13.2.1三角形的边 分层训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以三角形三边关系为核心，分层设计夯实基础、能力提优、压轴拓展训练，系统构建从概念应用到综合推理的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |夯实基础|14题（如第2、5题）|第三边取值范围“两边差<第三边<两边和”；等腰三角形分类讨论|从基本关系推导到简单应用，建立概念与计算的联系| |能力提优|10题（如第17、23题）|多木棒组合枚举法；三角形内点线段和不等式证明|结合参数与几何图形，深化三边关系的逻辑推理| |压轴拓展|1题（第25题）|分段铁丝围三角形的分类讨论（最短边与最长边关系）|综合周长、整数解与三边关系，提升应用意识|

八年级数学 · 13.2.1 三角形的边 · 分层训练 三角形的边 分层训练 · A 夯实基础 第一部分（必做） 一、选择题（共 7 题） 1．如图，A、B、C三点不在同一直线上。从A到C有两条路线：路线①为A→B→C，路线②为A→C。若两条路线的长度分别为l₁、l₂，则（ ） A．l₁<l₂ B．l₁=l₂ C．l₁>l₂ D．无法确定 2．已有4 cm、7 cm两根木条，再选下列哪根可组成三角形（ ） A．2 cm B．3 cm C．11 cm D．9 cm 3．一个三角形的两边长分别为6 cm和11 cm，第三边长为x cm，则x的取值范围是（ ） A．x<5 B．5<x<17 C．6<x<11 D．x>17 4．从2 cm、5 cm、7 cm、8 cm这4根木棒中任取3根，能组成三角形的取法共有（ ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．一个等腰三角形已有两边长分别为3 cm和7 cm，则第三边长为（ ） A．3 cm B．4 cm C．7 cm D．10 cm 6．如图，四边形ABCD中连接AC。下列关系一定成立的是（ ） A．AB+BC+CD<AD B．AB+BC+CD=AD C．AB+BC+CD>AD D．无法确定 7．若a、b、c是△ABC的三边长，则|a+b-c|+|a-b-c|的值为（ ） A．2a B．2b C．2c D．0 二、填空题（共 4 题） 8．一个三角形的两边长分别为7 cm和12 cm，第三边长为x cm，则x的取值范围是________________。 9．△ABC的三边长分别为a、b、c，周长为29 cm，且a=2b，c=8 cm，则a=________cm，b=________cm。 10．一个三角形的三边长为三个连续的正整数，周长为18 cm，则三边长分别为________cm、________cm、________cm。 11．一个三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，第三边长x为正整数，且三角形的周长是5的倍数，则x可取________。 三、解答题（共 3 题） 12．制作一个三角形木框，其中两边长分别为8 cm、15 cm，第三边长为x cm，且x为正整数。 （1）仅根据三角形三边关系，求x的取值范围； （2）若木框周长不超过35 cm，写出x的所有可能值，并求共有多少种。 13． 一个三角形的三边长分别为(x+2) cm、(x+5) cm、(2x+1) cm。 （1）求x的取值范围； （2）若三角形的周长为26 cm，求x及三边长。 14．如图，△ABC的三边长分别为7 cm、10 cm、x cm，其中x为正整数。 （1）求x的取值范围； （2）若△ABC的周长为偶数，写出x的所有可能值； （3）在（2）的条件下，若△ABC还是等腰三角形，求x及三角形的周长。 B 能力提优 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．从3 cm、5 cm、7 cm、9 cm、11 cm这5根木棒中任选3根，能组成三角形的取法共有（ ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 16．长为(2x+1) cm、(x+4) cm、8 cm的三条线段能组成三角形，则x的取值范围是（ ） A．x>1 B．1<x<11 C．x<11 D．0<x<11 17．如图，点P在△ABC内，AB=12 cm，BC=10 cm，CA=8 cm，且PA+PB+PC=s cm，则（ ） A．s>30 B．s=15 C．s>15 D．s<15 18．若a、b、c是三角形的三边长，则(a-b)²与c²的大小关系为（ ） A．(a-b)²<c² B．(a-b)²=c² C．(a-b)²>c² D．无法确定 五、填空题（共 4 题） 19．一个等腰三角形的周长为23 cm，其中一边长为5 cm，则另外两边长分别为________cm、________cm。 20．若a、b、c是三角形的三边长，则|a+b-c|-|a-b+c|=________________。 21．三条线段长分别为3 cm、(2x-1) cm、(x+2) cm，其中x为正整数。若它们能组成三角形，则x可取________________。 22．△ABC的三边长为a、b、c，且a+b=12，b+c=15，c+a=17，则a=________，b=________，c=________。 六、解答题（共 2 题） 23．现有4根木条，长度分别为4 cm、6 cm、9 cm、11 cm。 （1）任取3根，写出所有能组成三角形的三边长； （2）若把11 cm的木条换成13 cm，其余不变，再写出所有能组成三角形的三边长。 24．如图，点P在△ABC内部。 （1）利用三角形三边关系证明：PA+PB+PC大于△ABC周长的一半； （2）若△ABC的周长为36 cm，写出PA+PB+PC满足的不等式。 C 压轴拓展 第三部分（选做·附加） 25．一根铁丝按整数厘米截成三段，围成一个三角形。设最短的一段长为x cm，最长的一段恰好是最短一段的2倍，剩下一段长为y cm。 （1）当铁丝总长为24 cm时，用含x的式子表示y，并根据“边长的大小关系”和“三角形三边关系”确定x的取值范围； （2）求此时三角形的三边长； （3）若铁丝总长改为30 cm，其他条件不变，求所有可能的三边长。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：A、B、C三点不共线，构成△ABC。由三角形任意两边之和大于第三边，AB+BC>AC，所以路线①的长度l₁大于路线②的长度l₂。 2．答案：D 解析：已有两边为4 cm、7 cm，第三边x必须满足|7-4|<x<7+4，即3<x<11。四个选项中只有9 cm满足条件。 3．答案：B 解析：第三边x满足|11-6|<x<11+6，所以5<x<17。注意两个端点都不能取到。 4．答案：B 解析：4种取法分别为2、5、7；2、5、8；2、7、8；5、7、8。比较较短两边之和与最长边：2+5=7，不能；2+5<8，不能；2+7>8，能；5+7>8，能。因此共有2种。 5．答案：C 解析：等腰三角形的第三边只能等于3 cm或7 cm。若第三边为3 cm，则3+3<7，不能组成三角形；若第三边为7 cm，则3+7>7，可以组成三角形。因此第三边为7 cm。 6．答案：C 解析：在△ABC中，AB+BC>AC；在△ACD中，AC+CD>AD。因此AB+BC+CD>AC+CD>AD，所以AB+BC+CD>AD。 7．答案：B 解析：因为a、b、c是三角形的三边，所以a+b-c>0，且a<b+c，即a-b-c<0。因此|a+b-c|=a+b-c，|a-b-c|=b+c-a，两式相加得2b。 8．答案：5<x<19 解析：由第三边取值范围“任意两边之差的绝对值<第三边<任意两边之和”，得|12-7|<x<12+7，即5<x<19。 9．答案：14；7 解析：由a=2b，c=8，且a+b+c=29，得2b+b+8=29，所以3b=21，b=7，a=14。检验：7+8=15>14，三边能够组成三角形。 10．答案：5；6；7 解析：设三个连续正整数为n-1、n、n+1，则(n-1)+n+(n+1)=18，得3n=18，所以n=6，三边为5、6、7；且5+6>7，符合三角形三边关系。 11．答案：5或10 解析：由|9-6|<x<9+6，得3<x<15，所以x为4～14的正整数。周长为15+x，要成为5的倍数，x必须是5的倍数，因此x=5或10。 12．答案：（1）7<x<23；（2）x=8、9、10、11、12，共5种。 解析：（1）由|15-8|<x<15+8，得7<x<23。 （2）由周长8+15+x≤35，得x≤12。结合x为正整数及7<x<23，可得x=8、9、10、11、12，共5种。 13．答案：（1）x>1；（2）x=，三边长分别为 cm、 cm、10 cm。 解析：（1）三边关系为：(x+2)+(x+5)>2x+1（恒成立）；(x+2)+(2x+1)>x+5，得x>1；(x+5)+(2x+1)>x+2，得x>-2。又三边为正，综合得x>1。 （2）周长为(x+2)+(x+5)+(2x+1)=4x+8。由4x+8=26，得x=。代入得三边为 cm、 cm、10 cm，其中，所以条件成立。 14．答案：（1）3<x<17；（2）x=5、7、9、11、13、15；（3）x=7，周长为24 cm。 解析：（1）由|10-7|<x<10+7，得3<x<17。 （2）x为正整数，所以x可取4～16。周长为17+x，要为偶数，则x必须为奇数，因此x=5、7、9、11、13、15。 （3）三边为7、10、x，等腰时x只能等于7或10；再结合（2）中x为奇数，只能取x=7，周长为7+10+7=24 cm。 第二部分（必做） 15．答案：C 解析：从5根木棒中任选3根共有10种。逐组检验后，可组成三角形的有：3、5、7；3、7、9；3、9、11；5、7、9；5、7、11；5、9、11；7、9、11，共7种。 16．答案：B 解析：三边均为正且满足三边关系。由(2x+1)+(x+4)>8，得x>1；由(2x+1)+8>x+4，得x>-5；由(x+4)+8>2x+1，得x<11。三边为正的条件在x>1时也满足，因此综合得1<x<11。 17．答案：C 解析：在△APB、△BPC、△CPA中分别有PA+PB>AB，PB+PC>BC，PC+PA>CA。三式相加得2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA=30，所以PA+PB+PC>15，即s>15。 18．答案：A 解析：三角形两边之差的绝对值小于第三边，所以|a-b|<c。两边都为非负数，平方后不等号方向不变，得到(a-b)²<c²。 19．答案：9；9 解析：若5 cm为底边，则两腰各为(23-5)÷2=9 cm，且5+9>9，成立；若5 cm为腰，则另一腰也为5 cm，底边为23-10=13 cm，而5+5<13，不能组成三角形。因此另外两边只能为9 cm、9 cm。 20．答案：2b-2c 解析：由三角形三边关系知a+b-c>0，a+c-b>0，所以|a+b-c|=a+b-c，|a-b+c|=a-b+c。因此原式=(a+b-c)-(a-b+c)=2b-2c。 21．答案：1、2、3、4、5 解析：由三边关系：3+(2x-1)>x+2，得x>0；3+(x+2)>2x-1，得x<6；(2x-1)+(x+2)>3，得x>。综合得。再结合x为正整数，得到x=1、2、3、4、5。 22．答案：7；5；10 解析：将三个等式相加，得2(a+b+c)=12+15+17=44，所以a+b+c=22。于是a=22-(b+c)=7，b=22-(c+a)=5，c=22-(a+b)=10。检验5+7>10，能组成三角形。 23．答案：（1）4、6、9；4、9、11；6、9、11。 （2）4、6、9；6、9、13。 解析：（1）四种组合中，4+6>9，4+6<11，4+9>11，6+9>11，所以除4、6、11外，其余三组均可。 （2）换成13 cm后，4+6<13，4+9=13，均不能组成三角形；4+6>9且6+9>13，所以可行的只有4、6、9和6、9、13。 24．答案：（1）；（2）PA+PB+PC>18 cm。 解析：（1）在△APB中，PA+PB>AB；在△BPC中，PB+PC>BC；在△CPA中，PC+PA>CA。三式相加，得2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA，两边同时除以2，得到。 （2）△ABC周长为36 cm，所以其周长的一半为18 cm，由（1）可得PA+PB+PC>18 cm。 第三部分（选做·附加） 25．答案：（1）y=24-3x，且；（2）5 cm、9 cm、10 cm；（3）6 cm、12 cm、12 cm或7 cm、9 cm、14 cm。 解析：（1）三段长度为x、y、2x，总长24 cm，所以y=24-3x。因为x为最短边、2x为最长边，有x≤y≤2x；又三边能组成三角形，关键条件为x+y>2x，即y>x。于是24-3x≤2x，得x≥；24-3x>x，得x<6。因此。 （2）x为整数，所以x=5，y=24-15=9，最长边2x=10，三边为5、9、10。 （3）总长改为30 cm时，y=30-3x。同理有30-3x≤2x和30-3x>x，得6≤x<。x为整数，所以x=6或7。当x=6时，y=12，三边为6、12、12；当x=7时，y=9，三边为7、9、14。两组都满足较短两边之和大于最长边。 学科网（北京）股份有限公司 $