2.3.4 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的五种位置关系及判定方法，通过展示日食过程、奥运五环图案创设情境，引导学生观察分类，结合圆的方程复习，搭建从几何直观到代数运算的学习支架。 此资料以现实情境激发兴趣，提升直观想象（数学眼光），例题变式通过方程转化、圆心距计算培养数学运算（数学思维），公共弦推导渗透数形结合，助力学生逻辑推理，为教师提供可操作案例，提升教学效率与学生素养。

教学设计-2026-2027学年 数学 人教B版 选择性必修第一册 2.3.4 圆与圆的位置关系 高二 教学目标 教学目标 目标内容 知识目标 理解圆与圆的五种位置关系，掌握用圆心距 与两圆半径 、 的关系判定两圆位置的方法。 能力目标 能通过联立两圆方程判断位置关系，会推导并运用两圆公共弦所在直线的方程解决相关问题。 素养目标 在探究位置关系与几何量对应的过程中，提升直观想象与数学运算素养，体会数形结合的思想方法。 教学重难点 教学重点：用圆心距与半径的关系判定两圆位置关系。 教学难点：公共弦问题与五种位置关系的完整讨论。 教学准备 教师准备多媒体课件与几何画板演示文件，学生复习圆的标准方程与一般方程相关知识，准备好直尺与圆规。 教学过程 （1）创设情境，探究发现 教师活动：教师利用多媒体展示日食形成过程与奥运五环图案，引导学生观察图形中圆与圆的相对位置关系，提问这些图形中两圆有几种不同的位置状态。 学生活动：学生观察图形并思考，根据两圆公共点的情况进行分类，预设学生回答有相离、相切、相交等状态，进而归纳出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。 教师活动：教师引导学生设圆 与圆 的半径分别为 、，圆心距 ，结合几何图形探究 与 、 之间的数量关系。提问当两圆外离时 与 的大小关系如何。 学生活动：学生结合图形分析，预设回答当两圆外离时没有公共点，此时 ；当两圆外切时只有一个公共点，此时 ；当两圆相交时有两个公共点，此时 ；当两圆内切时只有一个公共点，此时 ；当两圆内含时没有公共点，此时 。 （2）例题精讲，理解新知 例1：已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。 教师活动：教师引导学生将两圆方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径，再利用圆心距与半径的关系进行判断。提问圆 的圆心和半径是多少。 学生活动：学生化简方程，圆 标准方程为 ，圆心 ，半径 ；圆 标准方程为 ，圆心 ，半径 。计算圆心距 。 教师活动：教师追问如何比较 与 及 的大小。 学生活动：学生计算 ，。因为 ，，，所以 ，两圆相交。答案：两圆相交。 （3）变式思考，解决问题 例2：已知圆 ： 与圆 ：，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长。 教师活动：教师提示两圆相交时，两圆方程相减所得的二元一次方程即为两圆公共弦所在直线的方程，引导学生将两圆方程相减。提问相减后得到什么方程。 学生活动：学生将两圆方程相减，由 ，化简得 ，即 ，这就是两圆公共弦所在直线的方程。 教师活动：教师引导学生利用圆心到直线的距离与半径求公共弦长。提问圆 的圆心到直线 的距离是多少。 学生活动：学生计算圆 圆心 到直线 的距离 ，圆 半径 。由勾股定理得公共弦长为 。答案：公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 。 （4）延伸拓展，归纳小结 教师活动：教师引导学生回顾本课所学，提问判断两圆位置关系有哪些方法，两圆公共弦所在直线的方程如何求解。 学生活动：学生归纳判断两圆位置关系的方法有两种，一是利用圆心距 与两圆半径 、 的关系判断，二是联立两圆方程由方程组解的个数判断；两圆公共弦所在直线的方程由两圆方程相减所得。预设回答完毕后，教师补充强调当两圆相交时方程相减得到的才是公共弦方程，相离或相切时不适用。 教师活动：教师布置课后练习，已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系；若相交，求公共弦所在直线的方程。答案：圆 标准方程为 ，圆心 ，半径 ；圆 标准方程为 ，圆心 ，半径 。圆心距 ，，，因为 ，，所以 ，两圆外离。 学科网（北京）股份有限公司 $