，需满足，，，所以□里最大填3。 【易错巩固1】一筐水果连筐重25千克，卖掉一半水果后连筐重13千克，空筐重量是（    ）。 A．1kg B．2kg C．3kg D．4kg 【答案】A 【分析】先求出卖掉的一半水果的重量，再计算全部水果的重量，最后用连筐总重量减去水果总重量即可得到空筐重量。 【解答】一半水果重量：25－13＝12（千克） 全部水果重量：12×2＝24（千克） 空筐重量：25－24＝1（千克） 【易错巩固2】一桶油，连桶重30千克，用去一半后连桶重16千克，原来桶里有（ ）千克的油，空桶重（ ）千克。 【答案】28 2 【分析】一开始连桶带油共30千克，用去一半油后连桶重16千克，那么减少的重量就是用掉的一半油的重量， 原来油的总重量是减少的重量的2倍。最后用总重量减去油的重量，就能得到空桶重量。 【解答】30－16＝14（千克） 14×2＝28（千克） 30－28＝2（千克） 因此，一桶油，连桶重30千克，用去一半后连桶重16千克，原来桶里有28千克的油，空桶重2千克。 【易错巩固3】大课间开展绳毽比赛，学校准备了310根跳绳，准备毽子的数量比跳绳的3倍多，又比跳绳的4倍少。学校准备的毽子最少有（ ）个，最多有（ ）个。 【答案】931 1239 【分析】先利用乘法计算出310的3倍和4倍分别是多少，从而确定毽子数量的范围，从而找出最少和最多的个数。 【解答】（个），（个），毽子的个数满足：，最少有931个，最多有1239个。 【易错巩固4】学校书法社团开展月度作品征集活动，六月份上交硬笔书法作品31幅，七月份上交的作品数量是六月份的3倍，且比八月份上交的作品数量少16幅、八月份上交了多少幅作品？ 【答案】109幅 【分析】先根据六月份的作品数量和七月份与六月份的倍数关系，求出七月份的作品数量；再根据七月份比八月份少16幅，用七月份的数量加16得到八月份的作品数量。 【解答】 （幅） 答：八月份上交了109幅作品。 【易错巩固5】学校开设课后兴趣班，三年级参加美术班的有68人，参加书法班比美术班的多45人，参加体育班的是参加书法班的2倍。三年级参加体育兴趣班的有多少人？ 【答案】226人 【分析】要求体育班人数，需先用加法求出比美术班多45人的书法班人数，再用书法班人数乘2得到结果。 【解答】 （人） 答：三年级参加体育兴趣班的有人。 易错题型04 多位数乘一位数的进位乘法 1、同时满足“数位严格对齐个位、满十及时向高位进位、进位数值准确累加不遗漏”得到的结果，才是本单元认可的标准进位乘法结论，随意数位错位、漏加进位算出的数值不能作为有效计算依据。 2、判定进位乘法的属性时，要明确某一位相乘结果满十就需要向高位传递进位，不能把每一位乘积都不满十的算式直接归为进位乘法，混淆进位与不进位的定义边界。 3、判定进位数值的属性时，要明确进位数是本位乘积中满十的部分，不同数位对应专属的进位量级，不能跨数位乱加进位数值，违背进位乘法的底层逻辑。 4、反向核验计算结果时，用算出的乘积除以已知的一位数乘数，最终得到的数值必须和题目给出的原始多位数完全一致，不能出现进位遗漏导致的数值错位逻辑矛盾。 5、标注进位乘法的计算结果时，要准确对应每一位的乘积和累加的进位数值，避免出现数位与数值错配、进位标注混乱的问题，导致乘法计量指代模糊。 6、处理个位相乘满几十的进位场景时，要明确只把个位数值留在本位，将十位部分作为进位加到前一位，不能直接把完整乘积全部写在本位，得到不符合进位规则的错误结果。 7、同一道进位乘法的题目中，数位的对位标准、进位的传递规则必须完全统一，不能中途随意切换进位处理方式、更改运算逻辑，打乱计算逻辑的严谨性。 8、判定连续进位的多位数乘一位数场景时，要明确从个位开始逐位运算并依次累加低位进位，不能跳过某一位直接向更高位进位，违背连续进位的精度运算要求。 9、处理“求多个相同数量的总数量”的进位应用场景时，要明确用单份数量乘总份数，按进位规则算出最终结果，不能直接用逐份累加的方式省略进位运算，得到不符合乘法简便规则的低效错误结果。 10、判定“单价乘数量总价进位”的实际应用场景时，要明确每一位相乘后都核对进位数值，不能忽略进位直接拼接数位数字，违背进位乘法的核心运算逻辑。 【题型精讲4】7□5×8的积可能是（    ）。 A．6420 B．6120 C．5580 【答案】B 【分析】积÷一个乘数＝另一个乘数，先确定7□5的最大和最小值，分别计算乘8的结果得到积的范围，再对比选项判断。 【解答】当□填0时，积最小：705×8＝5640；当□填9时，积最大：795×8＝6360。 积的取值范围是5640到6360。 A．6420＞6360，不在取值范围内，不是正确选项； B．6120在取值范围内，且6120÷8＝765，符合7□5的形式，是正确选项； C．5580＜5640，不在取值范围内，不是正确选项。 【易错巩固1】成都到昆明三种不同火车的票价如下表。 快速列车 动车组列车 高速动车组列车 每张207元 每张324元 每张522元 王阿姨买3张同样价格的火车票，付给售票员10张100元，她买的是（    ）。 A．快速列车 B．动车组列车 C．高速动车组列车 【答案】B 【分析】用10张乘100元，先算出王阿姨总共付的钱数，再分别计算买3张每种车票的总价，应付金额应小于等于付款金额且相差不大，结合付款金额判断符合的票型。 【解答】总付款金额：（元）， A．3张快速列车总价：（元），金额远小于1000元，不需要付10张100元。 B．3张动车组列车总价：（元），，符合付款要求。 C．3张高速动车组列车总价：（元），，付款不足。 【易错巩固2】聪聪练习毛笔字，每天写2张，每张写8个字。他一个星期（7天）共写（ ）个毛笔字。 【答案】112 【分析】每天写2张，每张写8个字，先用乘法算出每天写的字数，再乘7，算出一个星期（7天）写的字数。 【解答】2×8×7 ＝16×7 ＝112（个） 【易错巩固3】如果每人每天节约用水2千克，一个4口之家一年（按365天计算）可以节约（ ）千克水，大约是（ ）吨。 【答案】2920 3 【分析】先计算 4 口之家一天节约的水量，再乘一年的天数得到总千克数，最后根据 1 吨等于 1000 千克的关系，将总千克数换算成吨并进行估算。 【解答】2×4×365 ＝8×365 ＝2920（千克） 1吨＝1000千克 2920千克≈3吨 如果每人每天节约用水2千克，一个4口之家一年（按365天计算）可以节约2920千克水，大约是3吨。 【易错巩固4】李叔叔陪同4位老人从福州出发去广州旅行，有三个班次的列车可乘坐，票价情况如表，李叔叔说2000元够了。他买的是哪个班次？为什么？ 班次 1 2 3 票价 386 434 417 【答案】他买的是第个班次的列车；因为只有第个班次的总票价小于元，钱够，第、个班次的总票价都大于元，钱不够。 【分析】先算出总人数，再用人数乘每个班次的票价得到总票价，将总票价和元比较，找出总票价低于元的班次。 【解答】（人） 班次：（元） 班次：（元） 班次：（元） 答：他买的是第个班次的列车，因为只有第个班次的总票价小于元，钱够，第、个班次的总票价都大于元，钱不够。 【易错巩固5】中秋节到了，欢欢要和爸爸、妈妈一起到三色鸽购买礼物。 月饼 牛奶 ？/盒 40元/提 （1）每盒月饼的价格是每提牛奶价格的5倍少32元，每盒月饼多少钱？ （2）妈妈买6盒月饼，付了多少钱？ 【答案】（1）168元 （2）1008元 【分析】求比一个数的几倍少几的数，先用乘法算出几倍是多少，再减去少的部分； 已知单价和数量，求总价，用每盒月饼的钱数×盒数进行计算。 【解答】（1） ＝200 – 32 （元） 答：每盒月饼168元。 （2）（元） 答：付了1008元钱。 易错题型05 多位数乘一位数乘法的竖式谜 1、同时满足“竖式数位严格对齐、乘法运算规则完全匹配、所有数字推导无逻辑冲突”得到的结果，才是本单元认可的标准竖式谜结论，随意乱填数字、违背乘法规则得到的结果不能作为有效推导依据。 2、判定竖式谜已知数字的属性时，要明确已知数字是推导未知数字的固定锚点，不能把空白待填数位直接当作0忽略，混淆已知和未知的定义边界。 3、判定乘法竖式谜的运算属性时，要明确每一位都遵循多位数乘一位数的对位、进位规则，不同数位对应专属的运算逻辑，不能跨数位乱套运算关系，违背乘法竖式的底层逻辑。 4、反向核验推导结果时，把所有填好的数字代入完整竖式重新计算，最终得到的乘积必须和谜面上的结果完全一致，不能出现运算错位的逻辑矛盾。 5、标注竖式谜的推导结果时，要准确对应每一个空白数位的正确数字，避免出现数字与数位错配、填写位置混乱的问题，导致竖式运算指代模糊。 6、处理个位数字完全未知的竖式谜场景时，要明确先从个位的乘法运算关系入手推导，不能直接从高位盲目猜数字，得到不符合运算顺序规则的错误结果。 7、同一道乘法竖式谜的题目中，乘法的运算规则、进位的传递逻辑必须完全统一，不能中途随意切换运算规则、更改进位判定逻辑，打乱推导逻辑的严谨性。 8、判定带明确进位提示的竖式谜场景时，要明确把给定的进位数值代入本位运算做反向推导，不能随意忽略已知进位信息，违背竖式谜的精度推导要求。 9、处理“乘积末尾有固定数字”的竖式谜场景时，要明确利用一位数乘法的个位乘积特征锁定候选数字，不能无范围随机试填数字，得到不符合个位乘积特征的无效推导结果。 10、判定多解型乘法竖式谜场景时，要明确每一组候选数字都代入完整竖式做全流程校验，不能只满足某一位运算就直接判定成立，违背竖式谜的核心校验逻辑。 【题型精讲5】A，B，C，D分别是几？ （ ），（ ），（ ），（ ）。 【答案】1 0 8 9 【分析】首先千位上的四位数ABCD乘9后还是四位数DCBA，说明千位的A乘9不能进位，1到9里只有1×9不进位，所以A只能是1。 乘积的个位是A也就是1，只有9×9＝81的个位是1，所以D是9。 接下来看百位的B，百位上的数乘9也不能向千位进位（不然结果就会变成五位数），已经用了数字1，所以B只能是0。 最后剩下十位，结合进位计算：个位相乘进了8，十位上C×9加进位8后，结果的个位是B也就是0，也就是C×9的个位得是2，只有8×9＝72符合，所以C是8。验证：1089×9＝9801，完全符合算式要求。 【解答】1089×9＝9801 1，0，8，9。 【易错巩固1】下面算式中，“数”“学”“俱”“乐”“部”这五个汉字各代表什么数字？ 数＝（ ），学＝（ ），俱＝（ ），乐＝（ ），部＝（ ）。 【答案】4 2 8 5 7 【分析】“部”与3相乘，积的个位上是1，7×3＝21，说明“部”＝7，个位向十位进2；“乐”与3的乘积，再加上个位向十位进的2，结果的末位上是7，说明“乐”与3的积的末位上是5，5×3＝15，得出“乐”＝5，5×3＋2＝17，十位向百位进1；“俱”与3的乘积加1的结果的末位上是5，说明“俱”与3的积的末位上是4，8×3＝24，得出“俱”＝8，8×3＋1＝25，百位向千位进2；“学”与3的乘积加2的末位上是8，说明“学”与3的积的末位上是6，2×3＝6，得出“学”＝2，2×3＋2＝8；“数”与3的乘积的末位是2，4×3＝12，得出“数”＝4，万位向十万位进1。 【解答】 【易错巩固2】在里填上合适的数字。 【答案】见详解 【分析】第一个式子：个位4×的个位是 4，可能的乘数是1或6；但604×1＝604（千位不是3），因此乘数是6；604×6＝3624，据此填空； 第二个式子：0×7＝0，算出的乘积的个位填0；十位×7的个位是9，根据7×7＝49，所以乘数的十位填7；5×7＋4＝39，结果百位填9； 第三个式子：个位3×的个位是4，根据3×8＝24，所以乘数填8；十位×8＋2（个位进位2）的个位是4，即×8个位是2，8×4＝32，因此十位填4（进位3）；7×8＋3＝59，结果百位填9；据此解答。 【解答】由分析可知： 【易错巩固3】在括号里填上合适的数。 ☆＝（ ）， □＝（ ）， ♥＝（ ）。 ◆＝（ ），△＝（ ）。 【答案】1 2 8 5 5 【分析】☆6□乘3的积里面，个位是6，在3的乘法口诀里面个位是6的只有二三得六，所以□＝2，而三位数乘数的十位6乘3得到18，向百位进1，积的十位就是8，所以♥＝8，而三位数乘数的百位乘3加上进上来的1得到积的百位是4，说明百位乘3得到3，即乘数的百位是1，所以☆＝1； 114乘◆的积里面，个位是0，在4的乘法口诀里面个位是0的只有四五二十，所以◆＝5，而三位数乘数的百位1乘5得到5，积的百位是5，所以△＝5。 【解答】根据分析： ☆＝1， □＝2， ♥＝8。 ◆＝5，△＝5。 【易错巩固4】计算。         【答案】；                （答案不唯一） 【分析】（1）突破口是积的个位为4，所以先找第一个因数个位与第二个一位数相乘个位得4的组合，同时结合第一个因数十位是7，乘积是百位为3的三位数，确定两个乘数的取值，再计算得到积的十位数字。 （2）突破口是积的个位为5，所以第二个乘数或者第一个因数的个位是5，再结合乘积是百位为2的三位数，分别尝试可能的数字组合，确定两个乘数的取值，再计算得到积的十位数字。 【解答】第二题答案不唯一。 【易错巩固5】在下面乘法竖式□中填入合适的数字，使竖式成立。      【答案】见详解 【分析】①从积入手，积的个位是2，根据乘法口诀“四八三十二”可知，这个一位数是4；个位相乘满三十，向十位进3，积十位是9，减去进位的3，还剩6，十位的数乘4，末尾是6，可能是4×4，4×9，结合积百位上的数是7，1×4＝4，2×4＝8，说明百位上是1，十位向前进3，因此十位上是9；即198×4＝792； ②从积入手，积的个位是9，根据乘法口诀“七七四十九”，这个一位数是7，个位相乘满四十，向十位进4，十位8减去4，还剩4；7乘一个数末尾是4，且积百位是8，这个三位数百位只有是1的时候，十位相乘满十，向前进1，才可能是八，所以积十位相乘结果是14，7×2＝14，这个三位数的十位是2；即127×7＝889。 【解答】①三位数是198，一位数是4，198×4＝792。 ②三位数是127，一位数是7，127×7＝889。 易错题型06 根据积的位数判断乘数的最大值最小值 1、同时满足“积的位数判定标准清晰、乘积极限值推导符合进位规则、代入验证结果完全匹配”得到的结果，才是本单元认可的标准判定结论，随意乱猜边界数值、脱离乘法进位逻辑得到的结果不能作为有效判定依据。 2、判定积的位数属性时，要明确积的位数是数字完整占位的总个数，不能把数字末尾的0直接省略后统计位数，混淆积的实际位数的定义边界。 3、判定乘数取值的属性时，要明确每一个候选乘数都要严格满足积的位数要求，不同位数的积对应专属的乘数取值区间，不能跨区间随意取值，违背积与乘数匹配的底层逻辑。 4、反向核验边界数值时，把推导出的最大、最小乘数代入原式计算，最终得到的积的位数必须完全符合题目要求，不能出现位数错位的逻辑矛盾。 5、标注最终判定结果时，要准确对应符合要求的最大、最小乘数数值，避免出现数值与边界错配、结果标注混乱的问题，导致取值指代模糊。 6、处理“积是三位数求乘数最大值”的场景时，要明确找到刚好不进位成四位数的临界数值，不能把进位后得到四位数的数值也纳入可选范围，得到不符合位数要求的错误结果。 7、同一道积的位数判定题目中，积的位数统计标准、进位的判定规则必须完全统一，不能中途随意切换位数统计方式、更改进位逻辑，打乱判定逻辑的严谨性。 8、判定“积是四位数求乘数最小值”的场景时，要明确找到刚好进位成四位数的临界数值，不能把未达到四位数的数值也纳入可选范围，违背临界取值的精度判定要求。 9、处理“多位数首位固定、仅未知一位数乘数”的取值场景时，要明确从最小的1开始逐一代入验证，不能直接跳过中间数值盲目试算，得到不符合逐步推导规则的错误结果。 10、判定“多位数中间带0的积的位数判定”场景时，要明确把0参与运算后的进位情况完整纳入判定，不能忽略0的运算直接套用普通多位数规则，违背特殊多位数的核心判定逻辑。 【题型精讲6】□27×4，如果积是三位数，□里最大可以填（ ）；如果积是四位数，□最小可以填（ ）。 【答案】2 3 【分析】方框里依次试数计算，观察积是三位数还是四位数。 【解答】227×4＝908（三位数） 327×4＝1308（四位数） 【易错巩固1】345×□，如果积是三位数，□里最大可填（ ），如果积是四位数，□里最小可填（ ）。 【答案】2 3 【分析】把数字1、2、3……代入□计算，找出符合条件的即可。 【解答】345×1＝345（三位数） 345×2＝690（三位数） 345×3＝1035（四位数） 所以积是三位数时，最大填2；当填3时，积为1035，是四位数，所以最小填3。 【易错巩固2】如果□28×3的积是三位数，□里最大填（ ）；如果□50×4的积是四位数，□里最小填（ ）。 【答案】3 2 【分析】把□28×3算式看作一个竖式乘法：个位：8×3＝24，写4向十位进2；十位：2×3＝6，加上个位进上来的2，等于8（没有向百位进位）；百位：因为十位没有进位，所以只要“□里的数×3”的结果是一位数（即小于10），最终的积就一定是三位数。据此试数解答。 把□50×4算式看作一个竖式乘法：个位：0×4＝0；十位：5×4＝20，写0向百位进2；百位：要让积变成四位数，说明百位在计算时必须产生进位。也就是“□里的数×4”再加上十位进上来的2，结果必须大于或等于10。据此试数解答。 【解答】当□填1时：128×3＝384（三位数）；当□填2时：228×3＝684（三位数）；当□填3时：328×3＝984（三位数）；当□填4时：428×3＝1284（变成了四位数）。故要使积保持为三位数，□里最大只能填3。 当□填1时：150×4＝600（1×4＋进位2＝6，没满十，是三位数）；当□填2时：250×4＝1000（2×4＋进位2＝10，刚好满十向千位进1，是四位数）。故要使积成为四位数，□里最小要填2。 得出如果□28×3的积是三位数，□里最大填3；如果□50×4的积是四位数，□里最小填2。 【易错巩固3】314×□，要使积是三位数，□里最大填（ ）；要使积是四位数，□里最小填（ ）。 【答案】3 4 【分析】314×3＝942，314×4＝1256，据此即可解答。 【解答】根据分析可知，314×□，要使积是三位数，□里最大填3；要使积是四位数，□里最小填4。 【点睛】熟练掌握整数乘法的计算方法是解答本题的关键。 【易错巩固4】算式421×□，要使它的积是三位数，□里最大能填（ ）；要使它的积是四位数，□里最小能填（ ）。 【答案】2 3 【分析】根据三位数乘一位数的计算，将□＝0、1、2、3……代入到算式421×□中，计算出当积是三位数时，□里最大填多少；当积是四位数时，□里最小填多少。 【解答】421×0＝0，积是0； 421×1＝421，积是三位数； 421×2＝842，积是三位数； 421×3＝1263，积是四位数； 所以算式421×□，要使它的积是三位数，□里最大填2；要使它的积是四位数，□里最小填3。 【易错巩固5】□64×3，如果积是三位数，□里最大能填（ ）；如果积是四位数，□里最小能填（ ）。 【答案】2 3 【分析】根据一位数乘三位数的计算方法，在□里依次填入1、2、3…直到找出使□64×3的积是三位数，□里最大能填的数字；如果积是四位数，□里小能填的数字。 【解答】当□里填1时，164×3＝492，积是三位数。 当□里填2时，264×3＝792，积是三位数。 当□里填3时，364×3＝1092，积是四位数。 □64×3，如果积是三位数，□里最大能填2；如果积是四位数，□里最小能填3。 易错题型07 根据数字按要求组算式（积最大或积最小） 1、同时满足“数字不重复使用、数位排列符合大小规律、乘积计算验证无偏差”得到的结果，才是本单元认可的标准组算式结论，随意乱排数位、重复使用数字得到的结果不能作为有效判定依据。 2、判定数字使用规则的属性时，要明确题目给出的每个数字只能使用一次，不能把数字0直接放在三位数的首位，混淆有效三位数的定义边界。 3、判定数位权重的属性时，要明确高位数字对乘积大小的影响远大于低位，不同数位对应专属的数字分配规则，不能跨数位随意分配大小数字，违背乘积大小变化的底层逻辑。 4、反向核验组出的算式结果时，把所有可能的候选排列都计算乘积对比，最终得到的最大/最小积必须和推导结果完全一致，不能出现数值错位的逻辑矛盾。 5、标注最终组出的算式时，要准确对应三位数、一位数的数字和最终乘积，避免出现数字重复、数位错配的问题，导致算式指代模糊。 6、处理“组积最大的算式”场景时，要明确把最大的数字作为一位数乘数，剩余数字从大到小排列组成三位数，不能把最小的数字放在高位，得到不符合权重规则的错误结果。 7、同一道组算式的题目中，数字的使用规则、数位的权重判定标准必须完全统一，不能中途随意重复用数字、更改大小分配逻辑，打乱推导逻辑的严谨性。 8、判定“组积最小的算式”场景时，要明确把除0外最小的数字作为一位数乘数，剩余数字从小到大排列组成三位数（0放在三位数的十位），不能把0作为一位数乘数，违背有效乘法算式的精度判定要求。 9、处理“数字不含0的组算式”场景时，要明确积最小的情况是把最小数字作为一位数，剩余数字从小到大排列组成三位数，不能直接套用含0的排列规则，得到不符合数字特征的错误结果。 10、判定“多个候选算式大小对比”场景时，要明确把所有符合规则的算式计算出实际乘积再排序，不能只凭数位数字大小直接判定结果，违背组算式问题的核心验证逻辑。 【题型精讲7】用3、4、5、7这四个数字组成的三位数乘一位数，乘积最小的算式是（ ），乘积最大的算式是（ ）。 【答案】457×3 543×7 【分析】因数越小，乘积越小。因数越大，乘积越大。要使组成的算式乘积最小，一位数应该是最小的3，将剩余的三个数字组成最小的三位数是457。要使组成的算式乘积最大，一位数应该是最大的7，将剩余的三个数字组成最大的三位数543。据此解答。 【解答】用3、4、5、7这四个数字组成的三位数乘一位数，乘积最小的算式是457×3，乘积最大的算式是543×7。 【易错巩固1】把3、4、6、8四个数字写成□□□×□ 的乘法算式，要使积最大，应该是（ ），要使积最小，应该是（ ）． 【答案】843×6 468×3 【易错巩固2】用2，4，6，8这四个数字组成三位数乘一位数的算式，算得的积最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】5136 936 【分析】根据乘法的性质可知，乘法算式的因数越大，积就越大；因此要使两个数的乘积最大，就要使这两数尽量大；根据数位知识可知，数的高位的数字越大，其值就越大。同理，乘积小的情况正好与之相反。 要使积最大，那6和8必有一个填在三位数的百位上，如果8在三位数的百位上，那就是6乘三位数的后两位，如果6在三位数的百位上，那就是8乘三位数的后两位，很明显，后一种填法的积较大。 要使积最小，那么2和4必有一个数填在三位数的最高位，如果是2在百位上，那就是4乘三位数的后两位；如果4在百位，那就是2乘三位数的后两位，很明显后一种填法积比较小。 【解答】642×8＝5136 468×2＝936 所以，用2，4，6，8这四个数字组成三位数乘一位数的算式，算得的积最大是5136，最小是936。 【易错巩固3】用1、2、4、5这四个数字组成一个三位数乘一位数的算式，积最大是（ ），积最小是（ ）。 【答案】2105 245 【分析】用1、2、4、5这四个数字组成一个三位数乘一位数的算式，要使积最大，那么三位数高位上的数和一位数都得尽量大。要使积最小，那么三位数高位上的数和一位数都得尽量小。据此解答。 【解答】421×5＝2105，521×4＝2084。2105＞2084，所以积最大是2105。 145×2＝290，245×1＝245。290＞245，所以积最小是245。 用1、2、4、5这四个数字组成一个三位数乘一位数的算式，积最大是2105，积最小是245。 【易错巩固4】用4、5、6、8四个数字组成一个三位数乘一位数的乘法算式，乘积最大是（ ），乘积最小是（ ）。 【答案】5232 2272 【分析】要使三位数乘一位数的乘积最大，一位数要最大，并且剩余数字组成的三位数也要最大，一位数是最大的数字8，将剩余的三个数字组成最大的三位数654，要使组成的算式乘积最小，一位数应该是最小的4，将剩余的三个数字组成最小的三位数是568；据此解答。 【解答】根据分析： 654×8＝5232 568×4＝2272 用4、5、6、8四个数字组成一个三位数乘一位数的乘法算式，乘积最大是5232，乘积最小是2272。 【易错巩固5】用5、6、7、8这4个数字组成三位数乘一位数的算式，积最大（ ）×（ ），积最小是（ ）×（ ）。 【答案】765 8 678 5 【分析】要使积最大，大的数要放在高位，小的数放在低位，并且三位数的百位上的数与一位数乘积要最大，有765×8和865×7两种算式，计算出这两种算式的积，再比较大小； 要使积最小，小的数放在高位，大的数放在低位，并且三位数的百位上的数与一位数乘积要最小，有678×5和578×6两种算式，计算出这两种算式的积，再比较大小。 【解答】765×8＝6120，865×7＝6055，6120＞6055； 678×5＝3390，578×6＝3468，3390＜3468； 用5、6、7、8这4个数字组成三位数乘一位数的算式，积最大765×8，积最小是678×5。 【点睛】本题主要考查学生对三位数乘一位数知识的掌握和灵活运用。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $