专题14.1 全等三角形及其性质（培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦全等三角形及其性质核心知识点，从图形全等概念切入，系统梳理全等三角形定义、对应边与角相等及周长面积相等的性质，通过8类分层题型构建从概念辨析到性质应用的学习支架。 资料亮点在于题型归纳（例题配变式）与探究式学习设计，结合动态问题情境培养几何直观和推理意识。课中辅助教师精准教学，课后通过检测与复盘帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

简一数理 初中专题讲义 专题14.1 全等三角形及其性质 （新教材人教版） 2 4 6 7 9 11 13 17 19 24 34 定义 图示 1．定义： 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 完全重合时，互相重合的点为对应点； 互相重合的角为对应角； 互相重合的边为对应边． 2．性质： （1）全等三角形的对应边相等． 若，则，，． （2）全等三角形的对应角相等． 若，则，，． （3）全等三角形的周长相等，面积相等． 若，则，． 全等三角形及其性质 【题型 1 图形的全等】 【例 1】如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 【变式 1‑1】在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 【变式 1‑2】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【变式 1‑3】下列命题中，不是假命题的是（    ） A．同旁内角必定互补 B．两个锐角的和一定是钝角 C．对顶角的余角相等 D．各边分别相等的两个多边形一定全等 【答案】C 【分析】结合平行线性质、对顶角性质、余角定义、全等图形的定义逐一判断选项，找出真命题即不是假命题即可． 【详解】解：∵只有两直线平行时，同旁内角才互补， ∴A是假命题，不符合要求； ∵两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，例如 仍是锐角， ∴B是假命题，不符合要求； ∵对顶角相等，且等角的余角相等， ∴对顶角的余角相等，C是真命题，即不是假命题，符合要求； ∵各边分别相等的两个多边形，内角不一定对应相等，例如边长都为1的正方形和菱形不全等， ∴D是假命题，不符合要求． 【题型 2 图形全等相关概念辨析】 【例 2】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 【变式 2‑1】下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 【变式 2‑2】下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 【变式 2‑3】对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查全等图形的定义，需同时满足形状和大小相同，缺一不可． 全等图形必须形状和大小完全相同．分析各结论：①周长相等不一定形状相同；②面积相等不一定形状相同；③周长和面积都相等不一定形状相同；④形状相同且面积相等则大小相同，因此全等．只有④能保证全等． 【详解】解：∵全等图形要求形状和大小都相同； ①周长相等不一定形状相同（如正方形和圆周长相等但形状不同）， ∴①不能保证全等； ②面积相等不一定形状相同（如长方形和三角形面积相等但形状不同）， ∴②不能保证全等； ③周长和面积都相等不一定形状相同（如不同形状的多边形可能周长面积相等但形状不同）， ∴③不能保证全等； ④形状相同且面积相等，则大小相同， ∴④能保证全等； ∴只有1个结论能保证全等， 故选：A． 【题型 3 全等三角形的概念】 【例 3】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式 3‑1】下列各语句是真命题的是（   ） A．三个角对应相等的三角形全等 B．两点之间直线最短 C．三角形的内角和小于 D．三角形的两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，三角形三边关系，全等三角形的判定，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形三边关系，全等三角形的判定，三角形内角和一一判断即可． 【详解】解：A、三个角对应相等的三角形，形状相同，但大小不一定相同，所以不一定全等，所以原语句是假命题，本选项不符合题意； B、两点之间线段最短，而不是直线最短，所以原语句是假命题，本选项不符合题意； C、三角形的内角和等于，不是小于，所以原语句是假命题，应该是等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，本选项不符合题意； D、三角形任何两边的和大于第三边，是三角形三边关系的基本定理，所以原语句是真命题，本选项符合题意． 故选：D． 【变式 3‑2】下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 【变式 3‑3】下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定，三角形的面积，垂线以及对顶角、余角．难度不大，掌握相关的定义及性质即可作出正确的判断根据余角定义、全等三角形判定、对顶角性质及垂线性质逐一分析选项． 【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确． B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误． C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误． D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误． 故选：A． 【题型 4 全等三角形的性质（求线段）】 【例 4】如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式 4‑1】如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系求出的长，即可得出的长，即可求解． 【详解】解：， ，， 点，，在同一条直线上， ， ， ， ， 故选：B． 【变式 4‑2】如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解：，， ∴，， 则． 【变式 4‑3】如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 【题型 5 全等三角形的性质（求角度）】 【例 5】如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 【变式 5‑1】如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据全等三角形的对应角相等得到的度数，再根据三角形的内角和定理求解的度数即可． 【详解】，， ， ， ． 【变式 5‑2】如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角的性质得，利用三角形内角和定理及对顶角的性质得，利用全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式 5‑3】如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等的性质得，再根据三角形的外角的定义和性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型 6 找准全等三角形的对应顶点、对应边、对应角】 【例 6】如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ． 【变式 6‑1】若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论： 情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去； 情况2：若为底，则两腰长相等， ∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系， ∵， ∴的边长与对应相等， ∴必有一条边等于或， 综上，必有一条边等于或，没有一条边等于， 故选项A符合题意． 【变式 6‑2】如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式 6‑3】如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】因为已知，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以首先确定与所求线段相关的对应边关系．观察图形可知点E在上，所以，因此需要先求出的长度。根据全等三角形对应边相等的性质，找到的对应边，代入数值计算即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ 【题型 7 利用全等三角形性质进行简单推理证明】 【例 7】如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【答案】B 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 【变式 7‑1】如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 【变式 7‑2】如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 【变式 7‑3】如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴，选项C错误，符合题意， 故选：C. 【题型 8 全等三角形性质的综合应用（线段、角度结合）】 【例 8】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 分两种情况根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， 当与全等时，或， 当时，，但此时； 当时，，即点的坐标为； 故选：D． 【变式 8‑1】一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，解决此类边长对应问题时，需先确定明确的对应边，再对剩余边进行分类讨论． 由于两个三角形全等，且第二个三角形中有一条边为3，因此这条边必须与第一个三角形中的边3对应，剩余两边对应第一个三角形中的5和7，有两种对应情况，分别解方程组求和，再计算． 【详解】解：两个三角形全等，且第二个三角形有一边为3， 此边必与第一个三角形的边3对应， 情况一：且， 相加得， ，代入得， ； 情况二：且， 相加得， ，代入得， ； 或． 故选：． 【变式 8‑2】在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标与平面直角坐标系，先通过，结合点的坐标为，可得，即可作答． 【详解】解：∵，点的坐标是 ∴ ∴ ∴ 故选：C 【变式 8‑3】如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，则的面积为（　　） A．24 B．26 C．32 D．48 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，由可得，进而可得，最后根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【探究式学习】 1．综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 2．如下图，已知，，点C在AD上，DE与BC交于点F． (1)【探究】已知，求和的度数． (2)线段AE，CD与BC之间有什么数量关系？请说明理由． (3)【运用】若，，则____________． 【答案】（1），； （2）解：．理由如下： ， ，． ， ． （3）2 【分析】（1）根据直角三角形中两个锐角互余可得的度数，再根据全等三角形的性质和邻补角的性质可得答案； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后根据线段的和差关系可得答案． （3）根据（2）中的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ． ， ， ， ． （2）略 （3）解：由（2）可知， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答． 3．把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据折叠，得到，得到，利用平角的定义和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 【课后检测】 1．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】C 【分析】根据平移前后的两个图形是全等图形，进而得到，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴, ，， ∴， ∵将沿射线方向平移得到，平移距离为2， ∴，， ， ， ∴， ∴． 2．如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和可得，最后根据三角形外角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 4．如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 5．如图，已知，D，A，E，B四点在一条直线上，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】因为，所以根据全等三角形对应边相等的性质，可得．进而得到．由，即可得到的长度． 【详解】∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵四点共线，，， ∴． 6．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 7．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 8．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 9．下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆是全等图形；④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三条高的交点．其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相关定义定理和圆的性质根据三角形相关定义定理和圆的性质，逐一判断四个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解： ① ∵三角形内角和为， 若三个内角都小于，则内角和小于，与三角形内角和定理矛盾， ∴三角形中至少有一个内角不小于， 故①说法是正确； ②根据三角形重心的定义，三角形的重心就是三角形三条中线的交点， 故②说法是正确； ③∵圆的周长，周长相等则半径相等，半径相等的圆能完全重合， 周长相等的两个圆是全等图形， 故③说法是正确； ④到三角形三条边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是三条高的交点， 故④说法是错误； 综上，正确说法共个， 10．如图，已知的延长线交于点F，且经过点E，若，，则的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据邻补角定义求得的度数，再根据全等三角形的性质求解的度数，然后根据三角形外角的性质可得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 12．如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 13．如图，，，，则______________． 【答案】20 【分析】先由三角形内角和为求解，再由，可得，由此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 14．已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 15．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 16．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)平行，理由如下： ， ， ． (2) 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． 17．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 【复盘笔记】 第 2 页 共 33 页 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题14.1 全等三角形及其性质 （新教材人教版） 3 3 4 4 5 6 7 8 9 11 15 1．定义： 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 完全重合时，互相重合的点为对应点； 互相重合的角为对应角； 互相重合的边为对应边． 2．性质： （1）全等三角形的对应边相等． 若，则，，． （2）全等三角形的对应角相等． 若，则，，． （3）全等三角形的周长相等，面积相等． 若，则，． 全等三角形及其性质 【题型 1 图形的全等】 【例 1】如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式 1‑1】在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【变式 1‑2】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式 1‑3】下列命题中，不是假命题的是（    ） A．同旁内角必定互补 B．两个锐角的和一定是钝角 C．对顶角的余角相等 D．各边分别相等的两个多边形一定全等 【题型 2 图形全等相关概念辨析】 【例 2】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【变式 2‑1】下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【变式 2‑2】下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【变式 2‑3】对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型 3 全等三角形的概念】 【例 3】如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式 3‑1】下列各语句是真命题的是（   ） A．三个角对应相等的三角形全等 B．两点之间直线最短 C．三角形的内角和小于 D．三角形的两边之和大于第三边 【变式 3‑2】下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【变式 3‑3】下列说法正确的是(   ) A．若，则与互余 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．相等的角是对顶角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【题型 4 全等三角形的性质（求线段）】 【例 4】如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式 4‑1】如图，，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式 4‑2】如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式 4‑3】如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【题型 5 全等三角形的性质（求角度）】 【例 5】如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑1】如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑2】如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式 5‑3】如图，已知，点E在上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型 6 找准全等三角形的对应顶点、对应边、对应角】 【例 6】如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式 6‑1】若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【变式 6‑2】如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式 6‑3】如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【题型 7 利用全等三角形性质进行简单推理证明】 【例 7】如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【变式 7‑1】如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式 7‑2】如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【变式 7‑3】如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型 8 全等三角形性质的综合应用（线段、角度结合）】 【例 8】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与全等时，点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【变式 8‑1】一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为，若这两个三角形全等，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【变式 8‑2】在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式 8‑3】如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，则的面积为（　　） A．24 B．26 C．32 D．48 【探究式学习】 1．综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 2．如下图，已知，，点C在AD上，DE与BC交于点F． (1)【探究】已知，求和的度数． (2)线段AE，CD与BC之间有什么数量关系？请说明理由． (3)【运用】若，，则____________． 3．把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【课后检测】 1．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 2．如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，已知，D，A，E，B四点在一条直线上，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 6．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 8．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 9．下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆是全等图形；④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三条高的交点．其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知的延长线交于点F，且经过点E，若，，则的角度为（    ） A． B． C． D． 11．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 12．如图，，点在线段上，，，则________． 13．如图，，，，则______________． 14．已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 15．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 16．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 17．如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 33 页 第 1 页 共 33 页 学科网（北京）股份有限公司 $