1.2活动思考 提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 该同步练习分A卷（基础过关）、B卷（强化提优）两层，以规律探究为核心，通过基础巩固与综合拓展的梯度设计，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识，适配新授课后分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷·基础过关|数字规律（等差、周期）、日历基本规律、简单图形操作|选择填空为主，如日历竖列数字和、图形循环第n项，强化“观察-猜想-验证”基础流程| |B卷·强化提优|复杂规律（斐波那契数列、立体图形涂色）、跨情境应用（路径计数、活动优化）|探究性解答题，如长方体涂色分类、规律归纳证明，发展空间观念与逻辑推理|

数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第一章数学与我们同行第二节活动思考》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.能够从生活情境、图形排列、数字序列中剥离出数学规律，用简洁的文字或符号描述变化模式，建立初步的规律模型意识。 2.通过观察、对比、猜想、验证的完整过程，发现数字、图形、操作问题中的内在联系，学会由特例归纳一般结论，发展合情推理能力。 3.借助图形、表格、实物变化进行观察分析，借助直观素材发现变化特征，建立图形变化与数量变化之间的对应关系。 4.会运用观察思考得到的规律解决简单实际探究问题，感受数学来源于生活，养成主动观察、主动思考的数学学习习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.通过观察一组数字、一组图形，自主发现变化规律，准确用文字描述规律。 2.能够根据已经找到的规律，推出后续第n个对应的结果。 （二）难点 1.区分图形变化中数量变化与位置变化，避免规律判断错误。 2.从多个特殊例子归纳通用的代数式表达，建立 “ 特例 → 猜想 → 验证 ” 的探究思维。 3.面对操作类、循环类问题，准确识别周期规律，利用周期快速求解目标项。 )三．知识精析 ( （一）观察思考类问题的基本探究步骤 先仔细观察给出的几组例子，对比前后数据或者图形的差异；接着大胆猜想变化存在什么规律；再代入已知数据检验猜想是否成立；规律验证正确之后，利用规律求解未知项。完整流程：观察对比 → 提出猜想 → 举例验证 → 应用规律。 【日历中的数字规律】（必考） 观察 下 图中的月历，回答问题: (1)月历中蓝色方框内的4个数之间有什么关系? 如果将方框移动，框住另外4个数，这4个数也有这样的关系吗? (2)月历中黄色方框内有9个数，你能发现其中的数量关系吗? (3)小明一家在这个月的某天出发外出旅游5天，这5天的日期之和是25，最后一天是几号? 【归纳】 （1）横向相邻两个数：右边数 = 左边数 + 1； ) ( （2）纵向相邻两个数：下方数 = 上方数 + 7（一周7天）； （3）2 × 2方框四个数：对角两数之和相等； （4）3 × 3九个数：九个数的和 = 正中间数字 × 9。 （二）数字规律探究 1.两类核心数列规律 （1）等差递增数列（常考） 特点：相邻两个数的差固定不变。 寻找方法：用后一个数减去前一个数，算出固定差值。 通用规律：第n项 = 首项 +(n-1) × 公差。 例（2025 · 常州武进区期末 · 等差数列）观察数列：2，5，8，11， …… (1) 相邻两数的差是多少？ (2) 写出第10项的数字。 （2）周期循环数列 特点：一组数字不断重复出现。 解题步骤： ① 找出重复的一组（循环周期）； ② 用总数 ÷ 周期，算出商和余数； ③ 余数为0，取周期最后一个数；余数不为0，取周期内第余数个数字。 例（2026 · 连云港海州区一模 · 循环数列）有一串数字：1，3，1，3，1，3 …… 不断重复。 (1) 这个数列的循环周期是几？ (2) 求第27个数字是多少？ 2.其他常见数字规律 （1）平方数列：1,4,9,16 …… 第n项为n 2 ； （2）偶数数列：2,4,6,8 …… 第n项为2n； （3）奇数数列：1,3,5,7 …… 第n项为2n-1。 解题通用步骤 ① 先算出相邻数字的差，判断是等差还是循环； ② 写出前4项验证猜想； ③ 归纳出第n项的表达式； ④ 代入序号求值。 （三） 图形规律探究 【 折纸与剪拼 】 （1） 把一张长方形纸片按 如 图所示的方式操作，可以得到什么图形? 说说你的理由. （2） 如何把一张长方形纸片剪成两个面积相等的图形? 剪成三个、四个呢? ) ( （3） 长方形的四个内角都等于90 ° ，其内角和为360 ° . 根据 如 图的思路，你能得到一般四边形的内角和吗? （四） 调查设计： 1. 了解在进行生产、生活和科学研究等活动时，调查收集数据的多种方法，如开调查会、个别访谈、现场查访、统计调查、问卷调查等，并知道问卷调查的优势。 2.学校要组建若干个体育活动社团，应开设哪些社团呢?设计了一下调查表对各班同学进行调查。 （五） 核心数学思想：从特殊到一般 通过有限个具体例子，总结出适用于全部情况的一般性结论，这是初中数学最重要的探究思想，也是观察思考这一节课的核心价值。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城亭湖区期末）在日历竖列中圈出相邻3个数，这三个数的和不可能是（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 51 2.（2025·苏州吴江区期末）数列：2，5，8，11，……，第10项数字是（ ） A. 26 B. 29 C. 32 D. 35 3.（2026·南通通州区二模）图形循环：△□☆△□☆……，第23个图形是（ ） A.△ B.□ C.☆ D.无法确定 4.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹(　　) A．60件 B．66件 C．68件 D．72件 5.一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折，这样连续沿中间对折3次，用剪刀沿3次对折后的绳子的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成( ) A．7段 B．8段 C．9段 D．10段 6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( ) A．13=3+10 B．25=9+16 C．36=15+21 D．49=18+31． 7．观察下面图形找规律。 正方形的个数 1 2 3 4 5 直角三角形的个数 0 4 8 按照上面的画法，如果要得到100个直角三角形，需要画（  ）个正方形。 A．24 B．26 C．28 D．29 8.将一张正方形纸片按如图①、②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④展开后是(　　) 9.请观察图，研究格子中图形之间的关系，想一想“？”所在的格子中应出现的图形是(　　) 　　　　 10.如图所示，两个天平都平衡，则3个球的质量等于(　　)个正方体的质量． A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5　 二．填空题（共30分） 11.（2026·连云港海州区一模）观察数列：1，4，9，16，……，第6个数是____。 12.（2026·宿迁宿城区三模）在日历3×3方框里，九个数的和为90，则正中间的数字为____。 13．如图，观察月历，2023年的国庆节是星期 　　． 14.（2025·苏州张家港市期末）2×2日历方框，右下角数字是17，则左上角数字=____。 15.（2026·连云港赣榆区二模）搭正方形：1个正方形4根火柴，2个相连正方形7根，4个相连正方形需要____根火柴。 16.（2025·宿迁沭阳县期末）循环数字：1，3，1，3……，第28个数字=____。 17.图中三角形的个数是_________. 18.已知世运会、亚运会、奥运会分别于2009年、2010年、2012年举办过.若这三项运动会均每四年举办一次,则这三项运动会均不举办的年份是　(　　) 19.某月中有三个星期一的日期都是偶数，则该月的18日一定是________. 20．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是__________。 三．解答题（共60分） 21．小华每天起床后要做的事情有穿衣（4分钟）、整理床（3分钟）、洗脸梳头（5分钟）、上厕所（5分钟）、烧饭（20分钟）、吃早饭（12分钟），完成这些工作共需 49分钟，你认为最合理安排应是多少分钟？ 22．用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼，煎熟一块需要2分钟（正反两面各需要1分钟），煎3块饼至少需要几分钟？怎样煎？ 23.你玩过火柴吗?如图,用火柴棒搭正方形,所搭正方形个数n与火柴棒根数s之间有一定的关系: 将下面表格补充完整并解答后面的问题: 正方形个数n 1 2 3 4 5 6 … n 火柴棒根数s 求搭10个正方形,需要多少根火柴棒? 24. 把同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放. (1)第5个图形需 颗黑色棋子. (2)照这样的规律摆下去，第n个图形需 颗黑色棋子. (3)照这样的规律摆下去，第 个图形恰好用了96颗黑色棋子. 25．同学们站队，可以采用下面的方式进行记录。例如： 有25名同学站队，每4人站成一排，剩余1名同学，可以记录为：    有75名同学站队，每8人站成一排，剩余3名同学，可以记录为：    有128名同学站队，每16人站成一排，没有剩余的同学，可以记录为：    (1)如果有35名同学站队，每8人站成一排，可以记录为：35→8＝( )。（不用写竖式） (2)现有A名同学站队，如果A→5＝0，那么A的个位数字是( )或( )。 (3)现有17名同学站队，如果17→B＝3，那么B可能是( )。（写出所有情况） (4)无论有多少名同学站队（多于10人），每m人站成一排，剩余人数一定是总人数的个位数字，那么m＝( )。 26.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、21、34…计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋…这样的算式有简便方法。我们也可以用以下方法探索，以这组数中各个数作为正方形的边长，再拼成如下图的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形         算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 (1)观察上面的图形和算式，你能填写下面的算式吗？ 12＋12＝1×2    12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5   12＋12＋22＋32＋52＝( )×( )   12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝( )×( ) (2)序号为⑥的算式结果是( )。 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,从甲地到乙地有2条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,那么从甲地到丙地可走的路共有(　　) 　　　　 A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 8条 2.把一张长方形纸片按如图①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖一个三角形小孔,则重新展开后得到的图形是 (　　) 3.（2025·徐州邳州市期末）数列1，5，9，13……，第8项是（ ） A. 25 B. 29 C. 33 D. 37 4.（2026·苏州昆山市一模）图形循环：■□▲■□▲……，第18个图形是（ ） A.■ B.□ C.▲ 5．小强拿了一张正方形的纸如图①，沿虚线对折一次得图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角，打开这张纸后的形状应是(　　) 　　　 　 6. 公园内有一长方形步道,其地面由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成,如图所示为此步道的地砖排列方式.若其中正方形地砖连续排列且总共有40块,则步道上的三角形地砖总共使用了(　　) A. 84块 B. 86块 C. 160块 D. 162块 7. 如图,小正方形是按一定规律摆放的,下列四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是(　　) 8．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 9．如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（　　） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 10.观察图中各正方形四个顶点所标的数字,可知数1005应标在(　　) A.第252个正方形的左上角 B.第252个正方形的右下角 C.第251个正方形的左上角 D.第251个正方形的右下角 二．填空题（共30分） 11.（2025·无锡江阴市期末）日历3×3方框，九数之和为108，中间数字=____。 12.（2026·宿迁泗阳县一模）数列1，2，4，7，11……，相邻两项的差依次多1，第6个 ________。 13.如图,两个正方形(空白部分)的面积分别是4和1,则两个小长方形(阴影部分)的面积和是　　　　.  14.（2026·常州金坛区二模）循环数字：2，5，2，5……，第35个数字=____。 15.如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只电子跳蚤从标有数“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2 028次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数是________. 16.如图是老年活动中心门口放着的一个招牌,这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的.每个骰子的六个面的点数分别是1到6,其中可以看见7个面,其余11个面是看不见的,则看不见的面上的点数总和是________. 17. 如图,每个图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,若图形中m=11,n=12,则M的值为　　　　.  18. 现有一批如图所示的长方形地砖,如果要铺成正方形的地面,那么至少要用　　　　块这种地砖.  19．用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案需要的黑色五角星的个数是________. 20．我国民间通常用12种动物（十二生肖）来表示不同的年份．它们排列顺序如下： 2026年是马年，那么2049年是 　　年． 三．解答题（共60分） 21. 如图,将两块形状、大小一样的三角尺拼成一个四边形,你能拼出多少种形状不同的四边形?画出你所拼出的四边形的示意图. 22．阅读下面的材料： 1×2＝×(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝×(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝×(3×4×5－2×3×4)， 以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下列各题： (1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)； (2)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9(写出过程)． 23．观察如图所示的图形，回答下列问题： (1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第 三层有5个点，第四层有________个点； (2)如果继续画下去，那么第五层有多少个点？第n层呢？(n为正整数) (3)某一层上有77个点，你知道这是第几层吗？ (4)第一层与第二层点数的和是多少？前三层点数的和是多少？前四层呢？ 你发现什么规律(用含n的式子表示)？根据你的推测，求前十二层点数的和． 24．若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 25．生活与数学． (1)甲同学在月历上圈出2×2个数(如图①)，正方形框内的四个数的和是32，那么第一个数是多少？ (2)乙同学在月历上圈出2×2个数(如图②)，平行四边形框内的四个数的和是42，求这四个数． (3)丙同学在月历上圈出5个数，呈十字形框(如图③)，它们的和是50，则中间的数是多少？ (4)某月有5个星期日，它们的日期和是75，则这个月中最后一个星期日是几号？ (5)若干个偶数按每行8个数排列，如图④． ①正方形框内的9个数的和与中间的数有什么关系？ ②丁同学所画的平行四边形框内9个数的和为360，则平行四边形框内中间的数是多少？ ③戊同学也画了一个平行四边形框，平行四边形框内9个数的和为630，则平行四边形框内中间的数是多少？ 26．阅读与解答。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共 块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共 块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共 块。 检验：总块数= ，各类块数之和= 。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。 ②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。 ④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 块。 ②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。 ④没有涂色的小正方体共 块。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第一章数学与我们同行第二节活动思考》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.能够从生活情境、图形排列、数字序列中剥离出数学规律，用简洁的文字或符号描述变化模式，建立初步的规律模型意识。 2.通过观察、对比、猜想、验证的完整过程，发现数字、图形、操作问题中的内在联系，学会由特例归纳一般结论，发展合情推理能力。 3.借助图形、表格、实物变化进行观察分析，借助直观素材发现变化特征，建立图形变化与数量变化之间的对应关系。 4.会运用观察思考得到的规律解决简单实际探究问题，感受数学来源于生活，养成主动观察、主动思考的数学学习习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.通过观察一组数字、一组图形，自主发现变化规律，准确用文字描述规律。 2.能够根据已经找到的规律，推出后续第n个对应的结果。 （二）难点 1.区分图形变化中数量变化与位置变化，避免规律判断错误。 2.从多个特殊例子归纳通用的代数式表达，建立 “ 特例 → 猜想 → 验证 ” 的探究思维。 3.面对操作类、循环类问题，准确识别周期规律，利用周期快速求解目标项。 )三．知识精析 ( （一）观察思考类问题的基本探究步骤 先仔细观察给出的几组例子，对比前后数据或者图形的差异；接着大胆猜想变化存在什么规律；再代入已知数据检验猜想是否成立；规律验证正确之后，利用规律求解未知项。完整流程：观察对比 → 提出猜想 → 举例验证 → 应用规律。 【日历中的数字规律】（必考） 观察 下 图中的月历，回答问题: (1)月历中蓝色方框内的4个数之间有什么关系? 如果将方框移动，框住另外4个数，这4个数也有这样的关系吗? 【解析】 蓝色方框内的4个数，同一行(横着看)上的2个数相差1；同一列(竖着看)上的2个数相差7；斜对着的2个数之和相等.如果将方框移动，框住的4个数也具有相同的数量关系. (2)月历中黄色方框内有9个数，你能发现其中的数量关系吗? 【解析】黄色方框内的9个数，同一行上的3个数依次大1；同一列上的3个数依次大7；斜对着的3个数之和相等. (3)小明一家在这个月的某天出发外出旅游5天，这5天的日期之和是25，最后一天是几号? 【解析】因为3+4+5+6+7=25，所以小明一家是3号到7号这5天外出旅游，所以最后一天是7号. 【归纳】 （1）横向相邻两个数：右边数 = 左边数 + 1； ) ( （2）纵向相邻两个数：下方数 = 上方数 + 7（一周7天）； （3）2 × 2方框四个数：对角两数之和相等； （4）3 × 3九个数：九个数的和 = 正中间数字 × 9。 （二）数字规律探究 1.两类核心数列规律 （1）等差递增数列（常考） 特点：相邻两个数的差固定不变。 寻找方法：用后一个数减去前一个数，算出固定差值。 通用规律：第n项 = 首项 +(n-1) × 公差。 例（2025 · 常州武进区期末 · 等差数列）观察数列：2，5，8，11， …… (1) 相邻两数的差是多少？ (2) 写出第10项的数字。 【答案】：(1) 3；(2) 29 【解析】(1) 5-2=3，8-5=3，11-8=3，固定差值为3。 (2) 首项为2，公差为3。第n项：2+3(n-1)=3n-1当n=10时，3 × 10-1=29。 （2）周期循环数列 特点：一组数字不断重复出现。 解题步骤： ① 找出重复的一组（循环周期）； ② 用总数 ÷ 周期，算出商和余数； ③ 余数为0，取周期最后一个数；余数不为0，取周期内第余数个数字。 例（2026 · 连云港海州区一模 · 循环数列）有一串数字：1，3，1，3，1，3 …… 不断重复。 (1) 这个数列的循环周期是几？ (2) 求第27个数字是多少？ 【答案】：(1) 2；(2) 1 【解析】(1) 重复的一组是 “ 1，3 ” ，周期为2。 (2) 计算：27 ÷ 2=13 组 …… 余数1。余数是1，对应周期里第1个数字，也就是1。 2.其他常见数字规律 （1）平方数列：1,4,9,16 …… 第n项为n 2 ； （2）偶数数列：2,4,6,8 …… 第n项为2n； （3）奇数数列：1,3,5,7 …… 第n项为2n-1。 解题通用步骤 ① 先算出相邻数字的差，判断是等差还是循环； ② 写出前4项验证猜想； ③ 归纳出第n项的表达式； ④ 代入序号求值。 （三） 图形规律探究 【 折纸与剪拼 】 （1） 把一张长方形纸片按 如 图所示的方式操作，可以得到什么图形? 说说你的理由. 【解析】 得到了一个正方形理由如下：对折后的四边形的四个角都是直角四条边都相等. （2） 如何把一张长方形纸片剪成两个面积相等的图形? 剪成三个、四个呢? 【解析】 把一张长方形纸片剪成两个面积相等的图形： ) ( 把一张长方形纸片剪成三个面积相等的图形： 把一张长方形纸片剪成四个面积相等的图形： （3） 长方形的四个内角都等于90 ° ，其内角和为360 ° . 根据 如 图的思路，你能得到一般四边形的内角和吗? 【解析】能，一般四边形的内角和为360 ° （四） 调查设计： 1. 了解在进行生产、生活和科学研究等活动时，调查收集数据的多种方法，如开调查会、个别访谈、现场查访、统计调查、问卷调查等，并知道问卷调查的优势。 【解析】 ① 常见调查收集数据方法介绍 a.开调查会：召集相关人员集中在一起，以会议形式进行交流，获取信息。这种方法的优点是可以让众人相互启发、讨论，能在较短时间内收集到多方面的意见和信息 。但可能存在个别发言影响他人观点，导致信息不够独立客观的问题。 b.个别访谈：调查者与被调查者一对一进行交流。其优势在于可以深入了解被调查者的想法，建立良好沟通氛围，被调查者可能更愿意分享私密或复杂的信息。不过，访谈效率相对较低，且对调查者的沟通能力要求较高。 c.现场查访：调查者到事件发生或研究对象所处的现场进行实地查看、了解情况。能获取第一手的直观资料，保证信息的真实性和准确性。但可能受现场环境限制，难以全面了解所有相关信息。 d.统计调查：通过对已有统计资料的收集、整理和分析来获取数据。优点是数据来源广泛、成本相对较低，能快速获取大量宏观数据。然而，统计资料可能存在时效性差、数据准确性难以保证等问题。 e.问卷调查：以书面形式，通过设计好的问卷向被调查者收集信息。 ② 问卷调查的优势 a.高效性：可以同时向众多被调查者发放问卷，能够在较短时间内收集到大量的数据，大大提高了数据收集的效率。比如要了解一个学校几千名学生对某项校园活动的看法，发放问卷是一种快速有效的方式。 b.客观性：被调查者主要以匿名形式填写问卷，减少了面对面交流可能产生的心理压力和主观干扰，使得被调查者更愿意真实地表达自己的想法和观点，从而保证了数据的客观性 。 c.标准化：问卷中的问题和答案一般都是经过精心设计和标准化处理的，所有被调查者面对的是相同的问题和答题方式，这样收集到的数据格式统一，便于后续进行整理、统计和分析。例如在统计选择题答案时，可以很方便地进行数量统计和比例计算。 d.便于实施：不需要调查者与被调查者进行复杂的沟通，只要将问卷发放到合适的对象手中即可，对调查者的专业技能和沟通能力要求相对较低 ，在各种场景下都比较容易开展。 ) ( 2.学校要组建若干个体育活动社团，应开设哪些社团呢?设计了一下调查表对各班同学进行调查。 【解析】 （五） 核心数学思想：从特殊到一般 通过有限个具体例子，总结出适用于全部情况的一般性结论，这是初中数学最重要的探究思想，也是观察思考这一节课的核心价值。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城亭湖区期末）在日历竖列中圈出相邻3个数，这三个数的和不可能是（ ） A. 24 B. 36 C. 40 D. 51 【答案】：C 【解析】：设中间数为x，三个数为x-7、x、x+7，和为3x，和一定是3的倍数。40不能被3整除，因此不可能。 2.（2025·苏州吴江区期末）数列：2，5，8，11，……，第10项数字是（ ） A. 26 B. 29 C. 32 D. 35 【答案】：B 【解析】：公差为3，通项公式：3n-1；当n=10时，3×10-1=29。 3.（2026·南通通州区二模）图形循环：△□☆△□☆……，第23个图形是（ ） A.△ B.□ C.☆ D.无法确定 【答案】：B 【解析】：周期为3，23÷3=7组余2，第2个图形为正方形□。 4.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹(　　) A．60件 B．66件 C．68件 D．72件 【答案】B 【解析】设快递员有 x 名，10x+6=12x-6，12=2x，x=6，包裹数量：10×6+6=66。 5.一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折，这样连续沿中间对折3次，用剪刀沿3次对折后的绳子的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成( ) A．7段 B．8段 C．9段 D．10段 【答案】C 【解析】对折次数与段数规律：对折 n 次，剪断后段数=2n+1，对折3次：23+1=8+1=9 段 6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( ) A．13=3+10 B．25=9+16 C．36=15+21 D．49=18+31． 【答案】C 【解析】正方形数：完全平方数 1,4,9,16,25,36,49…，三角形数：1,3,6,10,15,21,28…， 大于1的正方形数 = 两个相邻三角形数相加，A：13不是平方数， B：9、16都不是三角形数， C：36=15+21，15和21是相邻三角形数，D：18、31不是三角形数。 7．观察下面图形找规律。 正方形的个数 1 2 3 4 5 直角三角形的个数 0 4 8 按照上面的画法，如果要得到100个直角三角形，需要画（  ）个正方形。 A．24 B．26 C．28 D．29 【答案】B 【解析】找规律：1个正方形，直角三角形0=4×（1-1）个，2个正方形，直角三角形0=4×（2-1）个，3个正方形，直角三角形0=4×（3-1）个，4个正方形，直角三角形0=4×（4-1）个，4×（n-1）=100→n=26.. 8.将一张正方形纸片按如图①、②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④展开后是(　　) 【答案】B　 【解析】本题可运用操作法，通过实际操作得出答案． 9.请观察图，研究格子中图形之间的关系，想一想“？”所在的格子中应出现的图形是(　　) 　　　　 【答案】A　 【解析】根据题图中第一行的四边形和第二行的圆的放置方式以及第三行前两格的三角形的放置方式知，“？”处应出现的图形是A选项中的图形． 10.如图所示，两个天平都平衡，则3个球的质量等于(　　)个正方体的质量． A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 【答案】D　 【解析】从题图中可以看出2个球的质量等于5个圆柱的质量，这样每个圆柱的质量等于个球的质量；2个正方体的质量等于3个圆柱的质量，这样每个圆柱的质量等于个正方体的质量，因此个球的质量等于个正方体的质量，故3个球的质量等于5个正方体的质量．　　 二．填空题（共30分） 11.（2026·连云港海州区一模）观察数列：1，4，9，16，……，第6个数是____。 【答案】：36 【解析】：规律为项数的平方，第n项=n2，第6项=62=36。 12.（2026·宿迁宿城区三模）在日历3×3方框里，九个数的和为90，则正中间的数字为____。 【答案】：10 【解析】：九数之和=中间数×9，中间数=90÷9=10。 13．如图，观察月历，2023年的国庆节是星期 　　． 【答案】日 【解析】：由题意知，2023年六月的月历知7月1日为星期六，到国庆节还有93天，∵93÷7＝13……2，∴2023年国庆节是星期日，故答案为：日． 14.（2025·苏州张家港市期末）2×2日历方框，右下角数字是17，则左上角数字=____。 【答案】：9 【解析】：对角数字相等，左上+右下=右上+左下；右下−8=左上，17-8=9。 15.（2026·连云港赣榆区二模）搭正方形：1个正方形4根火柴，2个相连正方形7根，4个相连正方形需要____根火柴。 【答案】：13 【解析】：通项3n+1，n=4时，3×4+1=13。 16.（2025·宿迁沭阳县期末）循环数字：1，3，1，3……，第28个数字=____。 【答案】：3 【解析】：周期为2，偶数项都是3。 17.图中三角形的个数是________. 【答案】44 【解析】本题采用分类讨论思想来解．把题图中最小的三角形视为基础三角形，分类如下：含1个基础三角形的三角形共有16个；含2个基础三角形的三角形共有16个；含4个基础三角形的三角形共有8个；含8个基础三角形的三角形共有4个，故三角形的个数是16＋16＋8＋4＝44。 18.已知世运会、亚运会、奥运会分别于2009年、2010年、2012年举办过.若这三项运动会均每四年举办一次,则这三项运动会均不举办的年份是　(　　) 【答案】2071 【解析】由于这三项运动会均每四年举办一次,所以只要每个选项与2009,2010,2012的差有一个是4的倍数,则能在这一年举办此项运动会,否则这三项运动会均不在这一年举办.因为选项B中,2071-2009=62,2071-2010=61, 2071-2012=59,均不是4的倍数,所以这三项运动会均不在2071年举办. 19.某月中有三个星期一的日期都是偶数，则该月的18日一定是________. 【答案】星期三 【解析】：∵某月中有三个星期一的日期都是偶数，∴知此月一定有5个星期一，∴第一个星期一和最后一个星期一相差28天，又∵星期一的日期都是偶数，∴第一个星期一是2号，最后一个星期一是30号，∴可推知，该月的18日一定是星期三． 20．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是__________。 【答案】599 【解析】循环规律：A→B→C→D→C→B，6个字母为1个周期，一个周期内字母依次：1:A，2:B，3:C，4:D，5:C，6:B，每个周期里，C出现2次（第3位、第5位）；计算需要多少组周期：C一共要出现 200 次，200÷2 = 100个完整周期，每个周期6个数：第1个C：每个周期第3个位置，第2个C：每个周期第5个位置，每完成1组周期，C完成2次；第100组周期里的第二个C就是C第200次出现。一组周期第二个C对应的位置是该周期的第5个数。前99个完整周期的总数字：99×6=594，再往后数5个：594+5=599。 三．解答题（共60分） 21．小华每天起床后要做的事情有穿衣（4分钟）、整理床（3分钟）、洗脸梳头（5分钟）、上厕所（5分钟）、烧饭（20分钟）、吃早饭（12分钟），完成这些工作共需 49分钟，你认为最合理安排应是多少分钟？ 解：主要是烧饭的时间可以干很多事，穿衣4分钟然后开始烧饭20分钟，然后再花12分钟吃饭，在烧饭的20分钟内，可以整理床（3分钟），洗脸梳头（5分钟），上厕所（5分钟）， 总共用时36分． 22．用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼，煎熟一块需要2分钟（正反两面各需要1分钟），煎3块饼至少需要几分钟？怎样煎？ 解：∵若先把两只饼煎至熟，势必在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费， ∴应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，∴共需3分钟． 23.你玩过火柴吗?如图,用火柴棒搭正方形,所搭正方形个数n与火柴棒根数s之间有一定的关系: 将下面表格补充完整并解答后面的问题: 正方形个数n 1 2 3 4 5 6 … n 火柴棒根数s 求搭10个正方形,需要多少根火柴棒? 【答案】4；7；10；13；16；19； 31 【解析】前三个空可通过直接数得出n=1时,s=4;n=2时,s=7;n=3时,s=10.比较4,7,10,可看出后一个数比前一个数大3,故n=4时,s=13;n=5时,s=16;n=6时,s=19.观察填入的数据可看出正方形个数×3+1即为火柴棒根数,故当正方形个数为n时,s=3n+1,所以n=10时,s=3×10+1=31.答:需要31根火柴棒. 24. 把同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放. (1)第5个图形需 颗黑色棋子. (2)照这样的规律摆下去，第n个图形需 颗黑色棋子. (3)照这样的规律摆下去，第 个图形恰好用了96颗黑色棋子. 【答案】（1）18 （2）3n+3 （3）31 【解析】：由所给图形可知，第1个图形需要黑色棋子的颗数为6=2×3，第2个图形需要黑色棋子的颗数为9=3×3，第3个图形需要黑色棋子的颗数为12=4×3，……，∴第n个图形需要黑色棋子的颗数为3(n+1)=3n+3.当n=5时,3n+3=3×5+3=18,即第5个图形需 18颗黑色棋子. (2)(3n+3)解析:由(1)知,第n个图形需要黑色棋子(3n+3)颗. (3)31解析:令3n+3=96,解得n=31,即第31个图形恰好用了96 颗黑色棋子. 25．同学们站队，可以采用下面的方式进行记录。例如： 有25名同学站队，每4人站成一排，剩余1名同学，可以记录为：    有75名同学站队，每8人站成一排，剩余3名同学，可以记录为：    有128名同学站队，每16人站成一排，没有剩余的同学，可以记录为：    (1)如果有35名同学站队，每8人站成一排，可以记录为：35→8＝( )。（不用写竖式） (2)现有A名同学站队，如果A→5＝0，那么A的个位数字是( )或( )。 (3)现有17名同学站队，如果17→B＝3，那么B可能是( )。（写出所有情况） (4)无论有多少名同学站队（多于10人），每m人站成一排，剩余人数一定是总人数的个位数字，那么m＝( )。 【答案】(1) 3 (2)0，5 (3) 7，14 (4)10。 【解析】总人数→每排人数 = 余数（站队剩下的人数，余数＜除数） (1) 35→8：35÷8=4…3，35→8=3，答案：3； (2) A→5=0，意思：A÷5没有余数，A是5的倍数。5的倍数个位是 0 或 5。答案：0；5（顺序可互换） (3) 17→B=3： 17÷B 余数为3，17-3=14，B是14的因数，且除数＞余数，也就是 B>3 14 的因数：1,2,7,14，满足 B>3：7、14。答案：7、14 (4) 除以 m，余数永远等于这个数的个位数字，一个数除以10，余数恰好就是它的个位数字。所以 m=10。答案：10 26.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、21、34…计算12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋…这样的算式有简便方法。我们也可以用以下方法探索，以这组数中各个数作为正方形的边长，再拼成如下图的长方形来研究。 序号 ① ② ③ ④ 图形         算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 (1)观察上面的图形和算式，你能填写下面的算式吗？ 12＋12＝1×2    12＋12＋22＝2×3 12＋12＋22＋32＝3×5   12＋12＋22＋32＋52＝( )×( )   12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝( )×( ) (2)序号为⑥的算式结果是( )。 【答案】(1) 5×8；8×13 (2) 1870 【解析】规律梳理（斐波那契平方和） 斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… 公式：12+12+22+… +an2 = an×an+1 (1)填空 ① 12+12=1×2 ② 12+12+22=2×3 ③ 12+12+22+32=3×5 ④ 12+12+22+32+52=5×8 ⑤ 12+12+22+32+52+82=8×13 (2)序号为⑧的算式，先列出每一项： 1；1；2；3；5；8；13；21；34；55… 第8个算式最后一项是34，下一项是55，34×55=1870 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,从甲地到乙地有2条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,那么从甲地到丙地可走的路共有(　　) 　　　　 A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 8条 【答案】C 【解析】从甲到乙有2条路，乙到丙有3条路，搭配总数：2×=6条　　　　　 2.把一张长方形纸片按如图①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③,再在图③中挖一个三角形小孔,则重新展开后得到的图形是 (　　) 【答案】C 【解析】长方形从右向左连续对折两次，在中间剪一个三角形，展开后三角形开口朝右，左右对称，对应选项C。 3.（2025·徐州邳州市期末）数列1，5，9，13……，第8项是（ ） A. 25 B. 29 C. 33 D. 37 【答案】：B 【解析】：通项4n-3，n=8，32-3=29。 4.（2026·苏州昆山市一模）图形循环：■□▲■□▲……，第18个图形是（ ） A.■ B.□ C.▲ 【答案】：C 【解析】：周期3，18整除3，对应第三个▲。 5．小强拿了一张正方形的纸如图①，沿虚线对折一次得图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角，打开这张纸后的形状应是(　　) 　　　 　 【答案】D　 【解析】解决此题最好的方法就是按照要求进行操作，根据操作的结果再选择答案．在学习数学时，折一折、剪一剪也是探求结果的重要方法． 6. 公园内有一长方形步道,其地面由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成,如图所示为此步道的地砖排列方式.若其中正方形地砖连续排列且总共有40块,则步道上的三角形地砖总共使用了(　　) A. 84块 B. 86块 C. 160块 D. 162块 【答案】A　 【解析】:中间一块正方形地砖对应两块等腰直角三角形地砖,从而步道上的三角形地砖总共使用了3+40×2+1=84(块). 7. 如图,小正方形是按一定规律摆放的,下列四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是(　　) 【答案】D　 【解析】:题图中各行、各列、斜对角线上的点数之和为10. 8．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】此类问题只有动手操作一下，按照题意的顺序折叠，剪开，观察所得的图形，可得正确的选项．故选B． 9．如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（　　） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】B 【解析】如图，从A1到大A3共有6种走法，故选B． 10.观察图中各正方形四个顶点所标的数字,可知数1 005应标在(　　) A.第252个正方形的左上角 B.第252个正方形的右下角 C.第251个正方形的左上角 D.第251个正方形的右下角 【答案】 B　 【解析】观察题图得,一个正方形上有4个数,因为1 005÷4=251……1,所以1 005在第252个正方形的右下角,故选B. 二．填空题（共30分） 11.（2025·无锡江阴市期末）日历3×3方框，九数之和为108，中间数字=____。 【答案】：12 【解析】：中间数=108÷9=12。 12.（2026·宿迁泗阳县一模）数列1，2，4，7，11……，相邻两项的差依次多1，第6个 ________。 【答案】：16 【解析】：差值依次为1、2、3、4、5，第5项11，第6项11+5=16。 13.如图,两个正方形(空白部分)的面积分别是4和1,则两个小长方形(阴影部分)的面积和是　　　　.  【答案】 3　 【解析】空白大正方形：边长2，空白小正方形：边长1，每个阴影长方形：长1，宽2-1=1 ，两块阴影：1×1+1×1=2 14.（2026·常州金坛区二模）循环数字：2，5，2，5……，第35个数字=____。 【答案】：2 【解析】：周期2，奇数项为2。 15.如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只电子跳蚤从标有数“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2 028次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数是________. 【答案】0　 【解析】电子跳蚤按逆时针方向跳动，2 028÷12＝169，所以电子跳蚤跳2028次后落在初始位置． 16.如图是老年活动中心门口放着的一个招牌,这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的.每个骰子的六个面的点数分别是1到6,其中可以看见7个面,其余11个面是看不见的,则看不见的面上的点数总和是________. 【答案】39 【解析】三个骰子18个面上的数字的总和为:3×(1+2+3+4+5+6)=3×21=63,看得见的7个面上的数字的和为:1+2+3+5+4+6+3=24,所以看不见的面上的点数总和63-24=39. 17. 如图,每个图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,若图形中m=11,n=12,则M的值为　　　　.  【答案】 143　 【解析】:根据题意,得M=11×(12+1)=143. 18. 现有一批如图所示的长方形地砖,如果要铺成正方形的地面,那么至少要用　　　　块这种地砖.  【答案】6　 【解析】:因为30,45的最小公倍数为90,所以至少需要这种地砖×=6(块). 19．用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第7个图案需要的黑色五角星的个数是________. 【答案】12 【解析】当n为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有，故共有3（）个，当n为偶数时，中间一行有+1个，故共有+1个，则当n=13时，共有3×（）=12；． 20．我国民间通常用12种动物（十二生肖）来表示不同的年份．它们排列顺序如下： 2026年是马年，那么2049年是 　　年． 【答案】蛇． 【解析】∵（2049﹣2026）÷12＝1……11，又∵2026年是龙年，∴2049年是蛇年．故答案为：蛇． 三．解答题（共60分） 21. 如图,将两块形状、大小一样的三角尺拼成一个四边形,你能拼出多少种形状不同的四边形?画出你所拼出的四边形的示意图. 解：4种　如图所示 22．阅读下面的材料： 1×2＝×(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝×(2×3×4－1×2×3)， 3×4＝×(3×4×5－2×3×4)， 以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20. 读完以上材料，请你计算下列各题： (1)1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)； (2)1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9(写出过程)． 解：(1)原式＝×(1×2×3－0×1×2)＋×(2×3×4－1×2×3)＋×(3×4×5－ 2×3×4)＋…＋×(10×11×12－9×10×11)＝×10×11×12＝440. (2)原式＝×(1×2×3×4－0×1×2×3)＋×(2×3×4×5－1×2×3×4)＋×(3×4×5×6－ 2×3×4×5)＋…＋×(7×8×9×10－6×7×8×9)×7×8×9×10＝1 260. 23．观察如图所示的图形，回答下列问题： (1)图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第 三层有5个点，第四层有________个点； (2)如果继续画下去，那么第五层有多少个点？第n层呢？(n为正整数) (3)某一层上有77个点，你知道这是第几层吗？ (4)第一层与第二层点数的和是多少？前三层点数的和是多少？前四层呢？ 你发现什么规律(用含n的式子表示)？根据你的推测，求前十二层点数的和． 解：(1)7 (2)如果继续画下去，那么第五层有9个点，第n层有(2n－1)个点． (3)某一层上有77个点，这是第三十九层． (4)第一层与第二层点数的和是4，前三层点数的和是9，前四层点数的和是16. 规律：前n层点数的和是n2，所以前十二层点数的和是144. 24．若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 解：（1）∵2+4+6+18+20+22+34+36+38＝180，180÷20＝9，∴方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）∵方框内9个数的和为360，∴360÷9＝40，40+2+16＝58，∴右下角的数是58． 25．生活与数学． (1)甲同学在月历上圈出2×2个数(如图①)，正方形框内的四个数的和是32，那么第一个数是多少？ (2)乙同学在月历上圈出2×2个数(如图②)，平行四边形框内的四个数的和是42，求这四个数． (3)丙同学在月历上圈出5个数，呈十字形框(如图③)，它们的和是50，则中间的数是多少？ (4)某月有5个星期日，它们的日期和是75，则这个月中最后一个星期日是几号？ (5)若干个偶数按每行8个数排列，如图④． ①正方形框内的9个数的和与中间的数有什么关系？ ②丁同学所画的平行四边形框内9个数的和为360，则平行四边形框内中间的数是多少？ ③戊同学也画了一个平行四边形框，平行四边形框内9个数的和为630，则平行四边形框内中间的数是多少？ 解：(1)设第一个数是x，其他的数为x＋1，x＋7，x＋8，则x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝32， 解得x＝4．故第一个数是4． (2)设第一个数是y，其他的数为y＋1，y＋6，y＋7，则y＋y＋1＋y＋6＋y＋7＝42， 解得y＝7．y＋1＝8，y＋6＝13，y＋7＝14．故这四个数分别是7，8，13，14． (3)设中间的数是z，则5z＝50，解得z＝10． 故中间的数是10． (4)设最后一个星期日的日期是a，其他4个星期日的日期分别是a－7，a－14，a－21，a－28，则a＋a－7＋a－14＋a－21＋a－28＝75，解得a＝29．故这个月中最后一个星期日是29号． (5)①和是中间的数的9倍．②设中间的数是b，则9b＝360，解得b＝40． 所以中间的数是40．③设中间的数是c，则9c＝630，解得c＝70．所以中间的数是70． 26．阅读与解答。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共 块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共 块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共 块。 检验：总块数= ，各类块数之和= 。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。 ②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。 ④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 块。 ②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。 ④没有涂色的小正方体共 块。 解：【阅读材料】（棱长4cm正方体） ①三面涂色：8个顶点 → 8块 ②两面涂色：12条棱，每条棱去掉两端顶点剩 4-2=2个，12×2=24块 ③一面涂色：6个面，每个面中间 (4-2)×(4-2)=4，6×4=24块 ④无涂色：内部 (4-2)3=8块，验算：8+24+24+8=64=4×4×4 【解决问题】：长6，宽4，高5（单位cm） ①三面涂色：长方体8个顶点 → 8 ②两面涂色：4×(6-2)+4×(4-2)+4×(5-2)=4×4+4×2+4×3=16+8+12=36 ③一面涂色：2(6-2)(4-2)+2(4-2)(5-2)+2(6-2)(5-2)=2×4×2+2×2×3+2×4×3=16+12+24=52 ④没有涂色：内部长宽高各减2，(6-2)×(4-2)×(5-2)=4×2×3=4 检验总块数：6×4×5=120，8+36+52+24=120 【解决问题】答案：①8；②36；③52；④24。 【探索规律】（长a，宽b，高c，a,b,c>2） ①三面涂色：顶点固定 8 ②两面涂色：4(a-2)+4(b-2)+4(c-2) ③一面涂色：2(a-2)(b-2)+2(b-2)(c-2)+2(a-2)(c-2)（题目已给出） ④无涂色：内部长方体 (a-2)(b-2)(c-2)} 规律汇总：①8，②4(a-2)+4(b-2)+4(c-2)，④(a-2)(b-2)(c-2)。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $