1.5 三角形全等的判定 题型专练 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 以“典例引领+分层训练”构建全等三角形判定的完整巩固体系，梯度覆盖基础认知到综合应用，强化推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|SSS/SAS/ASA/AAS判定方法|典例结合生活情境（如伞骨结构、木工角平分），举一反三题聚焦单一判定| |技能应用|全等性质证明边/角相等|包含选择、填空、简单证明，强化推理步骤规范（如“天宫课堂”实践题）| |综合拓展|实际测量与动点问题|设计池塘测距、舰艇运动等应用场景，动点题融合分类讨论（如△DEB与△BCA全等的多解）|

浙教版（2024）八年级上册 1.5 三角形全等的判定 题型专练 【题型1】用SSS判定三角形全等 【典例】某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.HL D.SSS 【举一反三1】如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　) A.    B. C.    D. 【举一反三2】木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释.如画角平分线：如图，在已知的∠AOB的两边分别取OM＝ON，将无弹性的绳子对折标记折痕(即绳子中点P)，将绳子两端分别固定在点M，N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分∠AOB.原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出∠AOP＝∠BOP.这里三角形全等的判定方法是(　　) A.SSS    B.SAS    C.AAS    D.ASA 【举一反三3】如图，AC＝AD，BC＝BD，则△ABC≌△　    　；应用的判定方法是（简写） 　      　． 【举一反三4】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD． 【题型2】用SSS证明边或角相等 【典例】如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　） A.15° B.20° C.25° D.30° 【举一反三1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【举一反三2】如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝35°，∠ADB＝120°，则∠C的度数为（　　） A.25° B.30° C.35° D.55° 【举一反三3】如图所示，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD＝　 　°． 【举一反三4】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.求证：∠A＝∠D. 【题型3】三角形的稳定性 【典例】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　） A.矩形的对称性 B.三角形的稳定性 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 【举一反三2】自行车的车架做成三角形，利用的原理是 　             　． 【举一反三3】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为　      　． 【举一反三4】小明用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上4根木条，请在图中画出你的三种作法． 【题型4】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC△ADE的判定依据是(　　) A.SSS    B.SAS C.ASA    D.AAS 【举一反三1】如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△AED，还需补充的条件是（　　） A.AB＝AE，BC＝DE B.AB＝AE，AC＝AD C.AC＝AE，BC＝DE D.以上都不对 【举一反三2】如图，∠1＝∠2，AB＝EB，CB＝DB，则△ABD≌△EBC时，运用的判定定理是（　　） A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【举一反三3】如图，已知AB⊥BD点于B，ED⊥BD于点D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论：①EC⊥AC；②EC＝AC；③ED＋AB＝DB；④DC＝CB.其中正确的有　　　　(填序号). 【举一反三4】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE. (1)当点D在线段BC上时，如图1，试说明：△ABD△ACE； (2)当点D在线段CB的延长线上时，如图2，判断CE与BC的位置关系，并说明理由. 【举一反三5】如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADC． 【题型5】用SAS证明边或角相等 【典例】如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则∠B+∠D＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 【举一反三1】如图点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AD＝EC，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（　　） A.3 B.4.5 C.4 D.5.5 【举一反三2】如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，如果∠EAC＝48°，则∠BAE的度数为 　   　． 【举一反三3】如图，∠A＝∠EGF，F为BE，CG的中点，DB＝5，DE＝8，则AD的长为 　   　． 【举一反三4】如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF. (1)求证：△ABC△DEF； (2)若∠B＝60°，∠D＝30°，求∠F. 【举一反三5】如图所示，A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证： (1)△ABC△DEF； (2)∠CBF＝∠FEC. 【题型6】作一个角等于已知角 【典例】如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　　) A.∠DAE＝∠B B.∠C＝∠EAC C.∠DAE＝∠EAC D.AE∥BC 【举一反三1】如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O'＝∠O的依据是(　　) A.SAS    B.SSS C.AAS    D.ASA 【举一反三2】如图，AD∥BC，∠B＝32°，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N.再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E，连结DE.则∠ADE＝　　　　°. 【举一反三3】如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一） 【举一反三4】已知线段a，b和∠α，请用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.要求保留作图痕迹. 【题型7】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定两个三角形全等的依据是（　　） A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 【举一反三1】一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　） A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS 【举一反三2】如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，请你添一个直接条件，并且利用ASA证明△AFC≌△DEB．则添加的条件是　   　＝　  　． 【举一反三3】将△ABC和△DEF如图放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求证：△ABC≌△DEF． 【题型8】用ASA证明边或角相等 【典例】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2 【举一反三1】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为（　　） A.3.5 B.2 C.2.5 D.3 【举一反三2】．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠1，BD＝CF＝3，BE＝2，则BC＝　  　． 【举一反三3】如图，已知EB＝FD，∠EBA＝∠FDC，∠E＝∠F，AD＝10，BC＝4，则AC＝　   　． 【举一反三4】已知△ABN和△ACM位置如图放置，AB＝AC，AM＝AN，∠1＝∠2． 求证：（1）△ABN≌△ACM； （2）BD＝CE． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图所示，由∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC推得△ABD≌△BAC，所用的判定定理的简称是（　　） A.AAS B.ASA C.SAS D.SSS 【举一反三1】如图，∠BAC＝∠BAD，补充下列条件后，不能得出△ABC△ABD的是(　　) A.AB平分∠CBD B.BC＝BD C.AC＝AD D.AC⊥BC，AD⊥BD 【举一反三2】如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在BD上，AB＝CD.添加下列条件，不能使得△ABD△CDE的是(　　) A.AD⊥CE      B.BD＝DE C.BC＝CD      D.∠A＝∠ECD 【举一反三3】如图所示，AB＝CD，AE＝CF，DE＝BF，则图中可证明为全等三角形的有_______对. 【举一反三4】如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠C＝∠E，请添加一个条件：　               　，使△ABC≌△ADE． 【举一反三5】如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC≌△AED． 【题型10】用AAS证明边或角相等 【典例】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BD＝CE，BE与CD交于点O，则从下列三 个条件①∠B＝∠C②∠BDO＝∠CEO③OD＝OE中选一个能使OB＝OC成立的是（　　） A.① B.①或② C.②或③ D.①或②或③ 【举一反三1】如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(　　) A.ASA    B.SAS    C.AAS    D.SSS 【举一反三2】如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE＝CF，若BD＝10，BF＝3.5，则EF＝　   　． 【举一反三3】如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E在AC上，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD.求证：AE＝CD. 【题型11】全等三角形的实际应用 【典例】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（　　） A.HL B.SAS C.SSS D.ASA 【举一反三1】如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【举一反三2】为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 　 　海里/小时． 【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　 　． 【举一反三4】阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 　 　米． ②请你说明小明方案正确的理由． 【题型12】动点问题中的全等 【典例】如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝10cm，AC＝5cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米秒的速度沿射线AN包括点A）运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 　          　秒时，△DEB与△BCA全等． 【举一反三1】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 　  　秒． 【举一反三2】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC运动，到点C停止，速度为3cm/s，设运动时间为t． （1）如图①，当t＝　     　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AC运动，到点C停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ与△DEF全等，求点Q的运动速度． 【举一反三3】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 浙教版（2024）八年级上册 1.5 三角形全等的判定 题型专练（参考答案） 【题型1】用SSS判定三角形全等 【典例】某中学八年级同学在听了“天宫课堂”第三课后，组成了数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依据是（　　） A.SAS B.ASA C.HL D.SSS 【答案】D 【解析】∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED与△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）． 故选：D． 【举一反三1】如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　) A.    B. C.    D. 【答案】C 【举一反三2】木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释.如画角平分线：如图，在已知的∠AOB的两边分别取OM＝ON，将无弹性的绳子对折标记折痕(即绳子中点P)，将绳子两端分别固定在点M，N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分∠AOB.原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出∠AOP＝∠BOP.这里三角形全等的判定方法是(　　) A.SSS    B.SAS    C.AAS    D.ASA 【答案】A 【解析】 根据题意，得OM＝ON，PM＝PN， 在△PMO和△PNO中， 所以△PMO△PNO(SSS)， 所以∠AOP＝∠BOP. 【举一反三3】如图，AC＝AD，BC＝BD，则△ABC≌△　    　；应用的判定方法是（简写） 　      　． 【答案】ABD；SSS 【解析】在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）． 【举一反三4】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD． 【答案】证明　在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（SSS）． 【题型2】用SSS证明边或角相等 【典例】如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　） A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】解法一：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵∠DAB+∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝20°， 解法二：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°． 故选：B． 【举一反三1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】A 【解析】在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， 即AE是∠DAE的平分线， 故选：A． 【举一反三2】如图，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝35°，∠ADB＝120°，则∠C的度数为（　　） A.25° B.30° C.35° D.55° 【答案】A 【解析】在△ABD中，∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝25° ∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD ∴△ABD≌△ACD， ∴∠C＝∠B＝25°． 故选：A． 【举一反三3】如图所示，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD＝　 　°． 【答案】77 【解析】在△CAB和△EAD中 ∴△CAB≌△EAD（SSS）， ∴∠D＝∠B＝28°， ∴在△EAD中，∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠D＝180°﹣95°﹣28°＝57°， ∵∠EAB＝20°， ∴∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝20°+57°＝77°， 故答案为：77． 【举一反三4】已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.求证：∠A＝∠D. 【答案】 证明　因为BF＝EC， 所以BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC△DEF(SSS). 所以∠A＝∠D. 【题型3】三角形的稳定性 【典例】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B．活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C．伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D．小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【举一反三1】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD）．这样做的依据是（　　） A.矩形的对称性 B.三角形的稳定性 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 【答案】B 【解析】木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条．这样做的依据是三角形的稳定性， 故选：B． 【举一反三2】自行车的车架做成三角形，利用的原理是 　             　． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【举一反三3】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为　      　． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【举一反三4】小明用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上4根木条，请在图中画出你的三种作法． 【答案】解　如图所示： 【题型4】用SAS判定三角形全等 【典例】如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC△ADE的判定依据是(　　) A.SSS    B.SAS C.ASA    D.AAS 【答案】B 【解析】 在△ABC和△ADE中， 所以△ABC△ADE(SAS). 【举一反三1】如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△AED，还需补充的条件是（　　） A.AB＝AE，BC＝DE B.AB＝AE，AC＝AD C.AC＝AE，BC＝DE D.以上都不对 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAC和∠DAE的夹边分别是AB和AC、AE和AD， ∴只要AB＝AE，AC＝AD，符合SAS，则△ABC≌△AED， 故选：B． 【举一反三2】如图，∠1＝∠2，AB＝EB，CB＝DB，则△ABD≌△EBC时，运用的判定定理是（　　） A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【答案】D 【解析】∵∠1＝∠2， ∴∠ABD＝∠EBC， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， 故选：D． 【举一反三3】如图，已知AB⊥BD点于B，ED⊥BD于点D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论：①EC⊥AC；②EC＝AC；③ED＋AB＝DB；④DC＝CB.其中正确的有　　　　(填序号). 【答案】 ①②③ 【解析】 由已知可证得△ABC△CDE(SAS)， 所以CE＝AC，CD＝AB，∠ECD＝∠CAB， 所以∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°， 所以∠ECA＝90°，即EC⊥AC， 所以ED＋AB＝BC＋CD＝DB， 所以正确的有①②③. 【举一反三4】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE. (1)当点D在线段BC上时，如图1，试说明：△ABD△ACE； (2)当点D在线段CB的延长线上时，如图2，判断CE与BC的位置关系，并说明理由. 【答案】 解　(1)因为∠BAC＝90°，∠DAE＝90°， 所以∠BAD＝90°－∠DAC，∠CAE＝90°－∠DAC， 所以∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD△ACE(SAS). (2)CE⊥BC. 理由：因为∠BAC＝∠DAE＝90°， 所以∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， 所以∠BAD＝∠CAE， 在△DAB与△EAC中， 所以△DAB△EAC(SAS). 所以∠ABD＝∠ACE. 过点A作BC的中线AF(图略)， 则由AB＝AC，AF＝AF，BF＝CF 可证得△ABF△ACF(SSS)， 所以∠ABF＝∠ACF， 因为∠BAC＝90°， 所以∠ABC＝∠ACB＝45°， 所以∠ABD＝∠ACE＝135°. 所以∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝135°－45°＝90°， 即CE⊥BD. 【举一反三5】如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADC． 【答案】证明　∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC和△ADC中，， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 【题型5】用SAS证明边或角相等 【典例】如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则∠B+∠D＝（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【解析】如图，在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（SAS）， ∴∠B＝∠DAE， ∵∠DCE＝∠DAE+∠ADC＝45°， ∴∠B+∠ADC＝45°， 故选：B． 【举一反三1】如图点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AD＝EC，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（　　） A.3 B.4.5 C.4 D.5.5 【答案】C 【解析】∵AB∥EF， ∴∠A＝∠E， ∵AD＝EC， ∴AD+DC＝EC+DC，即AC＝ED， 在△ABC和△EFD中 ， ∴△ABC≌△EFD（SAS）， ∴AC＝ED＝7， ∴CD＝AC+ED﹣AE＝7+7﹣10＝4． 故选：C． 【举一反三2】如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，如果∠EAC＝48°，则∠BAE的度数为 　   　． 【答案】84° 【解析】∵AC平分∠DCB， ∴∠BCA＝∠DCA， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠D， ∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD， ∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝48°， ∴∠B+∠ACB＝48°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝180°﹣48°﹣48°＝84°， 故答案为：84°． 【举一反三3】如图，∠A＝∠EGF，F为BE，CG的中点，DB＝5，DE＝8，则AD的长为 　   　． 【答案】1.5 【解析】∵F为BE，CG的中点， ∴EF＝BF，GF＝CF， 在△EFG和△BFC中， ， ∴△EFG≌△BFC（SAS）， ∴GE＝CB，∠EGF＝∠C， ∵∠A＝∠EGF，∠AGD＝∠EGF， ∴∠A＝∠AGD＝∠C， ∴AD＝GD，AB＝CB， ∴GE＝AB， ∴DE＝GD+GE＝AD+AB＝AD+AD+DB＝2AD+DB， ∵DB＝5，DE＝8， ∴2AD+5＝8， 解得AD＝1.5， 故答案为：1.5． 【举一反三4】如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF. (1)求证：△ABC△DEF； (2)若∠B＝60°，∠D＝30°，求∠F. 【答案】 (1)证明　因为BE＝CF， 所以BE＋EC＝CF＋EC， 所以BC＝EF， 因为AB∥DE， 所以∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC△DEF(SAS). (2)解　因为AB∥DE，∠B＝60°， 所以∠DEF＝∠B＝60°， 在△DEF中，∠D＝30°， 所以∠F＝180°－(∠DEF＋∠D)＝180°－(60°＋30°)＝90°. 【举一反三5】如图所示，A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证： (1)△ABC△DEF； (2)∠CBF＝∠FEC. 【答案】 证明　(1)因为AB∥DE， 所以∠A＝∠D. 又因为AF＝CD， 所以AF＋FC＝CD＋FC， 所以AC＝DF. 因为AB＝DE， 所以△ABC△DEF(SAS). (2)因为△ABC△DEF， 所以BC＝EF，∠ACB＝∠DFE. 因为FC＝CF， 所以△FBC△CEF(SAS). 所以∠CBF＝∠FEC. 【题型6】作一个角等于已知角 【典例】如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是(　　) A.∠DAE＝∠B B.∠C＝∠EAC C.∠DAE＝∠EAC D.AE∥BC 【答案】C 【解析】 根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确； 所以AE∥BC，故D选项正确； 所以∠C＝∠EAC，故B选项正确； 因为∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，而∠C与∠B大小关系不确定， 所以∠DAE与∠EAC大小关系不确定，故C选项错误. 【举一反三1】如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O'＝∠O的依据是(　　) A.SAS    B.SSS C.AAS    D.ASA 【答案】B 【解析】 由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'， 在△COD和△C'O'D'中， 所以△COD△C'O'D'(SSS)， 所以∠O'＝∠O. 【举一反三2】如图，AD∥BC，∠B＝32°，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N.再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E，连结DE.则∠ADE＝　　　　°. 【答案】 64 【解析】 由作法得∠NDE＝∠ADB， 因为AD∥BC， 所以∠ADB＝∠B＝32°， 所以∠ADE＝∠ADB＋∠NDE＝32°＋32°＝64°. 【举一反三3】如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一） 【答案】解　如图，点P即为所求． 【举一反三4】已知线段a，b和∠α，请用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.要求保留作图痕迹. 【答案】 解　如图，先作∠MAN＝∠α，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AN于点B，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线AM于点C，连结BC， 则△ABC即为所求. 【题型7】用ASA判定三角形全等 【典例】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定两个三角形全等的依据是（　　） A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 【答案】B 【解析】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD＝AD ∴△ABD≌△ACD．（ASA） 故选：B． 【举一反三1】一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　） A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS 【答案】A 【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：A． 【举一反三2】如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，请你添一个直接条件，并且利用ASA证明△AFC≌△DEB．则添加的条件是　   　＝　  　． 【答案】∠ACF　　∠DBE 【解析】∵AC＝BD，∠A＝∠D，∠ACF＝∠DBE ∴△AFC≌△DEB（ASA）． 故答案为：∠ACF、∠DBE． 【举一反三3】将△ABC和△DEF如图放置．已知AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明　∵∠D+∠CHF＝180°，∠CHF+∠CHE＝180°， ∴∠D＝∠CHE， ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A， ∴∠A＝∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【题型8】用ASA证明边或角相等 【典例】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2 【答案】C 【解析】延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABD， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵BP⊥AP， ∴∠BPA＝∠BPD＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝PD， ∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积， ∵△ABC的面积为12cm2， ∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积 △ABC的面积 12 ＝6（cm2）， 故选：C． 【举一反三1】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为（　　） A.3.5 B.2 C.2.5 D.3 【答案】B 【解析】∵AB∥EF， ∴∠A＝∠E， 在△ABC和△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（ASA）， ∴AC＝DE， ∵AE＝10，AC＝DE＝6， ∴CD＝AC+DE﹣AE＝2， 故选：B． 【举一反三2】．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠1，BD＝CF＝3，BE＝2，则BC＝　  　． 【答案】5 【解析】∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠1+∠FDC，且∠1＝∠B， ∴∠BED＝∠FDC， 在△BED和△CDF中， ， ∴△BED≌△CDF（ASA）， ∴CD＝BE＝2， ∵BD＝3， ∴BC＝BD+CD＝3+2＝5， 故答案为：5． 【举一反三3】如图，已知EB＝FD，∠EBA＝∠FDC，∠E＝∠F，AD＝10，BC＝4，则AC＝　   　． 【答案】3 【解析】在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AB＝CD， ∴AC＝BD， ∵AD＝10，BC＝4， ∴AD﹣BC＝AC+BD＝6， ∴AC＝3． 故答案为3． 【举一反三4】已知△ABN和△ACM位置如图放置，AB＝AC，AM＝AN，∠1＝∠2． 求证：（1）△ABN≌△ACM； （2）BD＝CE． 【答案】证明　（1）∵∠1＝∠2， ∴∠BAN＝∠CAM． 在△ABN和△ACM中， ， ∴△ABN≌△ACM（SAS）； （2）∵△ABN≌△ACM， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴BD＝CE． 【题型9】用AAS判定三角形全等 【典例】如图所示，由∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC推得△ABD≌△BAC，所用的判定定理的简称是（　　） A.AAS B.ASA C.SAS D.SSS 【答案】A 【解析】∵∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABC， 是两角可写作AA， AB为公共边写作S， ∴所用的判定定理的简称是AAS． 故选：A． 【举一反三1】如图，∠BAC＝∠BAD，补充下列条件后，不能得出△ABC△ABD的是(　　) A.AB平分∠CBD B.BC＝BD C.AC＝AD D.AC⊥BC，AD⊥BD 【答案】B 【解析】 因为∠BAC＝∠BAD，AB＝AB， 所以当添加AB平分∠CBD时，则∠ABC＝∠ABD，所以△ABC△ABD(ASA)，故A选项不符合题意； 当添加BC＝BD时，不能判断△ABC△ABD，故B选项符合题意； 当添加AC＝AD时，△ABC△ABD(SAS)，故C选项不符合题意； 当添加AC⊥BC，AD⊥BD时，则∠ACB＝∠ADB＝90°，所以△ABC△ABD(AAS)，故D选项不符合题意. 【举一反三2】如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C在BD上，AB＝CD.添加下列条件，不能使得△ABD△CDE的是(　　) A.AD⊥CE      B.BD＝DE C.BC＝CD      D.∠A＝∠ECD 【答案】C 【解析】 由AB⊥BD，ED⊥BD可得∠B＝∠CDE＝90°，∠A＋∠ADB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，AB＝CD，所以由AD⊥CE，可得∠ADB＋∠ECD＝90°，推得∠E＝∠ADB，根据“AAS”判定△ABD△CDE，故A不符合题意； 因为AB＝CD，∠B＝∠CDE＝90°，BD＝DE，所以“SAS”判定△ABD△CDE，故B不符合题意； 由BC＝CD，不能判定△ABD△CDE，故C符合题意； 添加∠A＝∠ECD，根据“ASA”判定△ABD△CDE，故D不符合题意. 【举一反三3】如图所示，AB＝CD，AE＝CF，DE＝BF，则图中可证明为全等三角形的有_______对. 【答案】 3 【解析】 △ABE△CDF； △ABD△CDB； △AED△CFB， 综上所述，图中可证明为全等三角形的有3对. 【举一反三4】如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠C＝∠E，请添加一个条件：　               　，使△ABC≌△ADE． 【答案】∠BAC＝∠DAE（答案不唯一） 【解析】∵AB＝AD，∠C＝∠E， ∴添加条件∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 添加条件∠BAD＝∠CAE，得出∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 添加条件∠B＝∠ADE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）． 【举一反三5】如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：△ABC≌△AED． 【答案】证明　∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD． ∵在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）． 【题型10】用AAS证明边或角相等 【典例】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且BD＝CE，BE与CD交于点O，则从下列三 个条件①∠B＝∠C②∠BDO＝∠CEO③OD＝OE中选一个能使OB＝OC成立的是（　　） A.① B.①或② C.②或③ D.①或②或③ 【答案】B 【解析】选①或②， 理由：∵∠BOD＝∠COE，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB＝OC， 故①成立； ∵∠BOD＝∠COE，∠BDO＝∠CEO，BD＝CE， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OB＝OC， 故②成立； 在△BOD和△COE中， 由于BD＝CE，OD＝OE，∠BOD＝∠COE， 即已知SSA不能作为三角形全等的判定条件， 故③不一定成立； 故选：B． 【举一反三1】如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(　　) A.ASA    B.SAS    C.AAS    D.SSS 【答案】A 【举一反三2】如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE＝CF，若BD＝10，BF＝3.5，则EF＝　   　． 【答案】3 【解析】∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D， ∵AE∥CF， ∴∠AEB＝∠CFD， 在△ABE和△CFD中，， ∴△ABE≌△CFD， ∴BE＝DF， ∵BD＝10，BF＝3.5， ∴DF＝BD﹣BF＝6.5， ∴BE＝6.5， ∴EF＝BE﹣BF＝6.5﹣3.5＝3． 故答案为3 【举一反三3】如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，点E在AC上，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD.求证：AE＝CD. 【答案】 证明　因为CD∥AB， 所以∠ACD＝∠BAE， 在△ABE和△CAD中， 所以△ABE△CAD(AAS)， 所以AE＝CD. 【题型11】全等三角形的实际应用 【典例】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（　　） A.HL B.SAS C.SSS D.ASA 【答案】D 【解析】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：D． 【举一反三1】如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】B 【解析】在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， 故选：B． 【举一反三2】为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 　 　海里/小时． 【答案】24 【解析】如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE， 由题意得，∠AON＝30°， ∴∠A＝60°， ∵∠OBC＝70°+50°＝120°， ∴∠OBG＝60°， ∴∠A＝∠OBG， ∵OA＝OB， ∴△AOE≌△BOG（SAS）， ∴OE＝OG，∠AOE＝∠BOG， ∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°， ∴∠EOG＝140°， ∵∠EOF＝70°， ∴∠EOF＝∠GOF， ∵OF＝OF， ∴△EOF≌△GOF（SAS）， ∴EF＝GF＝BG+BF＝AE+BF＝180（海里）， 设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时， ∴AE＝3×2x＝6x海里，BF＝3×3x＝9x海里， ∴9x+6x＝15x＝180， ∴x＝12， ∴2x＝24， 答：甲的速度为24海里/小时， 故答案为：24． 【举一反三3】沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　 　． 【答案】16米 【解析】∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠CDP， ∵PD⊥CD， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD＝PB， 在△ABP与△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP（ASA）， ∴CD＝AB＝16（米）， 故答案为：16米． 【举一反三4】阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 　 　米． ②请你说明小明方案正确的理由． 【答案】解　（1）任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示． （2）任务二：①由△ABC≌△DEC得AB＝DE＝8（米）， 故答案为：8． ②理由：如图， 由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°， ∴AC＝DC，∠A＝∠D， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝8米， ∴小明的方案是正确的． 【题型12】动点问题中的全等 【典例】如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝10cm，AC＝5cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米秒的速度沿射线AN包括点A）运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 　          　秒时，△DEB与△BCA全等． 【答案】2.5，7.5，10，0 【解析】①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝5， ∴BE＝5， ∴AE＝10﹣5＝5， ∴点E的运动时间为5÷2＝2.5（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时， ∵AC＝5， ∴BE＝5， ∴AE＝10+5＝15， ∴点E的运动时间为15÷2＝7.5（秒）； ③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， AE＝10+10＝20， 点E的运动时间为20÷2＝10（秒）， 故答案为：2.5，7.5，10，0 【举一反三1】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 　  　秒． 【答案】4 【解析】∵∠CMD＝90°， ∴∠CMA+∠DMB＝90°， 又∵∠CAM＝90°， ∴∠CMA+∠C＝90°， ∴∠C＝∠DMB． 在Rt△ACM和Rt△BMD中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS）， ∴BD＝AM＝12米， ∴BM＝20﹣12＝8（米）， ∵该人的运动速度为2m/s， ∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）． 故答案为4． 【举一反三2】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边AB→BC运动，到点C停止，速度为3cm/s，设运动时间为t． （1）如图①，当t＝　     　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； （2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AC运动，到点C停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ与△DEF全等，求点Q的运动速度． 【答案】解　（1）根据题意，当点P运动到AB的中点或BC的中点时，△APC的面积等于△ABC面积的一半， ∵AB＝15cm，BC＝9cm， ∴3t＝7.5或3t＝15+4.5， 解得t＝2.5或t＝6.5， 故答案为：2.5s或6.5s； （2）△APQ与△DEF全等，分情况讨论： 在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A， ①AP＝DE，AQ＝DF， 则有3t＝4， 解得t， 点Q的速度为（m/s）； ②AP＝DF，AQ＝DE， 则有3t＝5， 解得t， ∴点Q的速度为4（m/s）， 综上所述，点Q的速度为m/s或m/s． 【举一反三3】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解　（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3， 又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°， 即线段PC与线段PQ垂直． （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， ， 解得 ； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， ， 解得 ； 综上所述，存在， 或 ， 使得△ACP与△BPQ全等． 学科网（北京）股份有限公司 $