2.6.1 双曲线的标准方程 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦双曲线的定义与标准方程，通过回顾椭圆定义中“距离之和”，引导学生思考改为“距离之差的绝对值”的轨迹，搭建知识支架，自然衔接前后内容。 以问题链驱动探究，通过辨析定义中常数范围与绝对值深化理解，推导标准方程培养数学抽象与逻辑推理，例题分定义法、待定系数法梯度设计，助力学生掌握方法，为教师提供清晰教学流程，提升课堂效率。

2.6.1 双曲线的标准方程 教学设计-2026-2027学年 高二 数学 人教B版 选择性必修第一册 一、章节名称 章节名称 第二章 平面解析几何 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 课型 新授课 课标要求 通过具体实例，了解双曲线的定义与几何背景，经历双曲线标准方程的推导过程，掌握待定系数法求双曲线标准方程。 授课对象 高二学生 授课时长 1课时（45分钟） 教材版本 人教B版 选择性必修第一册 重点 双曲线的定义与标准方程。 难点 定义中绝对值与常数范围的理解、标准方程的推导。 学习目标 理解双曲线定义及焦点、焦距概念；掌握两种标准方程形式及 、、 的关系；能运用定义法和待定系数法求双曲线标准方程。 评价设计 课堂提问观察定义理解程度，随堂练习检验方程求解准确率。 教学方法 问题链引导与启发探究相结合，辅以例题示范与变式练习。 教具准备 多媒体课件、直尺 教学环节 导入、新授、巩固、小结、作业 板书设计 见第八栏 作业设计 课本课后习题，巩固双曲线标准方程求解。 教学反思 略 备注 严格依据教材口径，不随意扩展超纲内容。 二、课标要求 通过具体实例，结合 等已学函数图象，了解双曲线的几何背景与定义，经历从几何条件出发建立适当坐标系、推导双曲线标准方程的过程，掌握利用待定系数法和定义法求双曲线的标准方程。 三、重点 双曲线的定义与标准方程。 四、难点 定义中绝对值与常数范围的理解、标准方程的推导。 五、学习目标 理解双曲线的定义，明确焦点与焦距的含义；掌握焦点在 轴和 轴上的两种标准方程形式及 、、 满足的关系 ；能运用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程，提升数学抽象与逻辑推理素养。 六、评价设计 课堂提问重点观察学生对定义中绝对值和常数范围的理解程度，随堂练习检验学生运用待定系数法求标准方程的准确率，课后作业反馈知识落实情况。 七、教学过程 1. 新课导入 回顾椭圆定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹。教师提问：若将"距离之和"改为"距离之差的绝对值"，点的轨迹会是什么？ 预设学生回答：可能想到拉链演示或反比例函数 的图象两支。教师引导：当差值为常数且该常数小于两定点间距时，轨迹即为双曲线。 设计意图：通过类比椭圆定义，自然引出双曲线，激发探究兴趣，为新知学习搭建支架。 2. 新授探究 （1）双曲线的定义。平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹称为双曲线，这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点间的距离称为双曲线的焦距。 教师追问：定义中为何要求常数小于 且不等于零？若常数等于零或大于 会怎样？ 预设学生回答：常数等于零时轨迹为线段 的垂直平分线；常数大于或等于 时轨迹不存在。教师确认并强调：设 ，动点 满足 ，其中 。 设计意图：通过对特殊情形的辨析，深化对定义中常数范围的理解，突破难点。 （2）双曲线标准方程的推导。取焦点所在直线为 轴、线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系。设 、，动点 满足 。 教师引导化简：移项后平方，整理得 ，，代入差值条件并两次平方化简，令 ，得到 （，）。 教师说明：此方程称为焦点在 轴上的双曲线的标准方程，焦点为 、，满足 。若焦点在 轴上，标准方程为 （，）。 设计意图：经历坐标法推导过程，体会化简技巧与 的引入，掌握两种标准方程形式。 3. 典型例题 例1 已知双曲线的两个焦点为 、，双曲线上一点 满足 ，求双曲线的标准方程。 解析：由焦点坐标知 ，且焦点在 轴上。由 得 ，即 。由 得 ，故 。所以标准方程为 。 答案：。 例2 求中心在原点，焦点在 轴上，且过点 、 的双曲线的标准方程。 解析：设双曲线标准方程为 （，）。将点 代入得 ，将点 代入得 。设 ，，则方程组化为 ，。解得 ，，故 ，。所以标准方程为 。 答案：。 设计意图：例1巩固定义法，例2巩固待定系数法，体现从直接套用到综合运用的梯度。 4. 巩固练习 练习1 判断下列命题的真假：①平面内到两定点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线；②双曲线标准方程中 、、 满足 。 解析：①缺少"绝对值"且未限定常数范围，故为假；②符合教材口径，故为真。答案：①假；②真。 练习2 已知双曲线 上一点 到一个焦点的距离为 ，求 到另一个焦点的距离。 解析：由方程知 ，，故 ，，，。由定义 。设一焦距距离为 ，则 ，解得 或 （舍去）。答案：。 设计意图：通过辨析与计算，强化定义与方程中参数关系的理解，提升运算求解能力。 5. 课堂小结 教师引导学生回顾：双曲线定义的核心是距离之差的绝对值为常数 ，且 ；标准方程分焦点在 轴和 轴两种形式，均满足 ；求方程常用定义法和待定系数法。预设学生回答要点完整，教师补充完善。 设计意图：梳理本节知识脉络，形成系统认知，明确解题方法。 6. 布置作业 作业：课本课后习题，要求学生规范书写双曲线标准方程的推导过程，并完成利用待定系数法求方程的相关题目。 设计意图：巩固课堂所学，强化坐标法推导与方程求解的落实。 八、板书设计 1. 双曲线的定义：（），焦距为 。 2. 标准方程：焦点在 轴上为 ；焦点在 轴上为 ，其中 。 3. 例题与练习：例1定义法求方程；例2待定系数法求方程。 学科网（北京）股份有限公司 $