7.2.2 单位圆与三角函数线-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

[例2][解析](1)',a为第二象限角..',sina0,cosa 0. .点P在第四象限,故选D. (2)①145是第二象限角。 ..sin145*0. {4 ..-210{--360{*+150{,.-210{是第二象限角. .cos(-210)0. '.sin145*cos(-210)<0. [例2] D 设的终边与单位圆相交于点P, '.sin30.cos4<0.tan50. ..sin3· cos4· tan50. [答案](1)D(2)略 5答 [触类旁通] 2.(1)Da的终边过点(cosa,sina),又sina<o且cosa 显然AT>MP>OM,所以b<a<c. 0.则a的终边所在象限为第四象限。 (2)ACD 因为a是第三象限角,所以sina0,cosa<0. tana0,所以sina十cosa<0.A正确; 所以tana-sina>o,B错误;所以cosa-tana o.C正 确;所以tanasinao,D正确. 7.2.2 单位圆与三角函数线 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学 问题1[提示](1)P(cosa,sina) [触类旁通] (2)根据三角函数的定义,用向量MP,OM,AT表示sina, 2.C 在单位圆中画出角的正弦线MP和余弦线OM,如 cosa,tana. 图所示,则OMMP 0. 问题2 [提示] 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正 值,反之,为负值. 问题3 [提示] 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示 三角函数值的正负. 结论形成 1..+-1 2.MO [基础自测] 1.(1)×(2)× (3)(4) 2.B 因为^{的终边落在y轴正半轴上,所以该角的正切线 不存在,故选B. 点P纵坐标为.所以在y轴上取点(o,),过这点作工 3.MBOAf 4.<作出角1孤度、丐孤度的正弦线,比较可得。 课堂案·互动探究 是角a的终边,因此角a的集合为 [例1] [解析] 如图所示。 {aa 2knπ+或=2k+}e z ,如图1. 7 A(1,0 A(1.0) 图1 图2 图3 其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都 是A7. [触类旁通] 1.解析 根据三角函数线的定义,可得MP,OM,AT分别为 OA与OB围成的区域(图2中阴影部分)即为角a的终边 的范围,故满足条件的角a的集合为 #{ 2-+<<2^x+2-6 2). 3.B 由sina-,(,)得 cosa 0)-2- 图2 图3 4.2v2 3 1.交单位圆于C.D两点,连接OC与 (3)作直线x=一 课堂案·互动探究 [例1一1] [解析](1)·'a为第二象限角, OD,则OC与OD围成的区域(图3中的阴影部分)即为角 a的终边的范围,故满足条件的角a的集合 为 { 2+2#<2+4#e{. 过} [母题变式]解析 如图所示,过点A (1,0)作单位圆O的切线,在切线上沿 -5.)2. 过 y轴正方向取一点T,使AT一 (2),:tana=- A) .cos{a 点O.T作直线,则当角a的终边落在 #_sin 1_年 n_11 阴影区域内(包含所作直线,不包含y [答案](1)D(2)士15 [例1一2] [解析] (1)因为tana-2, 由三角函数线可知,在[o”,360{)内,tana 所以2sing+3cos _ 2tana+3_2×2+3-7.故选D. sina-cos a tana-12-1 (2) . sina+3cos atan a+3-2.-. tan a- 3 2cosa-sina 2-tana 有k·180{}+30{}a b·180{}+90{},k 则cos a+sin acos acos a+sin acos a1+tan a6 [触类旁通] cosa十sina 1+tan5 3.解析 由三角品数线,可知sin吾-sin2-. [答案](1)D(2)A [触类旁通] #17_-1n)-)-<i#n0# 1.(1)B(-,o)-cos-. 如图所示,画出单位圆,阴影部分即为所求。 .sinr--1-cos-- . _# .tanrsinr-3. cosr 4 由sin a+cosa2,化得,得 sin a-3cos a. (2)解析 sina-cosa 所以tana-3. ①原式-33cos a+3cosa 9c9. 3X3cos a-cos a8cosa8 故8的取值集合是 [2kx-,2kx+)(2+2- 2k-+7(ez). ②原式-sin]g-2sin acos a1 _an-21an+1-3-2×3+1-1 sina十cosa 7.2.31 同角三角函数的基本关系式 13 3{十1 tana十1 10. 课前案·自主学习 [教材梳理] [例2] [解析] (1)原式 导学 -sin*a. sincos' .cosg2sin acos a cosv sina sina+cos'a+2sin?acos?a (2)1: sin acos a (sin:a+cos’a): sin acosa sin acos a" (3)是,利用三角函数定义证明(略). (2)证明 因为tana-2tan3十1, 结论形成 所以tana+1-2tan③+2, 1.R n+Ez ##一(_一1) cosa 2.士 1-cosa 1士2sinacosa 通分可得 2 [基础自测] coscos{B' 1.(1) (2)×(3)×(4)X 即cos{}B-2cosa,所以1-sin{-2(1-sina). 2.C 即sinj-2sina-1.第七章 三角函数○ [缜密思维提能区] 易错辨析 则cosa=-3a-3 息视对参数的分类讨论致误 -5a5 [典例]角a的终边过点P(一3a,4a),a≠0， [答案] 则cosa 汇纠错心得了 [错解] 因为x=-3a,y=4a, 在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边 所以r=√(-3a)2+(4a)2=5a, 上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分 于是c0sa=-30=-3 类讨论，以免丢解。 5a 5 课堂小结 [错因分析]错解中，误以为α>0，没有 知识落实 技法强化 对a的正负进行分类讨论，导致r求错，从 而结果错误。 (1)三角函数 (1)本节课应用了由特殊到一般、转 的定义及 [正解]由题意，可得 化与化归、分类讨论的思想方法。 求法. (2)三角函数值的大小只与角的大小 |OP|=√(-3a)2+(4a)2=5la,且a≠0. (2)三角函数 有关，与终边上的点无关；正切函数的 当a>0时，lOP|=5a, 值在各象限 内的符号。 定义域为{zx≠受十,Z 则cosa=二3a=-3 5a 温馨 当a<0时，|OP|=-5a, 提示 请完成[课后案】学业评价（三） 7.2.2 单位圆与三角函数线 学业标准 学科素养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个 1.通过三角函数线的学习，培养数学抽象等核心 角的正弦、余弦和正切.（难点） 素养 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2.通过三角函数线的应用，提升直观想象等核心 (重点) 素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 a的 教材梳理 终边 4(1,0 导学正弦线、余弦线与正切线 问题1在平面直角坐标系中，任意角a的终 边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x (1)试求P点的坐标. 轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交a的 终边或其反向延长线于点T,如图所示， 11 O数学·必修第三册（配RJB版） (2)能否用向量直观表示sina,cosa, 续表 tan a. 余弦线 称为角a的余弦线 设α的终边或其反向延长线与直线 正切线 x=1相交于点T,则AT称为角a的正 切线 问题2三角函数线的方向是如何规定的？ [点拨] (1)三角函数线的方向：正弦线由垂足指 向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原 点指向垂足，正切线由点(1,0)指向角α的终 问题3三角函数线的长度和方向各表示 边或其反向延长线与直线x=1的交点. 什么？ (2)三角函数线的正负：三条有向线段凡 与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反 向的，为负值 基础自测 ◎结论形成 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.单位圆 (1)正弦线MP也可写成PM () 在平面直角坐标系中，坐标满足 (2)三角函数线都只能取非负值.() 的点的集合称为单位圆。 (3)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成 2.三角函数线 一个点，正切线不存在 () 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函 (4)当角a的终边在x轴上时，正弦线、正 数线. 切线都变成点。 () 2.下列角的正切线不存在的是 a的 a的ty A.11x 终边 终边 10 B受 A(1.0) A(1.0) ct c 3.如图所示，210°角的正弦线为 ,余 图示 弦线为 ,正切线为 A(1,0 M A(1,0) 30 a的终边 a的终边 M O B 角a的终边与单位圆交于点P,过点 正弦线 P作PM垂直于x轴，称为角a 4.比较大小：sin1 sin (填“>”或 的正弦线 “<”) 12 第七章 三角函数O 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 作出三角函数线 题型二 利用三角函数线比较三角函数的 例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正 大小 切线， 例2(2024·山西大同高一期中)设a=sin 5π 12 -21g,319 5π b=cos2c=tan2,则 [自主解答] A.a<b<c B.a<c<6 C.b<c<a D.b<a<c [素养聚焦]在利用三角函数线比较大小的过程 中，体现了直观想象核心素养」 规律方法 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时， 般分三步：(1)角的位置要“对号入座”：(2)比较 三角函数线的长度：（③）确定三角函数线的正负。 规律方法 [触类旁通] 三角函数线的画法 2.若MP和OM分别是角 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边 的正弦线和余 与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得 弦线，则 () 到垂足，从而得正弦线和余弦线 A.MP<OM<0 B.OM>0>MP (2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂 C.MO<MP<0 D.MP>0>OM 线，交a的终边(a为第一或第四象限角)或a终边 题型三利用三角函数线求角的范围 的反向延长线（α为第二或第三象限角）于点T,即 一题多变 可得到正切线AT. 例3根据下列条件，求角α的取值集合： [触类旁通] 1,画出石的正弦线、余弦线和正切线，并求 )sna=(2)sin， 3cosa≤-2 [自主解答] 出相应的函数值， 13 O数学·必修第三册（配RJB版） [母题变式] [缜密思维提能区] 规范答题 (变条件)本例变为：若已知tan>号，如 三角函数线的应用 [典例] (13分)利用三角函数线证明Isin al十 何求角α的范围？ I cos a≥l. [规范解答] [失分警示] 证明 (1)当角α的终 漏掉角α的终 边在坐标轴上的情 边在x(或y)轴上时，正 况，扣6分.没有对 的终边位置分类讨 弦线（或余弦线）变成一 论而致误 个，点，而余弦线（或正弦线）的长度等于 (r=1),所以|sina+|cosa|=1. 规律方法 …(6分) 利用三角函数线求角的取值集合的方法 (2)当角a的终边落在四 利用三角函数线求角的取值集合，关键是恰 当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b,cosx≥a 个象限时，如图，利用三 (或sinx≤b,cosx≤a),只需作直线y=b,x=a 角形两边之和大于第三 与单位圆的交点，连接原点和交点即得角的终边 边，有|sina|+|cosa|= 所在的位置，此时根据方向即可确定相应的x的 |MP|+|OM>1. 范围；对于tanx≥c(或tanx≤c),则取点(l,c), 连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置， 综上，有|sina+|cos al≥1. 结合图象可得。 …（13分)》 [触类旁通] [纠错心得] 3.已知一名≤sn0<号，利用单位圆中的三 要证明一个问题是正确的，我们必须把它所包 含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况，整个证 角函数线，确定角0的范围 明过程就是不严密的， 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)用三角函数线研究三角函数实 (1)单位圆. 际上应用了数形结合的思想方法. (2)三角函数 (2)注意三角函数线是有方向的线 线及应用. 段，方向决定正负 温馨 提示 请完成[课后案1学业评价（四） 14