学易金卷：高二数学上学期第一次月考（广东专用，范围：人教A版选择性必修第一册：空间向量与立体几何+直线）

**基本信息** 聚焦立体几何与空间向量、直线知识，通过空间直角坐标系对称点等基础题与翻折几何体体积计算等综合题，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高二学段月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|直线平行与截距、圆柱线面角|第8题结合圆柱侧面积与母线，考查空间想象；第11题含距离最小值，渗透数学建模| |填空题|3题/15分|直线距离、正方体中线段最小值|第13题正方体动点最值问题，体现几何直观| |解答题|5题/77分|线线垂直证明、二面角余弦值、向量积新定义|16题四棱锥动态点探究，19题引入向量积定义，考查创新思维与逻辑推理|

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 B B D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 AD ABD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 14.7x+y-31=0 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 【详解】)设直线的倾斜角为&，则snc,则cosa=士 2分 3 直线的斜率k=tanx=± 4 3分 又直线在y轴上的截距是-5，由斜截式得直线方程为y=±x-5, 3 5分 即3x-4y-20=0或3x+4y+20=0.6分 (2)设直线1在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即1过点(0,0)和(3,2) 则1的方程为y=子，即2x-3y=0。 9分 若a≠0，设1的方程为芒+2=1.1过点P(3,2),:3+2-1.a=5, aa .l的方程为x+y-5=0.… …………….12分 综上可知，直线1的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.13分 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16. 【详解】(1) 因为PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PAL CD 1分 ,又：AC⊥CD,AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC, 所以CD⊥平面PAC… 3分 又因为AEC平面PAC,所以CD⊥AE 5分 (2)因为PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB,6分 如图，以A为原点，AB,AD,AP为七，八，2轴正方向，建立空间直角坐标系， 7分 D B ∠ABC=60°，PA=AB=BC=2N5,∠BAD=90°，∠ACD=90°， ∴AC=25,∠CAD=30°，DC=2,AD=4 所以A(00,0),P(0,0,25,B(25,0,0）,D(0,4,0),C(53,0, E是线段PC的中点，E23 所以A正= BE= BC=(5,30）,PB=(250,-23),…8分 AE·m=0 设平面ABE的法向量为m=(x,,)，则 BE.m=0 53 即 2￥+2+52=0 3V3.3 取=2，则=0，=-5， 2x+2y+52,=0 所以m=(0,2,-V3为平面ABE的一个法向量. 11分 2/7 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设平面PBC的法向量为万=(x,y,), PB.=0 2V3x2-23z2=0 即 ,取x2=V3,则y=1,2=3, BC·i=0 -V3x+3y,=0 所以=（N3,l,V3为平面PBC的一个法向量 .13分 所以cosm万= m方 0×v5+2x1+(⑤)xV5 1 m:同V0+4+3×3+1+3 7 所以平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为l5分 17. 【详解】(1)由顶点B的坐标为(-5，O),BC边的高线的斜率为3， 得直线BC方程为y=x+5),即x+3y+5=0, 2分 x+3y+5=0 而∠C的角平分线CD所在的直线方程为2x+y-5=0,由 2x+y-5=0' 解得 =3则C(4-3刃4分 x=4 设顶点B关于直线CD的对称点为B'(x,),显然B在直线AC上， -26=-1 则 七，+5 2.6-5+-5=0 ，解得67 得=6即7.6,6分 2 2 6+3=3, 直线4C的斜率kc=7-4 所以直线AC的方程为y+3=3(x-4),即3x-y-15=0. …8分 (2)由(1)知，直线4C:3x-y-15=0,由点A在一三象限角平分线上，得点45,15 2’2 ,10分 由直线1过点B,且点4、C到直线1的距离相等，得直线1过边4C的中点(，名 )或11/AC,.12分 4’4 3/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9 当直线过（宁》时，直线1的斜率为写 49 23=43,方程为y三3x+5),即9x-43y+45=0,13分 当直线1/1AC时，直线1的斜率为3，方程为y=3(x+5),即3x-y+15=0, 所以直线1的方程为9x-43y+45=0或3x-y+15=0 15分 18. 【详解】(1)设∠B'OB=,0<<元， 在半圆O中，直径AB=2,C为AB中点，则OC⊥AB,折后OC⊥OA,OC⊥OB, 由扇形BOC在翻折过程中形成的几何体B'BOC的体积为 6 得24x则义》所以LA0B所以0山03分 2π231 6 又OC∩OB=O,OC,OBC平面B'OC,因此OA⊥平面B'OC, 又BEC平面B'OC,所以OA1BE.5分 (2)由(1)得直线OA,OC,OB'两两垂直， 以O为坐标原点，直线OA,OC,OB分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 6分 D 则0(0,0,0)，A(1,0,0),C(0,1,0),B'(0,0,1), 由D=C正，令∠A0D=0∈02，只 D(cose,sine,0),E(0,cose,sine), OD=(cose,sine,0),E=(0,cose,sine), 8分 设平面ODE的一个法向量m=(x,,z), m.OD=xcos+ysin=0 则 取z=cos20,则x=sin0,y=-sin0cos0, m.OE=y cos0+zsin=0 所以得平面ODE的一个法向量m=(sin8,-sin6cos6,cosB, 11分 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 而平面OAB的一个法向量万=（(0,1,0)， 13分 sin0cosθ 因此cosm,= m.n msin'0+sin20cos20+cos0 sinθcos0 (sin0+cos2o) -sin2ecos20 1 2 -1 15分 Vsinθcosθ sin 20 由∈0 2 得28∈(0，元)，则0<sin28≤1， 所以当日=无时， Cosm列ax=? 所以平面OAB与平面ODE夹角余弦的最大值为 3 17分 19. 【详解】(1)因为底面ABCD为矩形，所以AD/BC,BC⊥DC, 又PD⊥底面ABCD,BCC底面ABCD, 所以PD L BC, 2分 又PDODC=D,PD,DCC平面PDC, 所以BC⊥平面PDC, 又PCC平面PDC,所以BC⊥PC, .4分 因为AD/IBC,所以∠PBC为直线AD与PB所成角，即AD,BP=∠PBC, 在直角△PBC中，AB=2,PC=2√5，PB=6 4 夕 所以sin∠PBC= PC 5 。，。。，。，，。。,。。，。。。，。,。,。,，。，，。，。。,。。，。。,。，，。，。,。,,，。，。,0 PB 3 ADxBPDBP-sin(AD.BP)=4x6x =85 7分 3 (2)因为PD⊥平面ABCD且ABCD为矩形， 5/7 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 P D 所以可如图建立空间直角坐标系， 则A(4,0,0),B(4,2,0),E(2,0,0),P(0,0,4), PE=(2,0,-4),PB=(4,2,-4),… 8分 设平面PBE的法向量m=(x,y,z), m.PE 2x-42=0 则 m.PB=4x+2y-4z=0 令z=1,得x=2,y=-2x=2,y=-2所以m=(2,-2,1), 10分 因为PD⊥平面ABE所以平面ABE的法向量可取n=(O,O,1), 11分 设二面角P-BE-A的平面角为B,则cos8= m例53' 所以sin20=1-cos20 8 所以sin0=2v2 3 所以二面角P-BE-A的正弦值为2 …13分 3 Z (3)依题意，(AD×BP)1AD,(AD×BP)⊥BP, 又ADx BP=EM, 所以EM⊥AD,EM⊥BP, 6/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设E(a,0,0)0≤a≤4)，PM=tPB(0≤t≤1)， 则M(4,21,4-40，所以EM=(4-a,2,4-40）,14分 EM.DA=4(4t-a）=0 由 EM.PB=4(4t-a)+4t-4(4-4)=0 得-，所以风=09，月 i=45 由(1)知ADx BP=85, , 又烟西厨4圆，所 =10 5 所以线段PB上存在点M,使得AD×BP=EM,此时2=10.17分 7/7■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 麻 4[A]B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 氧 12 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B B' E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 2．经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 3．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 4．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 5．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 6．已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 7．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 8．如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 10．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 【答案】ABD 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 11．已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ABD 【详解】A选项，点在直线，故， 故， 故当时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，设关于的对称点为， 则，解得， 所以，连接，与相交于点， 此时取得最小值，最小值为，B正确； C选项，， 又，故， 令得，即， 由于，方程无解，故不存在点，使得，C错误； D选项，由得， 平方化简得， 又，故， 即，，方程有解， 故存在点，使得，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【详解】直线可化为：，则. 13．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 取线段的中点， 设平面的一个法向量为，，， 则，取可得， 易得， ， 当平面时，取最小值，此时即为点到平面的距离， 且，故， 故. 故答案为：. 14．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 【答案】 【详解】 如图，角的平分线与交于点. 由题意得，，. 由角平分线定理得，， ∴, 设点坐标为，则， ∴， ∴， ∴直线方程为：，整理得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则， 2分 直线的斜率． 3分 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为， 5分 即或． 6分 （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 9分 若，设的方程为．过点，．， 的方程为． 12分 综上可知，直线的方程为或． 13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点． (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1） 因为底面平面， 所以 1分 ，又平面， 所以平面. 3分 又因为平面，所以. 5分 （2）因为底面平面，所以， 6分 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 7分 ∵，，，， ∴，，，. 所以，，，，， ∵是线段的中点，∴， 所以，，，， 8分 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 11分 设平面的法向量为, ，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 13分 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 15分 17．（15分）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. (1)求边所在的直线方程； (2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 【详解】（1）由顶点B的坐标为，BC边的高线的斜率为3， 得直线BC方程为，即， 2分 而的角平分线CD所在的直线方程为，由， 解得，则， 4分 设顶点B关于直线CD的对称点为，显然在直线AC上， 则，解得，即， 6分 直线的斜率， 所以直线AC的方程为，即. 8分 （2）由（1）知，直线，由点A在一三象限角平分线上，得点， 10分 由直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点或， 12分 当直线l过时，直线l的斜率为，方程为，即， 13分 当直线时，直线l的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 15分 18．（17分）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【详解】（1）设， 在半圆中，直径，为中点，则，折后，， 由扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为， 得，则，所以，所以， 3分 又，平面，因此平面， 又平面，所以. 5分 （2）由（1）得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 6分 则， 由，令，则，， 则，， 8分 设平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以得平面的一个法向量， 11分 而平面的一个法向量， 13分 因此 ， 15分 由，得，则， 所以当时，， 所以平面与平面夹角余弦的最大值为. 17分 19．（17分）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以， 2分 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 4分 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中， 所以， 6分 . 7分 （2）因为且为矩形， 所以可如图建立空间直角坐标系， 则， ， 8分 设平面的法向量， 则， 令，得   所以， 10分 因为  所以平面的法向量可取， 11分 设二面角的平面角为 ，则， 所以 ，     所以， 所以二面角的正弦值为． 13分 （3）依题意，，， 又， 所以，， 设，， 则 ， 所以， 14分 由， 得 ，  所以 ， ， 由（1）知， 16分 又因 ， 所以， 所以线段上存在点，使得，此时． 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册立体几何与空间向量+直线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 8．如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 10．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 11．已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线间的距离为__________. 13．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______． 14．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点． (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. (1)求边所在的直线方程； (2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 18．（17分）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 19．（17分）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册立体几何与空间向量+直线。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 8．如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 10．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 11．已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线间的距离为__________. 13．在正方体中，，为平面内一点，则的最小值是______． 14．的顶点坐标分别为，则角的平分线所在的直线方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点． (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）在中，顶点在一三象限的角平分线上，顶点的坐标为，的角平分线CD所在的直线方程为，边上的高线斜率为3. (1)求边所在的直线方程； (2)若直线l过点B，且点A、C到直线l的距离相等，求直线l的方程. 18．（17分）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 19．（17分）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $