2027年高考数学一轮复习检测卷（天津专用02）

**基本信息** 2027天津高考数学一轮复习检测卷，120分钟150分，覆盖集合、函数、立体几何等主干知识，通过赵爽弦图染色、双曲线与抛物线综合等题，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|集合、三角函数、概率统计|第3题结合数据统计考查数据分析，第7题不等式命题强化逻辑推理| |填空题|6/30|复数、二项式定理、解三角形|第13题赵爽弦图染色体现文化传承，第15题双曲线与抛物线综合考查数学建模| |解答题|5/75|数列、导数、立体几何|第19题伴随数列新定义考查创新意识，第20题导数极值点证明深化逻辑推理|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2027年高考一轮复习检测卷 (天津专用) 数学·参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 6 7 8 9 答案 B A C D C C C C 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 o.分而 11.10 12.V27 13.144 8414.3 39 3 32 15.2 481 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) (1)m.n=sinC cos B+sin BcosC=sin(B+C)=sin(-A)=sin A=sin24, sin A=sin24=2sin AcosA, A∈(0，，则cosA=1, 解得4=子(4分) （2)8 be sin=ce5-5bc=5,解得c=4, 2 2 24 由余弦定理a=b2+c2-2 bccosA=b+c2-bc, 则(2V3=b+c2-4,解得b+c=16, b+c=Vb2+c2+2bc=V16+2×4=26, .a+b+c=25+26.(9分) (3)由AD=(B+AC)可知D是BC中点，AD是aABC中线， 则而=4(+ac+24c 则9=46+c+2 c)=46+c+bc),故b2+c+bc=36, 由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2-bc=12, 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两式相减得2bc=24,解得bc=12, 1 敌sc=bcsn4)2k3 2 -3N5.（14分 2 17.(15分) (1)证明：取B,C的中点F,连接BF,A,F,DF, A C B 由BD=CF,BD/ICF,得四边形BDC,F为平行四边形，所以BF/IC,D DF =BB.AA,DF/BB/AA, 得四边形ADFA为平行四边形，所以A,F/IAD 因为A,FC平面ADC1,ADC平面ADC, 所以A,F/I平面ADC 同理可得，BF/平面ADC, 因为A,F∩BF=F,AF,BFC平面A,BF, 所以平面A,BF/I平面ADC 又A,BC平面A,BF,所以A,B∥平面ADC1;(5分) (2)由(1)法二知A,F/1AD,所以∠BA,F为异面直线A,B与AD所成的角， C B A,F=A,B,sin60°=ABsin60°=V5, 0 B AB=A4+AB=2v2, BF=BB2+BF=5, 所以A,F2+BF2=AB2,所以A,F⊥BF 所以cos∠B4F=4F=V5_V6 ΓAB2v24 2/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即异面直线AB与AD所成角的余弦值为6 .(11分) (3)三棱柱ABC-AB,C为正三棱柱，所以其体积为 '4s=2x2x5x2-25 1 2V5 三棱锥C-4AB的体积人。-4n=V4-A8c=厂8c-4G= 1 (15分) 18.(15分) (1)因为当P与椭圆短轴顶点重合时，△PAB的面积最大， 此时最大值为2(2a6=ab, 所以ab=2V5, 又因为精圆的离心率为5，即：} a2 所以a=2c, 又因为b2=a2-c2=3c2, 所以b=V5c, 所以ab=2v3c2=2v3, 所以c2=1, 所以a2=4c2=4,b2=3c2=3, 所以C的方程：十写 x+少=1，(5分) (2)证明：由(1)可知F(1,0), 设直线1：x=my+1, x=my+1 由3x+4y2=12' 得(3m2+4)y2+6my-9=0, △=36m2+36(3m°+4)=144(m°+1)>0(7分) 设D(x,y1),E(x2,y), 6m 9 则月+片=一3m+4y=3m+4<0, 不妨设>0，y<0, 则s=号oFy+0F1y卢20y-), 又因为5+x,=m,+1+m,+1=m0+)+2=3m+4' 8 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以发段DE的中点c4n2 所以N4,3m), 3m2+4 -3m -3m 所以飞为 3m+4_片3m+4, -4my-3 -3m -3m 3m+4_片3m+4,(12分) k2= x3-4 my3-3 -3m -3m 所以k-k= 以-3m+4_3m+4 my,-3 my3-3 y n”4my6n”4m (y,-3)(my2-3) X 一+3) myy3-3m(y,+2)+9 (y2-乃) 3m2+3 3m2+4 36(m2+1 3m2+4 =凸上 3 D 0-所以9 20)3 S -0-） 所以为定值 (15分) E 19.(15分) (1)依题意，数列{a}为1,4,7.(2分) (2)由an=3m-1≤m,m∈N,得n≤1+logm, 当1≤m≤2时，b,=b=1,共2项；当3≤m≤8时，b=b4=…=bg=2,共6项； 当9≤m≤26时，b,=b10=…=b6=3,共18项；当27≤m≤80时，b,=b8=…=b0=4,共54项： …;当31≤m≤3”-1时，b=b11=…=b-1=n,共3”-3”-1=2-3-1项，(5分) 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3"-1 则∑b,=2×1+2×3×2+2×32×3+2×33×4++2×3m-1×n =21+3×2+32×3+33×4+…+3-1×n)=21+2×3+3×32+4×33+…+n×3m-1 令Bn=1+2×3+3×32+4×33+…+n×3-1, 于是3Bn=1×3+2×3+3×3++(n-1)×3m-1+n×3”, 两式相减得-2B,=1+3+3+3++31-n×3”=1-3 3mx3=}2-13, 22 因t8”,所以26-B%g10分》 3"-1 1=1 2 (3)由数列{an}的前n项和Sn=n2+c,得a=S,=1+c=1,解得c=0,即Sn=n 当n≥2时，a.=Sn-S1=2n-1,而41=1满足上式，因此an=2n-1, 由meN，a,=2n-l≤m,得nsm+1, 2， 由使得an≤m成立的n的最大值为bn，得b,=b=1,b3=b4=2,…,b2k-1=b2k=k, 当m=2k-1k∈N时，T=2.1+-D.k-)+k=2=0m+, 2 4 当m=2论keN时，工=21生k=发+k=mm+2, 1 2 (m+1) -,m=2k-1 4 所以Tm= ,k∈N.(15分) m(m+2) m=2k 4 20.(16分) >当a=3时，f)=6-3hx-5,求导得fe倒=6，则f0=2,而0 所以曲线y=f在x=1处的切线方程为y=20c-》+号，即4-2y-3=0.(2分) 三6x=anr)r5的定义域为0+o,求导 2-x=-x+6x-a 令函数g(x)=-x2+6x-a,x>0,由f(x)恰有两个极值点x,(x<x), 得方程-x2+6x-a=0有两个不等的正实根x,x,即0<x<x2, [△=36-4a>0 则有x+x=6，解得0<a<9,所以a的取值范围是(0,9).(5分) xx,=a>0 ②由①知，0<a<9,且xx=a,x+x2=6, ())x-al6al 1 1x-5 5/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =6(x+x2)-alnxx2-- [6+,)尸-2x￥]-10 -36-alna--(6-2a)-10=8+a-alna,(8 要证f(x)+f(x)<l0-lna,即证8+a-alna<l0-na,就证a+na-ana-2<0, 令函数h)=x+lnr-xlnx-2,0<x<9,求导得h)=l+1-lnx-1=1-nx, 1 由函数y=y=-血x在0,9)上都单调递减，得函数H(四在0，)上单调递减， 1 当x∈(0，xo)时，H(x)>0;当x∈(x,9)时，h(x)<0, 函数h(x)在(0，x)上单调递增，在(x。,9)上单调递减，x∈(0,9)，h(x)≤h(x),(12分) 因此h(x)≤h(xo)=x,+lnx,-xln,-2=x+ -2=+-3, xo xo 函数yx在Q2上调递塔，得当2时，巧+13<2土30 X。 2 于是h(x)≤h(x)<0,即a+na-ana-2<0, 所以f(x)+f(x)<10-lna.(16分) 6/6 2027年高考一轮复习检测卷（天津专用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， ， 则. 2．设，则“”是“曲线最小正周期为”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，曲线最小正周期是， 因为，若曲线最小正周期是，则，解得：， 综上，“”是“曲线最小正周期为”的充要条件. 3．下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 【答案】C 【详解】，A错误； ， 则，B错误； 首先将数据从小到大排序：，共8个数据， 则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确； 根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍， 这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误. 4．已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数是减函数， ，所以， 当时，，， 若，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，解得； 若，则，在上单调递增， 此时的值域为，符合题意， 若，的值域为，不符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 5．正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 连结交于，由，， 平面，平面， 所以平面， 得点到平面的距离是，即点到平面的距离是， 即三棱锥的高为， 又， 故三棱锥的体积为. 6．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，，当时，，求导可得，即时单调递减， 且时，与图像中先减后增、时趋向正无穷矛盾，故错误. 选项B，结合题干图像可知函数关于原点对称，即是奇函数， ，满足，是偶函数，故错误. 选项C，，是奇函数，符合对称性； 定义域：，符合图像特点； 当时，分子，， 指数增长速度远快于分母二次式增长速度， 故，单调递增，符合图像趋势，故正确. 选项D，在处无定义，结合题干图像可知不符合，故错误. 7．下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 8．已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（     ） A．4049 B． C．4051 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， ，，解得或， 即或，此时可能小于1，不满足都有意义， 故，则. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知是虚数单位，则__________. 【答案】/ 【详解】， ． 11．在的展开式中，的系数为____________． 【答案】 【详解】的通项为， 令，解得， 故． 12．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 【答案】 【详解】∵ 在中，，，， 由余弦定理可得，∴ . 设外接圆的半径为，由正弦定理， ∴ . 13．如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 【答案】 【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色， ①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法， 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论： ①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法， 综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种. 故答案为：； 14．在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】， 所以； ， ， , 与所成的夹角为， ， 令，则 当时，的最大值为. 15．已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 【答案】 2 【详解】的渐近线方程为， 双曲线的虚轴端点为，的焦点为 因此的斜率为，故，故, 设，则圆：， 不妨设直线， 联立与可得，故， 因此， 由于，故，故， 由于在，故， 结合，解得， 故双曲线方程为， 故答案为：2， 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）， 故， ，则，解得． （2），解得， 由余弦定理， 则，解得， ， ． （3）由可知是中点，是中线， 则， 则，故， 由余弦定理， 两式相减得，解得， 故． 17．（15分）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)法一：证明：连接交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以，又， 所以. 法二：证明：取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； (2).(3) 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2）由（1）法二知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为 . 三棱锥的体积. 18．（15分）已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明：由（1）可知， 设直线， 由， 得， 设， 则， 不妨设， 则， 又因为， 所以线段的中点， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以， 所以为定值.    【详解】（1）因为当与椭圆短轴顶点重合时，的面积最大， 此时最大值为， 所以， 又因为椭圆的离心率为，即， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的方程：; （2）证明：由（1）可知， 设直线， 由， 得， 设， 则， 不妨设， 则， 又因为， 所以线段的中点， 所以， 所以， ， 所以 ，所以，所以为定值.   19．（15分）设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3． (1)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 (2)若，数列的伴随数列为，求． (3)若数列的前n项和（其中c为常数），求数列的伴随数列的前m项和． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）依题意，数列为. （2）由，得， 当时，，共2项；当时，，共6项； 当时，，共18项；当时，，共54项； ；当时，，共项， 则 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. （3）由数列的前n项和，得，解得，即 当时，，而满足上式，因此， 由，，得， 由使得成立的的最大值为，得， 当时，， 当时，， 所以. 20．（16分）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②由知，，且， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，求导得， 由函数在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即， 所以. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 令函数，由恰有两个极值点， 得方程有两个不等的正实根，即， 则有，解得，所以的取值范围是. ②由知，，且， 则 ， 要证，即证，就证， 令函数，求导得， 由函数在上都单调递减，得函数在上单调递减， 又，则，使，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，， 因此， 由函数在上单调递增，得当时，， 于是，即， 所以. 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（天津专用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“曲线最小正周期为”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 4．已知函数，若，，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．正方体的棱长为3，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为（     ） A． B．2 C．3 D．4 6．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（     ） A．4049 B． C．4051 D． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知是虚数单位，则__________. 11．在的展开式中，的系数为____________． 12．在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则外接圆的半径为______． 13．如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 14．在中，，在边上，，，则的值为______________，若，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 15．已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为.直线过抛物线的焦点和双曲线的虚轴端点，且直线与的一条渐近线平行.（i）__________；（ii）若以为直径的圆交于两点（为坐标原点），点在上，且，则双曲线的方程为__________. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长； (3)若，且，求的面积． 17．（15分）如图，在正三棱柱中，，D为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．（15分）已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 19．（15分）设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3． (1)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 (2)若，数列的伴随数列为，求． (3)若数列的前n项和（其中c为常数），求数列的伴随数列的前m项和． 20．（16分）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $