湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期开学质量检测数学试题

高二年级上学期数学质量检测 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（单选题和多选题） 单选 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B D A B D 多选 9 10 11 答案 BD ABC ABD 三、填空题 12． 13．或 14． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．解：略（1） （4分） （2）0 （8分） （3） （13分） 16． 解：（1）， 则的最小正周期， （5分） （2）由，，得，， 即的对称中心的坐标为，． （9分） （3）当时，， 则当时，函数取得最大值，最大值为， （12分） 当时，函数取得最小值， 最小值为． （15分） 17． （1）由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以． （6分） （2）由已知，所以． 因为，所以， 可得, 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． （15分） 18． 解：（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是10， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中． （5分） （2）由（1）知， 因此各组的频率分别为，， ，，， 对应这100名学生各组的人数分别为10，20，25，35，10， 成绩在内的人数为35， 成绩在内的人数为10， 所以成绩在内的总人数为35+10=45， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6． （10分） （3）由（2）知，各组的人数分别为10，20，25，35，10， 各组的组中值分别为55，65，75，85，95， 则， 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分． （13分） 由可得中位数位于中间，设为x， 则． （17分） 19． 【详解】（1），绕着点A顺时针旋转， 即逆时针旋转，代入公式， ， 所以， 则点P的坐标为； （5分） （2）由费马点的求法知： 绕着点C顺时针旋转，与重合，， 所以为等边三角形， 连接，的最小值为，由勾股定理得； （10分） （3）通过材料可以知道，内部有一点P，连接，，， 将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，则的长即为所求， 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角， 即此时点P满足， 又由题设，可知为等腰三角形，且， 根据费马点求法知：点P在中垂线上， 且是顶角为的等腰三角形，所以， 故，则． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期数学质量检测 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A． B． C．或 D． 4．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知两个随机事件A和B，其中，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知向量与的夹角为，，，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 7．柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（ ） A． B．A与B独立 C．C与D对立 D．A与D互斥 8．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，点P在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列说法正确的是（ ） A．有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的A个体数为9，则样本容量为30 B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C．若甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5，6，7，8，9，则这两组数较稳定的是甲 D．某组样本数据为6，11，8，13，16，10，16，4，18，14，则样本数据30%分位数为9 10．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一．所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A．长方体中含有两个相同的等腰四面体 B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D．三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，点P是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A．存在点P使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．当点P在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点P的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为________． 13．若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为________． 14．已知球O的体积为，点A，B，C，D均在球表面上，若为正三角形，且，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在正方体中， 求（1）异面直线和所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线和平面所成的角． 16．（15分）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的对称中心的坐标； （3）求函数在的区间上的最大值和最小值． 17．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若的面积为，且，求的最小值． 18．（17分）2026年5月25日至5月31日是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周．为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．如图1，三个内角都小于的内部有一点P，连接，，，求的最小值．我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点．要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值．某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角．同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量． （1）已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； （2）在中，，，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，，，求的费马点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $