安徽省六安市第二中学教育集团2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

班级 姓名 座位号」 (在此卷上答题无效) 六安二中教育集团2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 (考试时间：120分钟 满分：150分) 命题人：赵大伟 审题人：胡晓云 审核人：匡大章侯方宽 考生注意事项： 1.答题前.考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2.答第1卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后.再选涂其他答案标号。 3.答第川卷时.必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.要求字体工整、笔迹清晰。 必须在题号所指示的答题区域作答.超出答题区域书写的答案无效.在试题卷，.墓纸上答题无效。 4.考试结束，务必将答题卡上交，试卷自行保管。 第1卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求) 1.设z=(1+2i)i,则z=（) A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i 2.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关， 在下图两种分布形态中，a,b,c,d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是() a b A.a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B.a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C.a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D.a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 B 3.如图，△OAB是用斜二测画法画出的水平放置的aOAB的直 观图，若0A=√2，a0AB的面积为3，则OB=() A.6V2 B.12V2 C.6 D.12 4.设同=6，=8，ā在6上的投影向量为-6，则a与6的夹角为（) A君 B.于 c. D.6 ③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 5.“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个 上大下小的正四棱台.如图所示，在一个盛满米的“方斗”容 器中，AB=4、AR=2,若从中取出74kg米后，米的高度下降一 D- 半，则剩余的米的质量为() B A.38kg B.48kg C.57kg D.112kg 6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中错误的命 题是() A.在△ABC中，若sinM>sinB,则A>B B.若B=于b=2,=5,则aMBC有唯-解 C.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D.若(a+c-6)am8=5ac,则角8=号 7.甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为号与号，且每次射击命中与否互不影响。 两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续 射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（) A司 B.2 C.27 4 D. 8.在aMBC中，AB=2,AC=35,∠BAC=30°，若CP=P丽+P,若Cp.BC=-49 ,则才 的值为（) A.2或 B.5 C.1 D.2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设复数z的共轭复数为z,i为虚数单位，则下列命题正确的是（) A.复数z=3-4i的共轭复数的模=5 B.若复数(m2+3m-4)+(m-1)i是纯虚数，则得m=1或m=-4 C.若复数z=3-4i对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB,则向量B对应的复数 为-2+5i D.若复数z=3-41是关于x的方程x2+px+g=0(P,g∈R)的一个根，则p+g=19 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABGD中，下列选项正确的是() A.异面直线A,C,与B,C所成的角为90 D C B.三棱锥D-4CD的体积为后 C.直线BD,1平面AC,D D.二面角B,-CD-B的大小为30 D S扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 11.数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是： “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之， 为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即 现有△ABC满足sinA:snB:snC=万：l:3,且Sc=35 4 则() A.△ABC外接圆的半径为2 3 B.若∠A的平分线与BC交于点D,则AD的长为3N固 C.若D为BC的中点。则AD的长为 D.若O为△ABC的外心，则AO.(AB+AC)=5 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知非零向量OA,OB不共线，且3OP=xOA+yOB,若PA=AAB,A∈R则 x+y= 13.已知在三棱锥D-ABC中，AD1平面ABC且BC=AD=2,∠BMC=牙，则三棱锥 D-ABC的外接球的体积为」 14.如图，在山脚4测得出山顶P的仰角为α=30°，沿倾斜 角为B=15°的斜坡向上走a=200米到B,在B处测得山顶 Ch P的仰角为y=75°，则山高PQ为 四、解答题（本大题共5小题，共77分) 15.(本题13分)已知两个不共线的平面向量=2，=1，记m=2ā+k6,n=a-2b (1)若11m,求k的值， 2)若k=-1时，mn=5,求ā，6的夹角. 16.(本题15分)某高校承办了2026“长三角龙舟邀请赛”的志愿者选拔的面试工作， 现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,5S),第二组[55,65)， 第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知 第三、四、五组的频率之和为07，第一组和第五组的频率相同 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 频率/组距 (1)求a,b的值： 0.045---- (2)估计这100名候选者面试成绩的众数和60%分位数（分 位数精确到0.1)： (3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中0.020 抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选 求选出的两人来自不同组的概率。 0455565758595分数 17.(本题15分)D是R1△ABC斜边BC上一点，AB=AD,记∠CAD=0,∠ABC=B (1)求证：sina+cos2B=0; (2)若AC=V3DC,求B的值 18.(本题17分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PDI平面ABCD,M为棱BC 的中点，且PB⊥AM,PD=3,直线PM与平面ABCD所成的角为4S. (1)证明：AM⊥BD ②在楼PD上是否存在一点E,使得直线CE1平面PW?若存在，写出咒的值：若不 存在，请说明理由。 (3)求直线PB与平面PAM所成角的正切值. 19.(本题17分)已知△OAB中，0A=√2,0B=5,令OA=ā，0B=b,且ā.b=1.过 AB边上一点P(异于端点)作边OB的垂线P2,垂足为Q,再由2作边OA的垂线2，R, 垂足为R,又由R作边AB的垂线RB,垂足为P.设AP=,(6-a.（0<1n<1) (1)求AB的长度； ②)若4=阳=5，求入的值： 同者存在实数k,使得气十长为常数求的值，并写出该指数 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 六安二中教育集团2025-2026学年第二学期高一年级期期末考试 数学答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 难度 系数 0.95 0.85 0.85 0.82 0.65 0.65 0.65 0.4 0.72 0.65 0.4 答案 C D c A D B D ACD BC BD 4.【详解】向量ā在向量6上的投形向量为 其中8为ā与6的夹角，且8∈[0，元.因为ā在 a cose 3 6上的投形向量为- 36,所以 8 将问-6，月-8代人得g2:解得m9= 1 8=- 因为90利，且cs号 ,所以9=2 5.【详解】对于A,在△ABC中，由正弦定理知，sinA>sinB~a>b, 结合大边对大角可得A>B,故命题正确，A不符合题意： 对于B.因为8=号b=2,c=5, sin sinG.得如C-csng5xy9 由正弦定理6c 2-3<5 sin B' b242 由b>c知，C只有一解.所以△ABC有一个解，故命题正确，B不符合题意： 对于C,因为acosA=bcosB,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,则sin2A=sin2B, 因为AB∈(0，，可知2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B= 2' 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意： 对于D.因为(a2+c2-b)tanB=V3ac, 由余弦定理得：2 accosn=5ac,即sinB=5 因为B∈(0，x),所以B=或2”，故命题错误，D符合题意. 3 3 故选：D 6.【详解】 D D 假设从“方斗“中取出74kg米后，米的高度下降一半至平面4，BC,D处 由题意可知正四棱台ABCD-A,B,C,D和A,B,C,D-AB,C,D,的高相等，设为h. 答案第1页，共11页 S扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 因为AB=4,4B=2,所以AB,=3. 则yncn-4A=4+4x3+3)=32h. 3 3 19 a,Ga-4GA=写h3+3x2+2）=号h. 3 设剩余的米的质量为xkg 则 VAc=S业= 2h324 3 iB.C:D-48C 9219x·解得x=38 所以剩余的米的质量为38kg. 故选：A 7.【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击· 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击· 甲，乙两人每次射击命中目标的展率分别为子与号》 则甲、乙两人每次射击设有命中目标的概率分别为兮与号 计算第一种情况的概率： 根据独立事件概率的乘法公式。这种情况的概率为×××1=是 27 计算第二种情况的概率： 根据独立事件概率的乘法公式。这种情况的概率为×亏亏 112 2 5×2x1= 27 计算第三种情况的概率： 根据独立事件概率的乘法公式。这种情况的概率为×名××1= 2 333 27 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率： 将三种情况的概率相加得。前4次中甲恰好射击3次的概率为弓+多+名=。-2 727+27+27279 故选：B 8.【详解】法一、设D是BC的中点， 由于CP=PB+APA,所以AAP=PB+PC=2PD, 所以4RD三点共线.且而-示 D=+PD=P+AP=2+入P.且2+A0, 2 2 所而2而品B网西， 2+入 令12+入则=丽+C). 所以C乎.BC=(币-c)(Ac-B) -(B+AC-C)C-B=[B+(-1)AC(AC-AB 答案第2页，共11页 S扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP =-C+而4c-4@°=270-)+2x35x54x2-231-18=-49 2 解得1=分则=，， 解得入=2. 4 42+入 故选：D D 法二：坐标法（略） 9.ACD 【难度】0.72 【分析)】利用复数的基本概念、运算、几何意义及实系数一元二次方程的虚根性质，结合对应知识点逐一判断选项 即可 【详解】选项A:|z上V32+(-4)2=5,故zHz上5，A正确， 选项B:纯虚数要求实部为0且虚部不为0，令实部m2+3m-4=0,解得m=1或m=4, 当m=1时虚部m-1=0,复数为实数，不符合要求，仅m=-4成立，B错误： 选项C:向量AB=OB-OA.对应的复数为(1+)-(3-4)=-2+5i,C正确： 选项D:实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一根为3+4， 由韦达定理，两根和6=-p得p=-6,两根积(3-4i)(3+41)=25=9, 故p+9=-6+25=19,D正确. 10.BC 【难度】0.65 【分析】对于A,利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解：对于B,利用等体积法及 棱锥的体积公式即可求解：对于C,利用线面垂直的判定定理即可求解：对于D,根据已知条件及二面角的平面角 的定义，结合锐角三角函数即可求解 【详解】对于A.因为ABCD-AB,CD为正方体，所以AB∥CD,且AB=CD, 所以四边形AB,CD为平行四边形，所以AD1IB,C,且AD=B,C, 所以异面直线AC,与B,C所成的角的大小即为AC与A,D所成的角，故∠DAC或其补角为所求. 再由正方体ABCD-AB,CD,的性质可得DA,C,为等边三角形.故∠DAC=60°， 即异面直线A,C与B,C所成的角为60°，故A错误： 对于B.由题意可知，A-4o=4a-方4nD0=1XIx1-有放B正确 32 对于C,由正方体的性质可得，BB1平面AB,CD,ACc平面AB,C,D, 所以BB,⊥AC, 因为ABCD-AB,C,D,为正方体，所以四边形4B,C,D,为正方形，即B,D1AC, 又B,DnBB,=B,B,D,BBc平面B,D,B, 答案第3页，共11页 ③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以AC1平面B,D,B,又DBc平面B,D,B,所以AC1D,B, 同理可证DC,⊥D,B,又ACn DC=C,AC,DCC平面A,CD, 所以D,B⊥平面ACD,故C正确： 对于D,由正方体的性质可知，DC⊥平面BCCB,BCC平面BCC,B, 所以DC⊥B,C,因为ABCD-AB,CD,为正方体，所以四边形ABCD为正方形，即DC⊥BC, 所以∠BCB,是二面角B,-CD-B的平面角， 因为ABCD-AB,CD为正方体，所以四边形BCC,B,为正方形， 所以tan∠BCB=C=L,即∠BCB,=459 所以二面角B,-CD-B的大小为45°，故D错误. 故选：BC 11.BD 【难度】0.4 【分析】依题意由正弦定理可得a:b:c=√万：1：3，根据余弦定理和三角形面积公式可求得a,再由正弦定理可得A 错误：利用解法一：利用角平分线相关长度公式直接代人边长、夹角计算AD:解法二：几何作高法，过B、C作AD 垂线，用面积求AD:解法三：向量法，由角平分线定理得向量AD表达式，平方模长计算；解法四：余弦定理联 立，结合角平分线分对边比例。分别在两个小三角形列方程求D的长为35。即B正确：利用解法一：向量中 4 线公式D=(丽+C).平方计算模长：解法二：中线长公式0=25+2。-4直接代人解法三：在。4BD 4 中用余弦定理。结合©08求得1而，甲C错误利用解法一外接圆直径投影法.延长40为直径.利用 直径所对圆周角为直角，向量投影得结果为不即+c）-5:解法二：外心性质+中点法，取AB中点H,由 OH⊥AB得向量点积性质，分别计算AO·AB、AO·AC再相加，可得D正确， 【详解】由sinA:sinB:sinC=√7：1：3及正弦定理可得a:b:c=√万：l:3, 不妨设a=V万m,b=m,c=3m,利用余弦定理可得cosA=+c2-0_+9m2-7m2_1 2bc 2m3m2 由1eQ动，可得4：子所以血4： 2 又S.4ac=7 bcsinA= m35 3V5 4 .解得m=1,所以a=√万.b=1,c=3 对于A,设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得sinA√3 2R,所以R=,故A错误 3 2 对于B,解法一由8c=5o+8m得，0A0s咖g0如35， 62 641 即)b+c)AD-sin=D=3y 故B正确： 2 6 答案第4页，共11页 ③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 解法二：分圳作BB,CF垂直于AD,垂足分别为E,F,如图①所示， 6 6 图① -2D:h+c小sin刀D= 35 故B正确： 6 4 解法三：由内角平分线定理知， BDAB=3. CD AC 所以0-+c,则而（西+河名c+名石-名所职035.散B正确 4 8 16 16 4 解法四：由内角平分线定理知， 铝是线所以0识，0-平 CD AC 因为cos∠BDA+cos∠ADC=0, 所以4D'+BD3-c2+AD+CD2- -=0,即44D2+BD2+3CD2-3b2-c2=0. 2AD·BD 2AD.CD A0:=36+c2-8D3-3cD 所以 3×12+32 -3 4 4 27, 所以MAD=3 故B正确： 4 4 16 对于C.解法一：若D为BC的中点，易知AD=(4B+4C),如图②所示， 所以而-@c2西元片1+2计县，可得1 三，故C借误 2 图② 解法二：因为cos∠BDA+cos∠DC=0,Bp=DC=5 2 所以D'+B8D-c2+AD3+CD- -=0,即2AD2+BD2+CD2-b2-c2=0, 2AD·BD 2AD.CD 2 解法三：由余弦定理知，cos0=。+c2-6_人+3-5 2ac 2x√7x32万 在1D8中，AD=+9-2c号co8=片所以D=正，故c错误 4 2 对于D,解法一：延长AO交外接圆于点A,连接AB,AC,如图③所示， 答案第5页，共11页 ③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 0 图③ 易AA即为直径，所以可知AB1AB,AC1AC, 利用投形向量的几何意义可得： o:(西+C)杯西+瓜C)=@r+c）=9+刂=5，故D正确， 解法二：取AB的中点H,连接OH,OA,如图④所示， 图④ 则011，所以0丽=（丽+而列而=丽而=而，同理而c=c, 所以0师+)=0西+而花=而+兮花-+)=5，故D正确 12.3 【难度】0.75 【分析】根据向量共线及平面向量基本定理可得. 【详解】因为PA=入B,即OA-OP=A(OB-OA,则O丽=(1+入)OA-AOB, 即3OP=31+)OA-3AOB,又3OP=xOA+y0B,且非零向量OA,OB不共线， 所以由平面向量基本定理得 x=3+川.两式相加.得x+y=3. y=-3A 13.4w3元 【难度】0.65 【分析】作出图形，利用正弦定理求出底面外接球半径，结合线面垂直的性质和勾股定理即可求出外接球半径.最 后利用球的体积公式即可. 【详解】作出如下图形，其中O为外接球球心，O为底面中心 则AO,为底面外接圆的半径，取E为AD中点，连接OE, 在aMBC中，由BC=2,∠BMC=牙，得aMBC的外接圆的半径r=V反， 又AD1平面ABC,AOc平面ABC,所以AD1AO, ,00,11DA,所以00,1平面ABC,因为AOc平面ABC,所以00⊥AO. 答案第6页，共11页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 因为OD=OA,所以OE1AD,所以四边形AO,OE为矩形， 所以O0,=AE=7AD=l,设外接球半径为R, 所以由R=2+P=(V2+=3,得R2=3,所以R=5, 故三桉锥D-ABC的外接球的体积为4R=4V5π。 3 故答案为：4V5π D B 14.50V6 【难度】0.5 【详解】主要考查正弦定理的应用. 解：在△ABP中 ∠ABP=180'-y+B, ∠BPA=180-(a-B∠ABP =180'-(a-B)180'-y+B). =y-a 在△ABP中，根据正弦定理， AP AB sin∠4BP sin∠APB AP sin(180'-v+B)sin(r-a) AP=axsin(v-B) sin(v-a) 所以山高为h=APsin a= osin sin(-）=50N6 sin(v-a) 15.【难度】0.65 【详解】(1)因为ā，b不共线，所以万为非零向量，所以由m1m可得存在入，使得m=An, 即2ā+k6=a-2b), ∫2=入 所以k=-2以解得k=-2: (2)当k=-1时，m=2a-b,又n=a-2b 答案第7页，共11页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以m=(2a-6(6-26）=2’-5a6+252=10-5a-6, 又mn=5,所以10-5a,6=5,解得ab=1. 所烈雨a-片又0：a6听司-号 所以a.6的火角为骨 16.【难度】0.65 【详解】(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以(0.045+0.020+a)×10=0.7.解得a=0.005 所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即(a+b)×10=0.3,所以b=0.025. (2)根据频率直方图可如，众数为65+75=70： 2 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75. 所以60%分位数在第三组，且为65+06-03x10=717. 0.45 (3)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d,第五组志愿者人数为1，设为e, 这5人中选出2人，所有情况有 (a,b),(a,c,(a,d),(a,e,(b,c,(b,d),(b,e,(c,d).(c,e,(d,e,共有10种情况. 其巾选出的两人来自不同组的有(a,e),(b,e),(c,c),(d,e),共4种情况. 故选出的两人来自不同组的概率为4= 105 17.【难度】0.65 【详解】(I)由于AB=AD,可知∠B=∠ADB即B=DADB, ∠CAD+∠C=∠ADB=B,即a=B-∠C 又△MBC是直角三角形，所以日+2C=受、。=P-(（合-小20-月 2 放sna+cos20=snp-引cos20=-to2p+os20=0,正毕 AC CD 3DC DC (2)在△ACD中. sin∠ADCsinLCAD,即 sin(π-∠ADB)sina 又因为AB=AD,可知∠B=∠ADB即B=DADB 所以 √3DCDC 5 in(π-β)sino 化简可得V5sina=sinB,sina= -sinB, 3 由(1)可得.sina+cos2B=0, 所以 sing+co20ing+-2sin0. 3 3 解得sing=固 ,或sing=-5 3 放B= 3 答案第8页，共11页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.【难度】0.6 【详解】(I)由PD⊥平面ABCD,AMc平面ABCD,所以PD 1 AM, 又PB⊥AM,PDOPB=P,PD,PBc平面PBD, 所以AM1平面PBD,又BDc平面PBD, 所以AM⊥BD: (2)存在点E为PD中点时，CE∥平面PM,即PE=上 PD 2 证明如下 收PD的中点E,连接CE,取PA的中点为F,连接EF,FM, 所以F1AD,BF=4D.又点M为Bc中点，所以Mc1AD,MC=D, 所以MCIIEF,MC=EF,所以四边形EFMC为平行四边形， 所以MF/1CE,又MFc平面PM,CEa平面PM, 所以CE∥平面PAM: ·(3)连接DM,由PD⊥平面ABCD,所以∠PMD为直线PM与平面ABCD所成的角， 所以∠PMD=45°， C M B 在RI△PDM中，DM=PD=3」 所以co+ac=9.① 因为AM⊥BD,所以∠MMB=∠DBC,所以 BCCD②. CD BC 由①②得CD=V6.BC=2V5, 所以BD=3V2,PB=35, 设点B到平面PAM的距离为h, 在△PAM中，PA=VPD2+AD?=√2I,AM=3,PM=3V5, 所以cos∠PMM=PM+M2-PM2_21+9-18_2 2P1.AM 2×√21×321' 因为∠PAMe(0..所以sn∠PMM=V-22 4.357 所以SN= P4-AMsin∠PMM=xWix3x√37_3 2 21 2 =)1B-BM=5x6x5=35 S,4=21 2 2， 因为m=m.所以5×35x3=5x3万A,得h3函 32 32 17 答案第9页，共11页 S扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 334 设直线PB与半面PAM所成角为9，则sin9= 17 √102 PB 33 51 因为∈ 所以cos日 102 75 51 51 √102 所以tan8=sin&】 51 迈 cose 751 7 51 所以直线PB与平面PMM所成角的正切值为5 19.【难度】0.4 【详解】(0)设∠A0B=0,则a-6=cos9=反V5.cos8=1,得cos8= 6 所以AB=0F+082-2.0A08cos0=2+3-2反55=5. 6 ②)由已知丽=46-小丽，则仍=职= 设∠0BA=0,则c0s0=40+0B-01.3+3-2=2 2AB.OB 2×V3x√53 所以Bg,=BP·cosa= ,则有照=丽.得A=号 3 P2 R Ci B (3)由0B=AB=5可得∠0AB=∠40B=0,由()知cos0=5 AR=3,BR=V3-5, 0=引5-)og=6-42. 3 讽-59小票. 服=5-（号小-99。 语票。 又仍=.所以4=音. 答案第10页，共11页 S扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以5+达.员+-） 51 (+k +K 4+k 若为符数。则人=子9k,即k=日，此时该带数为-) 【点晴】关键点点晴： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出△AOB内角的余弦值，由AP=√31，在各直角三角形中利用△AOB的边 长和三角函数求出AP,找到(，与4的关系. 答案第11页，共11页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP