专题 3.7 全等三角形经典几何模型——半角模型 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形半角模型这一核心知识点，基于全等三角形判定与性质，系统梳理等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形四种基本模型，通过条件、图形、结论及证明思路构建学习支架，衔接基础与综合应用。 该资料特色在于模型分类清晰且题型分层递进，结合旋转等方法培养几何直观与推理能力。如正方形半角模型通过旋转构造全等证明EF=BE+DF，提升抽象能力与创新意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固查漏，强化应用意识。

专题 3.7 全等三角形经典几何模型——半角模型【模型梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本半角模型1——等腰三角形 1 2、基本半角模型2——等边三角形 2 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 2 4、基本半角模型4——正方形 2 二.题型精析 3 【题型1】半角一般模型 3 【题型2】45度半角模型 4 【题型3】60度半角模型 5 【题型4】45度与60度半角模型综合 6 三.同步检测 8 解答题（共5大题，每大题20分，共100分） 8 一.模型梳理 （一）定义： 半角模型是指：在一个已知角内部，构造一个大小为其一半的角，然后研究由此产生的几何关系。半角模型是初中几何中常见的一类重要模型，主要涉及在一个角内构造一个大小为其一半的角所产生的一系列几何性质和结论。 （二）常见的模型及证法 1、基本半角模型1——等腰三角形 条件 中，AB=AC，D、E是BC上一点，。 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可得出结论。 2、基本半角模型2——等边三角形 条件 是等边三角形，D是外一点，，DB=DC，点E、F分别在AB、AC上， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC延长线上取一点G，使CG=BE，证明即可得出结论。 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 条件 在中，AB=AC，D、E是BC上一点， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可 4、基本半角模型4——正方形 条件 在正方形中，E、F分别是BC、CD上一点，且 基本图形 结论 EF=BE+DF 证明思路 延长CD至G，使DG=BE，证明即可 二.题型精析 【题型1】半角一般模型 【例题1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接， …… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【变式】（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： （2）【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； （3）【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 【题型2】45度半角模型 【例题2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【探究】如图1，正方形中，E，F分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，延长至点，使，连接．求证： （1）； （2）若，求正方形的边长； （3）连接分别交于点M，N，请直接写出的数量关系． 【拓展】（4）如图2，在四边形中，，，以为顶点的与边分别交于E、F两点且，求五边形的周长． 【变式】（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． （1）求证： ． （2）如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【题型3】60度半角模型 【例题3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【变式】（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 【题型4】45度与60度半角模型综合 【例题3】（25-26八年级下·甘肃天水·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系：________． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式】（25-26八年级下·广东江门·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图2，已知，，则的长为______； （2）如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 （3）若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 三.同步检测 解答题（共5大题，每大题20分，共100分） 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程． （2）如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 4．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）综合与实践： 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.7 全等三角形经典几何模型——半角模型【模型梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本半角模型1——等腰三角形 1 2、基本半角模型2——等边三角形 2 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 2 4、基本半角模型4——正方形 2 二.题型精析 3 【题型1】半角一般模型 3 【题型2】45度半角模型 10 【题型3】60度半角模型 14 【题型4】45度与60度半角模型综合 19 三.同步检测 25 解答题（共5大题，每大题20分，共100分） 25 一.模型梳理 （一）定义： 半角模型是指：在一个已知角内部，构造一个大小为其一半的角，然后研究由此产生的几何关系。半角模型是初中几何中常见的一类重要模型，主要涉及在一个角内构造一个大小为其一半的角所产生的一系列几何性质和结论。 （二）常见的模型及证法 1、基本半角模型1——等腰三角形 条件 中，AB=AC，D、E是BC上一点，。 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可得出结论。 2、基本半角模型2——等边三角形 条件 是等边三角形，D是外一点，，DB=DC，点E、F分别在AB、AC上， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC延长线上取一点G，使CG=BE，证明即可得出结论。 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 条件 在中，AB=AC，D、E是BC上一点， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可 4、基本半角模型4——正方形 条件 在正方形中，E、F分别是BC、CD上一点，且 基本图形 结论 EF=BE+DF 证明思路 延长CD至G，使DG=BE，证明即可 二.题型精析 【题型1】半角一般模型 【例题1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接， …… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵绕点旋转至， ∴ ∴，，， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）①；②不变，2 【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论； （2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论； ②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8． 解：（1）略 （2）①如图2， 由题意： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ②的周长不随时间的变化而变化， 如图3，延长到，使，连接， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 在和 中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4 ∴的周长 ∴的周长是定值8． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 【变式】（25-26八年级下·河北保定·期末）综合与实践 【问题背景】 如图1，在中，，，点、是边上的两点（点在、之间）且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步探索】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接． 求证： （2）【探索延伸】 如图3，当时． ①若，求的长； ②若为直角三角形，则________； （3）【延伸拓展】 如图4，若，，线段（）．则的长为________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：由旋转得，， 又， ，即， 在和中， ， ， ． （2）①；②或 （3） 【分析】（1）由旋转得，．又，故．结合公共边，可证，得． （2）①由且得．由（1）全等得，，故．作，在中得，，由得，在中由勾股定理得． ②分两种情况讨论直角三角形．当时，由全等得，由旋转得，结合推出，得，故．当时，由全等得，且，故，在中，得． （3）由旋转得，故，，又，得．由（1）全等得．设，则，在中由勾股定理，解得． 解：（1）略 （2）解：①如图，作，垂足为， ， 为等腰三角形， ， 由（1）同理可得，， ，，， ，且， ， 在中， ， ， 又， 在中 ． ②如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， 由旋转得，， ， ，即， ， ； 如图，为直角三角形，当时， 由（1）同理可得，， ， ， ， ， 综上，或． （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由题意，，，， 为等腰直角三角形， ， 线段（）， 在线段上（不包括）， 由旋转可得，， ， 由（1）同理可得，， ，， 设，则， 在中，， 可得，即， 可得，解得， 的长为． 【题型2】45度半角模型 【例题2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【探究】如图1，正方形中，E，F分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，延长至点，使，连接．求证： （1）； （2）若，求正方形的边长； （3）连接分别交于点M，N，请直接写出的数量关系． 【拓展】（4）如图2，在四边形中，，，以为顶点的与边分别交于E、F两点且，求五边形的周长． 【答案】（1）证明：延长至点，使，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）6； （3）； （4） 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明，得到，设正方形的边长为，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）将绕点逆时针旋转90度得到，连接，推出，勾股定理得到，证明，得到，即可得出结论； （4）根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）； 故正方形的边长为6； （3）解：将绕点逆时针旋转90度得到，连接， ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，    ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ∴五边形的周长 ， ∴五边形的周长． 【变式】（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． （1）求证： ． （2）如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，， 在和中， ， ； （2）8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转得到，，，即可得到； （2）根据旋转得到，，，，即可得到，然后依据，代入数据解答即可． 解：（1）略． （2）解：由旋转的性质，可知：，，，， 点、、共线， ， 在和 中， ， ． ， ， ； ， 正方形的边长为4， ． 【题型3】60度半角模型 【例题3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明如下： 如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）略 【变式】（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 【答案】（1）①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． 解：（1）①略； ②解： 由①得， ， ， ； （2）略． 【题型4】45度与60度半角模型综合 【例题3】（25-26八年级下·甘肃天水·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系：________． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）解：，理由如下： 如图1，在上取，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得， ， ， ， 点E，D，C共线． ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据旋转得到，，，，可得，进一步证明可得到答案； （2）在上取，连接．首先由，得，，再证明，得，即可得到答案； （3）利用旋转的性质即可得到，，，可得，得，即可得到答案． （1）解：由旋转的性质，得，，，， ， 点，，共线． ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 【变式】（25-26八年级下·广东江门·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图2，已知，，则的长为______； （2）如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 （3）若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）；（2）结论成立，证明见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转得到，证明，设，可得，，结合勾股定理可得，再进一步求解即可． （2）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 解：（1）证明：∵四边形为正方形，，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设， ∴，， ∴， 解得：，即． （2）解：成立．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ． （3）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ． ， ． 三.同步检测 解答题（共5大题，每大题20分，共100分） 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程． （2）如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． （1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 3．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】[问题发现]（1）；（2）证明：由（1）得， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． [问题应用] 【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． ［问题发现］（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； ［问题应用］根据旋转的性质得到，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）略 [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 4．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）综合与实践： 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； （3）如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】（1）①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② （2）， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）40 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 解：（1）①略 ②解： 由①得， ， ， ； （2）略 （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4， ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 【答案】（1）；（2）解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴； （3） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． （1）解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点拨】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $