29.2.1 垂直于弦的直径 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“垂直于弦的直径”展开，核心内容包括圆的对称性、垂径定理及其推论。通过剪圆形纸片对折的动手操作导入，引导学生发现圆的轴对称性，再经逻辑证明过渡到垂径定理，进而探究推论形成知识递进的学习支架。 其亮点在于以动手操作培养几何直观（数学眼光），通过证明与推论探究发展推理意识（数学思维），结合赵州桥问题等实例渗透模型意识（数学语言）。分层练习与知识表格总结助力掌握，学生能提升问题解决能力，教师可高效开展教学。

第二十九章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.理解圆的对称性，掌握垂径定理及其推论. 2.能灵活运用垂径定理及其推论解决相关问题． 学习目标 BY YUSHEN 22051 ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 问题：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？ 你能证明上面的结论吗？ O 新知探究 BY YUSHEN 22051 如图，设AB是⊙O的任意一条直径， 如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点， M′是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′=OM， 因此点M′在⊙O上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 新知探究 BY YUSHEN 22051 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． O 圆有无数条对称轴. 温馨提示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴. 归纳 BY YUSHEN 22051 5 把圆沿着直径AB对折时，点M与点M'重合，MN与M'N重合，，分别与，重合. 因此，MN=M'N，=，=. 因此，直径AB平分弦MM'，并且平分，. 思考：回顾刚才的证明过程，⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直线AB的对称点，把圆沿着直径AB对折，你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么? 新知探究 BY YUSHEN 22051 已知：A、B、C、D是⊙O上的点. 符号语言： ∵AB是直径，AB⊥CD于点E， ∴CE=DE，=，=. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 归纳 BY YUSHEN 22051 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明原因. A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 垂径定理成立的条件：一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 探究：如果把垂径定理的结论(③④⑤)与题设(①②)部分交换，命题是真命题吗？ 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 ① ② ③ ④ ⑤ AB是直径 AB⊥CD于点E CE=DE = = 和同伴交流，举例证明其中一种组合方法. 新知探究 BY YUSHEN 22051 证明：连接OC，OD，则OC=OD. ∵CE=DE， ∴OE⊥CD，即AB⊥CD， 由垂径定理得：=，=. 举例：已知：⊙O的弦AB，CD交于点E.AB是直径，CE=DE. 求证：AB⊥CD，=，= . 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 新知探究 BY YUSHEN 22051 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 可以去掉吗 不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直. 归纳 BY YUSHEN 22051 已知 结论 命题 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧 ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧 ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦 ①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 知二推三 归纳 BY YUSHEN 22051 如图，在 ⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD ⊥ AB，OE ⊥ AC，垂足分别为 D， E. 求证：四边形ADOE 是正方形. 证明：∵AB ⊥ AC，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC. ∴四边形 ADOE 是矩形. 又∵OD 垂直平分 AB，OE 垂直平分 AC， AB ＝ AC， ∴AE = AC = AB = AD， ∴四边形 ADOE 是正方形. 巩固练习 BY YUSHEN 22051 例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求 赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）. 分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题. 典型例题 BY YUSHEN 22051 解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径长为 R m. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知 AB=37，CD=7.23， 所以 AD= AB= ×37=18.5， OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径长约为27.3 m. 典型例题 BY YUSHEN 22051 弓形中重要线段数量关系 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： d+h=r 归纳 BY YUSHEN 22051 1. 如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，OB=CD=2，则OE长为（     ） A．1 B． C．2 D． B 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（　　）cm. A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 D 思路点拨： 上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻. 注意圆中的多种情况 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：连接OC. ∵EM经过圆心O，点M是弦CD的中点， ∴OM⊥CD，CM=2 m. 设OC=OE=r，则OM=EM−OE=6−r. 在Rt△OMC中，由勾股定理得： 22+(6−r)2=r2，解得r=. ∴⊙O的半径长为. 3. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分. 如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4 m，EM=6 m.求⊙O的半径长. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4. ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. M A O C D B N 解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD. 由垂径定理可得：BMAB12cm，DNCD5cm 又∵OBOD13cm 在Rt△OBM， Rt△ODN中， 由勾股定理得：OM5cm，ON12cm ∴AB和CD之间的距离MNOMON7cm 或MNOMON17cm M N O A C D B 分类讨论 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 内容 推论 垂径定理 以“垂径定理”为关键词，回顾本节课，说一说我们学习了哪些知识？ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 方法规律 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答. 课堂小结 BY YUSHEN 22051 $