专题 3.10 图形的相似 全章复习讲义 - 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识梳理解读模块系统构建图形相似的知识体系，以框架形式呈现成比例线段、相似三角形判定与性质、位似图形及实际应用等核心知识点，明确标注重点难点如相似三角形判定与性质的综合应用，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础部分涵盖比例线段计算、相似判定等基础题型，综合提升部分设置动点问题、函数综合等复杂题型，结合测高测距等实际应用培养模型意识与推理能力，同步检测包含选择填空解答题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 3.10 图形的相似全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.复习目标与重难点 1 【学习目标】 2 【重难点】 2 二.知识梳理解读 2 【知识点一】成比例线段 2 【知识点二】相似三角形的判定 3 【知识点三】相似三角形的性质 3 【知识点四】图形的位似 4 【知识点五】相似三角形的实际应用 4 三.题型精析（夯实基础） 5 【题型 1】比例线段与比例性质的计算 5 【题型 2】相似三角形的判定 7 【题型 3】相似三角形性质的应用 9 【题型 4】位似图形的识别与坐标计算 12 四.题型精析（综合提升） 15 【题型 5】相似三角形的判定与性质综合 15 【题型 6】相似三角形中的动点问题 18 【题型 7】相似三角形与函数、方程的综合 24 【题型 8】相似三角形的实际应用 29 五.同步检测 33 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 33 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 44 一.复习目标与重难点 【学习目标】 1. 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质，能运用性质进行比例式的变形与计算。 2. 掌握相似三角形的三个判定定理（AA、SAS、SSS）及直角三角形相似的特殊判定方法，能根据条件灵活选择判定方法证明三角形相似。 3. 理解相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 4. 理解位似图形的概念与性质，能在平面直角坐标系中进行位似变换，掌握位似图形对应点坐标的变化规律。 5. 能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测高、测距），建立数学模型，提高分析问题和解决问题的能力。 【重难点】 重点：相似三角形的判定定理与性质的综合应用；比例性质的灵活运用；位似变换中坐标的变化规律。 难点：相似三角形判定方法的灵活选择（特别是复杂图形中相似三角形的识别）；相似三角形性质与其他知识（函数、方程、圆）的综合运用；利用相似三角形解决实际问题中的数学建模。 二.知识梳理解读 【知识点一】成比例线段 1. 线段的比 两条线段长度的比叫做这两条线段的比。若线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，则AB:CD = a:b。 2. 比例线段 在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项。 3. 比例的性质 基本性质：若 ，则 ad = bc；反之，若 ad = bc（b、d≠0），则 。 合比性质：若 ，则 。 等比性质：若 ，则 。 4. 黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC > BC），如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其值为 。 【知识点二】相似三角形的判定 1. 相似三角形的定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号"∽"表示，读作"相似于"。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2. 平行判定（预备定理） 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是判定三角形相似的最基本方法，也是推导其他判定定理的基础。 3. 相似三角形的判定定理 判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。（这是最常用的判定方法，因为三角形内角和为180°，两角相等则第三角也相等。） 判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（注意：必须是夹角相等，而非任意一角。） 判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 4. 直角三角形相似的特殊判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（这是直角三角形特有的判定方法，类似于全等三角形的HL判定。） 【知识点三】相似三角形的性质 1. 基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例（比值等于相似比k）。 2. 对应线段的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。更一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比。 3. 周长与面积的性质 周长比：相似三角形周长的比等于相似比。即若相似比为k，则周长比为 。 面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方。即若相似比为k，则面积比为 。（这是本章最易出错的性质之一，务必牢记面积比是相似比的平方。） 【知识点四】图形的位似 1. 位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似是一种特殊的相似，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 2. 位似图形的性质 （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。即若原图形上某点坐标为(x, y)，则其位似图形对应点的坐标为 。 3. 位似作图步骤 ① 确定位似中心； ② 连接位似中心与原图形各顶点； ③ 根据相似比在连线上截取对应点； ④ 顺次连接各对应点，得到位似图形。 【知识点五】相似三角形的实际应用 1. 利用相似三角形测高 影子法：在同一时刻，物高与影长成正比例。即 。原理是太阳光线可以看作平行线，形成相似三角形。 标杆法：在人与被测物体之间竖立一根已知高度的标杆，通过视线确定相似三角形，利用对应边成比例计算物体高度。 镜子反射法：在地面上放置一面镜子，人后退到恰好能从镜子中看到物体顶端的位置。利用入射角等于反射角，形成相似三角形，通过测量距离计算物高。 2. 利用相似三角形测距 对于不可直接到达的距离（如河宽、建筑物间距），可以通过构造相似三角形，利用对应边成比例来求解。关键是将实际问题抽象为几何图形，找到或构造相似三角形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】比例线段与比例性质的计算 【例题1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）已知四条线段成比例，其中，，，则线段的长（    ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，若四条线段，，，成比例，则，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：四条线段，，，成比例， ， ，，， ， 故选：B． 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割比，一元一次方程，解题的关键是掌握概念，利用较长的线段与整条线段的比值建立等式． 解：根据，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）． 根据，设，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，，求a，b，c的长． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可： （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值 （1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 【题型 2】相似三角形的判定 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 解：略 【变式1】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，则________． 【答案】 【分析】先证明，然后利用相似三角形对应边成比例求得答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型 3】相似三角形性质的应用 【例题3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质. 根据题意可知为公共角，要使以、、为顶点的三角形与相似，需分两种情况进行讨论：一是，二是. 利用线段中点的定义求出的长，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 解：（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 【题型 4】位似图形的识别与坐标计算 【例题4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． （1）以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． （2）点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 【变式1】（第三十一章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，将放大倍，得到． （1）点的对应点的坐标是______． （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题考查了位似变换的性质，包括位似图形对应点的坐标变化规律以及面积比与位似比的关系，熟练运用相关性质是解答本题的关键． （1）利用位似变换中对应点坐标的变化规律，结合位似中心为原点，确定点对应点的坐标； （2）根据位似图形的面积比等于位似比的平方，结合已知的面积，计算的面积． （1）解：位似图形对应点的坐标比等于位似比，点的坐标为， 当位似图形与原图形在位似中心同侧时：， 当位似图形与原图形在位似中心异侧时： 点的坐标是或； （2）解：位似比为，则面积比为， ， ． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】相似三角形的判定与性质综合 【例题5】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； （1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 【变式1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 【变式2】（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接，，． （1）求的长； （2）点F为边上的一点，连接交于点G，连接，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明：∵四边形是菱形， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明为等边三角形，利用三线合一，结合勾股定理求出的长即可； （2）求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； （1）解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵点E是边的中点， ， ， ； （2）略 【题型 6】相似三角形中的动点问题 【例题6】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． （1）求证：： （2）当，求的值． （3）若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 又， ， ； （2） （3）或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长； （3）由，可得，点K在内部时，的临界值是，代入数值求出的长即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴； （3）解：点K在内部时，的临界值是，设运动时间为t， ∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得或， ∵点P以每秒1个单位从点B向终点C运动， ∴当或时，点K在内部． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．当两个动点运动了x秒（）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）； （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）当x为何值时，是等腰三角形．（直接写出x的值） 【答案】（1）；（2）秒或2秒时，是直角三角形；（3）秒或秒或秒时，是等腰三角形 【分析】（1）如图1，作垂足为H，由得即可解决问题； （2）①当时，根据得即可解决问题；②当时，由得即可解决问题； （3）①当时，如图1，由列出方程求解；②当时，得方程可以求解；③当时，如图2，作，由得到列出方程求解． （1）解：如图1，作垂足为H， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N坐标； （2）解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：秒或2秒时，是直角三角形； （3）解：①当时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，， 解得：． ③当时，如图2，作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：秒或秒或秒时，是等腰三角形． 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，学会转化的思想，分类讨论的思想，用方程去思考是解题的关键． 【题型 7】相似三角形与函数、方程的综合 【例题7】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，交于点E，过点E作交于点F．已知，．设，． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若，，求的长． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握平行线分线段性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据，得，代入整理即得； （2）当时，代入（1）中结果求得，根据，得，得，代入计算即得． 解：（1）∵交于点F， ∴， ∵，．，， ∴， ∴； （2）当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图1，在中，，点是线段上一点，点在边上从点向点运动，连接．设．图2是点在边上运动时，随变化的函数图象（图中所标数据分别为图象右端点与最低点的横、纵坐标），则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图2中函数图象最低点纵坐标为2.5，结合的中位线，求出的高为，图2中的最大值为6，即，代入面积公式得． 解：， 为的中位线， ， ， 图2中函数图象最低点的纵坐标为， 与之间的距离为． 的边上的高为． 由图2可知的最大值为， ， 的面积为． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】延长、交于点，证明，得出，，从而，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 解：延长、交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得， ∴y关于x的函数解析式为． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，是上一点（不与点、）重合，，交于点．设的面积为，的面积为． （1）当是中点时，求的值； （2）设，求与的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】（1）；（2），的最大值为． 【分析】（1）先求出和的面积相等，再根据平行线得出，推出把代入求出即可； （2）求出①②，联立①②即可求出函数关系式，进而即可求得最大值． （1）解：为中点， ，， ， ∴ ， 的边上的高和的边上的高相等， ， ， ， ； （2）解：∵，， ①， ， ，， ， ， 的边上的高和的边上的高相等， ②， 得：， ， ∴的最大值为． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，二次函数的性质，平行线分线段成比例，三角形的面积的计算方法，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【题型 8】相似三角形的实际应用 【例题8】（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 【变式3】（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 解：（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 2．（2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 将选项中所给的条件添加后，由两个三角形相似的判定定理分析是否能确定即可得到答案． 解：如图所示： ， ， A、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； B、当时，则，由于不是边的夹角、不是边的夹角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知，此条件无法判定，符合题意； C、当时，则，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； D、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，一支打开的圆珠笔的长约为，若笔帽边沿上的点恰是这支笔的一个黄金分割点，则笔尖到笔帽边沿的距离的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 利用黄金分割点定义进行求解即可． 解：根据黄金分割点可得， ∵，， ∴， ∴的长是， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可． 解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形（同时是相似图形）； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 8．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边． 解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 解：，， ， ， ， ， ， ， ． 10．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，是等腰直角三角形，点，是斜边上的两个动点，，过点，分别作，，垂足分别为若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题运用等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识求解．设未知数表示相关线段长度，通过角度关系证明三角形相似，进而求出与的长度，最后根据三角函数的定义求出的值． 解：设， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，是斜边， ∴，，， ∴， ∵，，垂足分别为，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 解：， ∴， ∴． 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 14．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线平行可得，根据平行线分线段成比例可判定为的中点，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 解：如图， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ，， ，即， ， ∴， 为的中点， 在中，， ，为的中点， ． 15．（2022·上海奉贤·模拟预测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 16．（第三十一章追梦基础训练卷（二））古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 【答案】 【分析】位似图形一定是相似图形，可以得出四边形是正方形，利用相似比得出正方形的边长，利用正方形的性质和勾股定理即可进行求解． 解：连接， ∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 即， ∵四边形与正方形是位似图形，， ∴四边形是正方形，， ，， ． 17．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，构建相似三角形是解题的关键． （1）根据题意，先得到，进而可求； （2）过点作于点，进而可证，再根据相似比列方程求解即可． 解：（1）， ． 根据题意可知， ； （2）， 四边形是平行四边形， 当时，过点作于点， 则． ． ， ，即，解得． 故答案为：；． 18．（25-26九年级上·四川成都·期中）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数，则线段的长是______；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义，两点间的距离公式，位似的性质． 先根据复数对应点坐标，利用距离公式求长度；再根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数． 解：∵点A对应复数，故坐标为；点B对应复数，故坐标为． ∴线段的长度为． ∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为， ∴点A的对应点的坐标为即或即， 故对应的复数为或． 故答案为：，或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知：，且． （1）求代数式的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键； （1）设，则，代入求值即可； （2）将上一问中的代入所给方程求值即可． （1）解：设，则， ∴原式； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2） 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 解：（1）略 （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）3 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 解：（1）略 （2）解：∵且、， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求与的面积之比． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 四边形是菱形， ，， 由（1）知，， ， 又， ， ； （3） 【分析】（1）根据菱形的性质证明即可； （2）由菱形可得，，由（1）知，，则，再由三线合一得到，最后由垂直于同一直线的两直线平行证明即可； （3）先证明，再证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 解：（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知，， ， ， 设，则，， ， ∵ ， ∵， ， ． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）已知：中，，点D、E分别是线段、延长线上的点，满足． （1）求证：； （2）若点D在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质，易证，再结合相似三角形对应边成比例求证即可； （2）根据垂直平分线的性质和等边对等角，易证，再结合相似三角形对应边成比例求证即可． 解：（1）略 （2）略 24．（本小题满分12分）（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． （1）设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； （2）如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】（1），，；（2）2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． （1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.10 图形的相似全章复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.复习目标与重难点 1 【学习目标】 2 【重难点】 2 二.知识梳理解读 2 【知识点一】成比例线段 2 【知识点二】相似三角形的判定 3 【知识点三】相似三角形的性质 3 【知识点四】图形的位似 4 【知识点五】相似三角形的实际应用 4 三.题型精析（夯实基础） 5 【题型 1】比例线段与比例性质的计算 5 【题型 2】相似三角形的判定 5 【题型 3】相似三角形性质的应用 6 【题型 4】位似图形的识别与坐标计算 7 四.题型精析（综合提升） 8 【题型 5】相似三角形的判定与性质综合 8 【题型 6】相似三角形中的动点问题 10 【题型 7】相似三角形与函数、方程的综合 11 【题型 8】相似三角形的实际应用 12 五.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.复习目标与重难点 【学习目标】 1. 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质，能运用性质进行比例式的变形与计算。 2. 掌握相似三角形的三个判定定理（AA、SAS、SSS）及直角三角形相似的特殊判定方法，能根据条件灵活选择判定方法证明三角形相似。 3. 理解相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线之比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 4. 理解位似图形的概念与性质，能在平面直角坐标系中进行位似变换，掌握位似图形对应点坐标的变化规律。 5. 能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测高、测距），建立数学模型，提高分析问题和解决问题的能力。 【重难点】 重点：相似三角形的判定定理与性质的综合应用；比例性质的灵活运用；位似变换中坐标的变化规律。 难点：相似三角形判定方法的灵活选择（特别是复杂图形中相似三角形的识别）；相似三角形性质与其他知识（函数、方程、圆）的综合运用；利用相似三角形解决实际问题中的数学建模。 二.知识梳理解读 【知识点一】成比例线段 1. 线段的比 两条线段长度的比叫做这两条线段的比。若线段AB的长度为a，线段CD的长度为b，则AB:CD = a:b。 2. 比例线段 在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。其中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项。 3. 比例的性质 基本性质：若 ，则 ad = bc；反之，若 ad = bc（b、d≠0），则 。 合比性质：若 ，则 。 等比性质：若 ，则 。 4. 黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC > BC），如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，其值为 。 【知识点二】相似三角形的判定 1. 相似三角形的定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号"∽"表示，读作"相似于"。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。 2. 平行判定（预备定理） 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是判定三角形相似的最基本方法，也是推导其他判定定理的基础。 3. 相似三角形的判定定理 判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。（这是最常用的判定方法，因为三角形内角和为180°，两角相等则第三角也相等。） 判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（注意：必须是夹角相等，而非任意一角。） 判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 4. 直角三角形相似的特殊判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。（这是直角三角形特有的判定方法，类似于全等三角形的HL判定。） 【知识点三】相似三角形的性质 1. 基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例（比值等于相似比k）。 2. 对应线段的性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。更一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比。 3. 周长与面积的性质 周长比：相似三角形周长的比等于相似比。即若相似比为k，则周长比为 。 面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方。即若相似比为k，则面积比为 。（这是本章最易出错的性质之一，务必牢记面积比是相似比的平方。） 【知识点四】图形的位似 1. 位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似是一种特殊的相似，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 2. 位似图形的性质 （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。即若原图形上某点坐标为(x, y)，则其位似图形对应点的坐标为 。 3. 位似作图步骤 ① 确定位似中心； ② 连接位似中心与原图形各顶点； ③ 根据相似比在连线上截取对应点； ④ 顺次连接各对应点，得到位似图形。 【知识点五】相似三角形的实际应用 1. 利用相似三角形测高 影子法：在同一时刻，物高与影长成正比例。即 。原理是太阳光线可以看作平行线，形成相似三角形。 标杆法：在人与被测物体之间竖立一根已知高度的标杆，通过视线确定相似三角形，利用对应边成比例计算物体高度。 镜子反射法：在地面上放置一面镜子，人后退到恰好能从镜子中看到物体顶端的位置。利用入射角等于反射角，形成相似三角形，通过测量距离计算物高。 2. 利用相似三角形测距 对于不可直接到达的距离（如河宽、建筑物间距），可以通过构造相似三角形，利用对应边成比例来求解。关键是将实际问题抽象为几何图形，找到或构造相似三角形。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】比例线段与比例性质的计算 【例题1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）已知四条线段成比例，其中，，，则线段的长（    ） A．1 B．2 C．6 D．9 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）．若，则的长为______．（结果保留根号） 【变式3】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． （1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； （2）若，，求a，b，c的长． 【题型 2】相似三角形的判定 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【变式1】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，则________． 【变式3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【题型 3】相似三角形性质的应用 【例题3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点、分别在的边、上，若，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 4】位似图形的识别与坐标计算 【例题4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． （1）以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． （2）点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【变式1】（第三十一章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，将放大倍，得到． （1）点的对应点的坐标是______． （2）若的面积为，求的面积． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】相似三角形的判定与性质综合 【例题5】（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【变式1】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【变式2】（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接，，． （1）求的长； （2）点F为边上的一点，连接交于点G，连接，．求证：． 【题型 6】相似三角形中的动点问题 【例题6】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且． （1）求证：： （2）当，求的值． （3）若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【变式3】（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，．动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点B移动．当两个动点运动了x秒（）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）； （2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）当x为何值时，是等腰三角形．（直接写出x的值） 【题型 7】相似三角形与函数、方程的综合 【例题7】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，，交于点E，过点E作交于点F．已知，．设，． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若，，求的长． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图1，在中，，点是线段上一点，点在边上从点向点运动，连接．设．图2是点在边上运动时，随变化的函数图象（图中所标数据分别为图象右端点与最低点的横、纵坐标），则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，是上一点（不与点、）重合，，交于点．设的面积为，的面积为． （1）当是中点时，求的值； （2）设，求与的函数表达式，并求出的最大值． 【题型 8】相似三角形的实际应用 【例题8】（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【变式1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 【变式3】（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，一支打开的圆珠笔的长约为，若笔帽边沿上的点恰是这支笔的一个黄金分割点，则笔尖到笔帽边沿的距离的长是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，在小孔成像问题中，若点到的距离是，到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 7．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级下·浙江绍兴·自主招生）如图，是等腰直角三角形，点，是斜边上的两个动点，，过点，分别作，，垂足分别为若，则的值是（　　） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 14．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 15．（2022·上海奉贤·模拟预测）如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 16．（第三十一章追梦基础训练卷（二））古书《墨子·天志》中记载：“执规矩以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则两点之间的距离为______________． 17．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 18．（25-26九年级上·四川成都·期中）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数，则线段的长是______；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知：，且． （1）求代数式的值； （2）当时，求的值． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．（本小题满分10分）（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求与的面积之比． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）已知：中，，点D、E分别是线段、延长线上的点，满足． （1）求证：； （2）若点D在线段的垂直平分线上，求证：． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． （1）设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； （2）如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $