专题23 三角形全等的判定思路（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以已知条件为分类标准，系统构建“已知边/角→判定方法”的解题思路体系，通过典例与变式强化推理意识和几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知两边|4题/SSS、SAS|找第三边(SSS)或夹角(SAS)|两边关系推导全等条件| |一角与邻边|8题/SAS、ASA、AAS|找夹边(SAS)、另一角(ASA/AAS)|边角位置关系关联判定定理| |一边与对角|4题/AAS|找另一角(AAS)|对角条件转化角相等关系| |两角|4题/ASA|找夹边(ASA)|两角关系确定夹边全等| |直角与直角边|4题/HL|找斜边(HL)|直角三角形特殊判定逻辑|

专题23 三角形全等的判定思路 （题型突破·举一反三） 题型01 已知两边找第三边（SSS） 题型02 已知两边找夹角（SAS） 题型03 已知一角与邻边找该角的另一边（SAS） 题型04 已知一角与邻边找该边的另一角（ASA） 题型05 已知一角与邻边找该边的对角（AAS） 题型06 已知一边与对角找另一角（AAS） 题型07 已知两角找夹边（ASA） 题型08 已知直角与直角边找斜边（HL） ▌题型01 已知两边找第三边（SSS） 已经具备两组对应边相等：AB=DE，BC=EF， 找第三边（AC=DF），通过SSS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026•威信县一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 【分析】根据“SSS”直接证明全等即可． 【解答】解：∵点A、B、E、D在同一条直线上，AE＝BD， ∴AE﹣BE＝BD﹣BE， ∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE， ∴AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【变式1-1】（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点．求证：△ABE≌△DCE． 【分析】先根据线段中点的定义得到BE＝CE，然后根据“SSS”可判断△ABE≌△DCE． 【解答】证明：∵点E是线段BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SSS）． 【变式1-2】如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C． 【分析】连接BD，利用“边边边”证明△ABD和△CDB全等，根据全等三角形对应角相等证明即可． 【解答】证明：连接BD， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∴∠A＝∠C． 【变式1-3】如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF． 求证：（1）∠D＝∠B；（2）AE∥CF． 【分析】（1）根据SSS推出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质推出即可． （2）根据全等三角形的性质推出∠AED＝∠CFB，求出∠AEO＝∠CFO，根据平行线的判定推出即可． 【解答】解：（1）∵在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SSS）， ∴∠D＝∠B． （2）由（1）得，△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠CFB， ∵∠AED+∠AEO＝180°，∠CFB+∠CFO＝180°， ∴∠AEO＝∠CFO， ∴AE∥CF． ▌题型02 已知两边找夹角（SAS） 已经具备两组对应边相等：AB=DE，BC=EF， 找第夹角（∠ABC＝∠DEF），通过SAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•兴庆区校级期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AC∥DF，BF＝CE，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF． 【分析】因为AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，因为BF＝CE，则EF＝CB．即可判定△ABC≌△DEF（SAS）． 【解答】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE． ∵BF＝CE， ∴BF﹣BE＝CE﹣BE， 即EF＝CB． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1-1】（2026•武定县二模）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝DE．试说明：△ABC≌△DEF． 【分析】由线段的和差关系可得出BC＝EF，由平行线的性质可得出∠B＝∠E，即可得出△ABC≌△DEF（SAS）． 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∵BC＝BF+FC，EF＝CE+FC， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1-2】（2026春•礼泉县期末）如图，在△ABC和△EDC中，AC＝EC，BC＝DC，∠ECB＝∠ACD．请判断△ABC和△EDC是否全等？为什么？ 【分析】先证∠ACB＝∠ECD，再根据“SAS”证明即可． 【解答】证明：∵∠ECB＝∠ACD， ∴∠ECB﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， 即∠ACB＝∠ECD， ∵AC＝EC，BC＝DC， ∴△ABC≌△EDC（SAS）． 【变式1-3】（2026春•勉县期末）【思路梳理】 （1）等腰△ABC和等腰△ADE的位置如图1所示，分别连接BD、EC并延长交于点F，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝130°． ①若BD＝7，求EC的长； ②求∠F的度数． 【问题解决】 （2）某种植基地内有一个形状为等腰△ABC的种植田（周围空地可利用），AB＝AC，BC＝160米，现计划对该种植田进行扩建，在AC右侧找一点D，连接BD、AD、CD，沿BD、CD、BC设置隔离栏（宽度忽略不计），在△BDC区域内种植土豆，∠ADB＝∠ACB，过点A作AE⊥BD于点E，在BE上取一点G，使得EG＝ED，连接AG，已知BE＝100米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即△BDC的周长）． 【分析】（1）①由∠BAC＝∠DAE得到∠BAD＝∠CAE，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得到CE＝BD＝7； ②由等边对等角得到，由全等三角形的性质得到∠ADB＝∠AEC，从而根据三角形外角的性质与角的和差求出∠F即可； （2）由垂直平分线的性质得到AG＝AD，因此∠AGD＝∠ADG，由AB＝AC，得到∠ABC＝∠ACB，从而根据三角形的内角和定理得到∠BAG＝∠CAD，即可证明△ABG≌△ACD（SAS），因此BG＝CD，从而可推出BD+CD＝2BE，进而可解答． 【解答】解：（1）等腰△ABC和等腰△ADE的位置如图1所示，分别连接BD、EC并延长交于点F，则： ①因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 所以∠BAD＝∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中， ， 所以△ABD≌△ACE（SAS）， 所以CE＝BD＝7． ②因为AD＝AE，∠DAE＝130°， 所以， 因为△ABD≌△ACE， 所以∠ADB＝∠AEC， 因为∠F＝∠EDB﹣∠FED ＝∠EDA+∠ADB﹣∠FED， ＝∠ADE+∠AEC﹣∠FED ＝∠ADE+∠AED ＝25°+25° ＝50°． （2）现计划对该种植田进行扩建，在AC右侧找一点D，连接BD、AD、CD，沿BD、CD、BC设置隔离栏（宽度忽略不计）， 因为EG＝ED，AE⊥BD， 所以AG＝AD， 所以∠AGD＝∠ADG， 所以∠GAD＝180°﹣∠ADG﹣∠AGD＝180°﹣2∠ADG． 因为AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB， 所以∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ACB， 因为∠ADB＝∠ACB， 所以∠BAC＝∠GAD， 所以∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC， 即∠BAG＝∠CAD， 因为在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD（SAS）， 所以BG＝CD， 因为BE＝100米，EG＝ED， 所以BD+CD＝BG+EG+ED+CD＝2（BG+EG）＝2BE＝200米， 所以总长度为BD+CD+BC＝200+160＝360（米）． ▌题型03 已知一角与邻边找该角的另一边（SAS） 已经具备一角与邻边对应相等：AB=DE，∠ABC＝∠DEF， 找将该角夹起来的另一边（BC=EF），通过SAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•昆都仑区校级期中）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△BCE与△BDE全等吗？请说明理由． 【分析】判定△ACB≌△ADB（SAS），推出BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，即可证明△BCE≌△BDE（SAS）． 【解答】解：△BCE与△BDE全等，理由如下： ∵AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，AB＝AB， ∴△ACB≌△ADB（SAS）， ∴BC＝BD，∠CBE＝∠DBE， ∵BE＝BE， ∴△BCE≌△BDE（SAS）． 【变式1-1】（2026春•青山区期中）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AF＝CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）判断BF与ED的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A＝∠C，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠D； （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABF与△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠B＝∠D； （2）解：BF＝DE，BF∥DE， 理由：∵△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED， ∴DE∥BF． 【变式1-2】（2026•榆林校级模拟）如图，点D在边BC上，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：BC＝DE． 【分析】先由题中条件得到∠BAC＝∠DAE，再由两个三角形全等的判定与性质求证即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 则∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴BC＝DE． 【变式1-3】（2026春•绛县期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE． （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE． 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． ▌题型04 已知一角与邻边找该边的另一角（ASA） 已经具备一角与邻边对应相等：AB=DE，∠ABC＝∠DEF， 找与该边相邻的另一角（∠BAC＝∠EDF），通过ASA证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•静安区校级期末）如图，已知：在△ABC中，D为边AB上一点，过点D作BC的平行线，交∠B的平分线于点E，交AC于点F，G为BE的中点，连接FG并延长，交BC于点H．求证： （1）BD＝DE； （2）BD＝DF+BH． 【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠DBE＝∠E，进而得到BD＝DE； （2）先证△BGH≌△EGF（ASA），得到BH＝EF，再根据边的关系即可证明． 【解答】（1）∵DE∥BC， ∴∠GBH＝∠E（两直线平行，内错角相等）， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE； （2）∵G为BE的中点， ∴BG＝EG， 在△BGH和△EGF中， ， ∴△BGH≌△EGF（ASA）， ∴BH＝EF， ∴BD＝DE＝DF+EF＝DF+BH． 【变式1-1】（2026•西安校级模拟）如图所示的类似帆船的图形由△ABC与△DEF拼成，寓意着广大考生考试过程“一帆风顺”，已知DF∥BC，∠B＝∠FED，且CE+BC＝DC，求证：AC＝DF． 【分析】根据题意可证明BC＝DE，再根据平行线的性质可得∠FDE＝∠ACB，最后运用ASA即可证明△ABC≌△FED，可得AC＝DF． 【解答】证明：∵DC＝DE+EC，且CE+BC＝DC， ∴CE+BC ＝ DE+EC， ∴BC＝DE， ∵DF∥BC， ∴∠FDE＝∠ACB， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（ASA）， ∴AC＝DF． 【变式1-2】（2026•榆林模拟）如图，△ABC与△CED的顶点B、C、E在一条直线上，点A、D在BE上方，∠B＝∠ACD＝∠E，AB＝CE，求证：AC＝CD． 【分析】根据三角形的外角性质可得∠A＝∠DCE，再证明△ABC≌△CED（ASA），即可得到结论． 【解答】证明：∵∠ACE＝∠B+∠A，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠B＝∠ACD， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD． 【变式1-3】（2026•新城区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在边AB上，过点C作CD∥AB，交FE的延长线于点D．求证：AF＝CD． 【分析】由中点可得AE＝CE，再由平行线的性质可得∠A＝∠DCE，结合对顶角相等得∠AEF＝∠CED，利用ASA可判定△AEF≌△CED，即有AF＝CD． 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△AEF与△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（ASA）， ∴AF＝CD． ▌题型05 已知一角与邻边找该边的对角（AAS） 已经具备一角与邻边对应相等：AB=DE，∠ABC＝∠DEF， 找该边的对角（∠ACB＝∠DFE），通过AAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026•城关区模拟）如图，AE∥BF，∠E＝∠F，AD＝BC．求证：△ACE≌△BDF． 【分析】由平行线的性质推出∠A＝∠B，由AD＝BC，得到AC＝BD，即可证明△ACE≌△BDF（AAS）． 【解答】证明：∵AE∥BF， ∴∠A＝∠B， ∵AD＝BC， ∴AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（AAS）． 【变式1-1】（2026•天河区校级模拟）已知：AB∥CD，∠A＝∠C，DE＝BF，求证：△AEB≌△CFD． 【分析】先证明DF＝BE，∠B＝∠D，再利用AAS证明△AEB≌△CFD即可． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D， ∵DE＝BF， ∴DE﹣EF＝BF﹣EF， ∴DF＝BE． 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（AAS）． 【变式1-2】（2026•西山区校级模拟）如图，已知∠ABD＝∠ACD＝90°，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD． 【分析】先根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，进而利用AAS证明△ABD≌△ACD即可． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）． 【变式1-3】（2026•五华区校级模拟）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，AC∥BD，求证：△AOC≌△BOD． 【分析】由AB与CD相交于点O，得∠AOC＝∠BOD，由AC∥BD，得∠A＝∠B，而AC＝BD，可根据“AAS”证明△AOC≌△BOD． 【解答】证明：∵AB与CD相交于点O， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）． ▌题型06 已知一边与对角找另一角（AAS） 已经具备一边与对角对应相等：AB=DE，∠ACB＝∠DFE， 找另一角（∠ABC＝∠DEF或∠BAC＝∠EDF），通过AAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•茂南区期末）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC．求证：△ABC≌△DAE． 【分析】由AB∥DE，得∠BAC＝∠D，由∠BAE＝∠BAD+∠B，且∠BAE＝∠BAD+∠DAE，推导出∠B＝∠DAE，而BC＝AE，可根据“AAS”证明△ABC≌△DAE． 【解答】证明：∵AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上， ∴∠BAC＝∠D， ∵∠BAE＝∠BAD+∠B，且∠BAE＝∠BAD+∠DAE， ∴∠BAD+∠B＝∠BAD+∠DAE， ∴∠B＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）． 【变式1-1】（2026•亭湖区三模）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 【分析】（1）在△AOD和△BOE中，利用三角形内角和定理可得∠1＝∠AEB，从而得到答案； （2）先证明ED＝EC，∠AEC＝∠BED，再利用AAS可证得△AEC≌△BED． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2，∠2＝40°， ∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C， ∴EC＝ED， 由（1）知∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED， 即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 【变式1-2】（2026•大理州模拟）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD＝EC，点F为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，求证：△ABC≌△FED． 【分析】根据线段的和差求出BC＝ED，根据平行线的性质求出∠ACB＝∠FDE，利用AAS即可证明△ABC≌△FED． 【解答】证明：∵BD＝EC， ∴BD+DC＝EC+DC， 即BC＝ED， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠FDE， 在△ABC与△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（AAS）． 【变式1-3】（2026春•章丘区期末）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． 【分析】（1）利用角平分线的定义得到∠AMP∠AMB，∠AMQ∠AMC，则可计算出∠PMQ（∠AMB+∠AMC）＝90°，从而得到结论； （2）先证明BP∥QM得到∠PBM＝∠QMC，然后根据“AAS”可判断△BMP≌△MCQ． 【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP∠AMB，∠AMQ∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ∠AMB∠AMC （∠AMB+∠AMC） 180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）由（1）知，MP⊥MQ， ∵BP⊥MP， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． ▌题型07 已知两角找夹边（ASA） 已经具备两角对应相等：∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， 找夹边（BC＝EF），通过ASA证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026•桥东区二模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝40°，求∠E的度数． 【分析】（1）由题意易得∠BAC＝∠DAE，然后根据“ASA”证明全等即可； （2）由（1）可知AC＝AE，则有∠E＝∠ACE，然后根据三角形内角和可进行求解． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠PAC＝∠CAE+∠PAC， ∴∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE， ∴∠E＝∠ACE． ∵∠BAD＝∠CAE＝40°， ∴∠E＝∠ACE（180°﹣40°）＝70°． 【变式1-1】（2026•白河县校级模拟）如图，在△ABC中，D为边AB上的一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，连接CF，使得CF∥AB．求证：AD＝CF． 【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解答】证明：在△ABC中，D为边AB上的一点，E为AC的中点， ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE， ∵∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（ASA）， ∴AD＝CF． 【变式1-2】（2026春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E，F为直线CD上的点，连接AE，BF，且AE∥BF． （1）求证：△ADE≌△BDF； （2）若CF＝15，CE＝8，求DE的长． 【分析】（1）已知CD是AB边上的中线，可得AD＝BD，又AE∥BF，可得∠EAD＝∠FBD，又因为∠BDE＝∠CDF（对顶角相等），可证△ADE≌△BDF； （2）由（1）中证明的△ADE≌△BDF，可得DE＝DF，进而求得DE的长． 【解答】（1）证明∵CD是AB边上的中线， ∴AD＝BD， ∵AE∥BF， ∴∠EAD＝∠FBD， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）； （2）解：∵CF＝15，CE＝8， ∴EF＝CF﹣CE＝15﹣8＝7， ∵△ADE≌△BDF， ∴DE＝DF， ∵DE+DF＝EF＝7， ∴DEEF7＝3.5． 【变式1-3】（2026春•高安市期末）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O是正方形OEFG的一个顶点，OE交AB于点M，OG交BC于点N． （1）求证：△AOM≌△BON； （2）如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？请写出证明过程． 【分析】（1）由题意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOM+∠MOB＝90°，∠MOB+∠BON＝90°，可得∠AOM＝∠BON，根据ASA可证明全等； （2）由（1）得△AOM≌△BON，从而有S△AOM＝SBON，再根据．据此解答． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD和OEFG中， ∠OAB＝∠OBC＝45°，AO＝BO，∠AOB＝90°， ∵∠MOB+∠BON＝90°，∠AOM+∠MOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON． 在△AOM和△BON中， ， ∴△AOM≌△BON（ASA）； （2）解：∵△AOM≌△BON， ∴S△AOM＝SBON， ∴ ▌题型08 已知直角与直角边找斜边（HL） 已经具备直角∠ABC＝∠DEF＝90°，一组直角边对应边相等：AB＝DE（或BC＝EF）， 找斜边（AC＝DF），通过HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF。 【典例1】（2026春•南海区校级月考）如图，A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD，AE＝DB，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF． 【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF即可． 【解答】证明：A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD， ∵AE＝DB， ∴AE+EB＝EB+BD， 即AB＝DE， 在Rt△ABC与Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， 即△ABC≌△DEF． 【变式1-1】（2025秋•苍南县校级期末）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，且AB＝EF，AD＝CE，求证：△ABC≌△EFD． 【分析】由题意可得∠ACB＝∠EDF＝90°，再由线段的和差得出AC＝ED，最后利用“HL”证明△ABC≌△EFD即可． 【解答】证明：∵点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，AD＝CE， ∴∠ACB＝∠EDF＝90°，AD﹣CD＝CE﹣CD，即AC＝ED． 在Rt△ABC和Rt△EFD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL） 【变式1-2】（2026春•南海区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC． 【分析】由等角对等边推出DE＝EC，即可证明Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【变式1-3】（2025秋•丰满区校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM、ON上，点C在∠MON的内部，已知AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，且AD＝BE，求证：OC平分∠MON． 【分析】由CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，得∠ADC＝∠BEC＝90°，而AC＝BC，AD＝BE，可根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BCE，得CD＝CE，则点C在∠MON的平分线上，所以OC平分∠MON． 【解答】证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）， ∴CD＝CE， ∵点C在∠MON的内部，且点C到OM、ON的距离相等， ∴点C在∠MON的平分线上， ∴OC平分∠MON． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 三角形全等的判定思路 （题型突破·举一反三） 题型01 已知两边找第三边（SSS） 题型02 已知两边找夹角（SAS） 题型03 已知一角与邻边找该角的另一边（SAS） 题型04 已知一角与邻边找该边的另一角（ASA） 题型05 已知一角与邻边找该边的对角（AAS） 题型06 已知一边与对角找另一角（AAS） 题型07 已知两角找夹边（ASA） 题型08 已知直角与直角边找斜边（HL） ▌题型01 已知两边找第三边（SSS） 已经具备两组对应边相等：AB=DE，BC=EF， 找第三边（AC=DF），通过SSS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026•威信县一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，AE＝BD．求证：△ABC≌△DEF． 【变式1-1】（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点．求证：△ABE≌△DCE． 【变式1-2】如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C． 【变式1-3】如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF． 求证：（1）∠D＝∠B；（2）AE∥CF． ▌题型02 已知两边找夹角（SAS） 已经具备两组对应边相等：AB=DE，BC=EF， 找第夹角（∠ABC＝∠DEF），通过SAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•兴庆区校级期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AC∥DF，BF＝CE，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF． 【变式1-1】（2026•武定县二模）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝DE．试说明：△ABC≌△DEF． 【变式1-2】（2026春•礼泉县期末）如图，在△ABC和△EDC中，AC＝EC，BC＝DC，∠ECB＝∠ACD．请判断△ABC和△EDC是否全等？为什么？ 【变式1-3】（2026春•勉县期末）【思路梳理】 （1）等腰△ABC和等腰△ADE的位置如图1所示，分别连接BD、EC并延长交于点F，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝130°． ①若BD＝7，求EC的长； ②求∠F的度数． 【问题解决】 （2） 某种植基地内有一个形状为等腰△ABC的种植田（周围空地可利用），AB＝AC，BC＝160米，现计划对该种植田进行扩建，在AC右侧找一点D，连接BD、AD、CD，沿BD、CD、BC设置隔离栏（宽度忽略不计），在△BDC区域内种植土豆，∠ADB＝∠ACB，过点A作AE⊥BD于点E，在BE上取一点G，使得EG＝ED，连接AG，已知BE＝100米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即△BDC的周长）． ▌题型03 已知一角与邻边找该角的另一边（SAS） 已经具备一角与邻边对应相等：AB=DE，∠ABC＝∠DEF， 找将该角夹起来的另一边（BC=EF），通过SAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•昆都仑区校级期中）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，△BCE与△BDE全等吗？请说明理由． 【变式1-1】（2026春•青山区期中）如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AF＝CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）判断BF与ED的位置关系，并说明理由． 【变式1-2】（2026•榆林校级模拟）如图，点D在边BC上，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：BC＝DE． 【变式1-3】（2026春•绛县期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． ▌题型04 已知一角与邻边找该边的另一角（ASA） 已经具备一角与邻边对应相等：AB=DE，∠ABC＝∠DEF， 找与该边相邻的另一角（∠BAC＝∠EDF），通过ASA证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•静安区校级期末）如图，已知：在△ABC中，D为边AB上一点，过点D作BC的平行线，交∠B的平分线于点E，交AC于点F，G为BE的中点，连接FG并延长，交BC于点H．求证： （1）BD＝DE； （2）BD＝DF+BH． 【变式1-1】（2026•西安校级模拟）如图所示的类似帆船的图形由△ABC与△DEF拼成，寓意着广大考生考试过程“一帆风顺”，已知DF∥BC，∠B＝∠FED，且CE+BC＝DC，求证：AC＝DF． 【变式1-2】（2026•榆林模拟）如图，△ABC与△CED的顶点B、C、E在一条直线上，点A、D在BE上方，∠B＝∠ACD＝∠E，AB＝CE，求证：AC＝CD． 【变式1-3】（2026•新城区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AC的中点，点F在边AB上，过点C作CD∥AB，交FE的延长线于点D．求证：AF＝CD． ▌题型05 已知一角与邻边找该边的对角（AAS） 已经具备一角与邻边对应相等：AB=DE，∠ABC＝∠DEF， 找该边的对角（∠ACB＝∠DFE），通过AAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026•城关区模拟）如图，AE∥BF，∠E＝∠F，AD＝BC．求证：△ACE≌△BDF． 【变式1-1】（2026•天河区校级模拟）已知：AB∥CD，∠A＝∠C，DE＝BF，求证：△AEB≌△CFD． 【变式1-2】（2026•西山区校级模拟）如图，已知∠ABD＝∠ACD＝90°，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD． 【变式1-3】（2026•五华区校级模拟）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，AC∥BD，求证：△AOC≌△BOD． ▌题型06 已知一边与对角找另一角（AAS） 已经具备一边与对角对应相等：AB=DE，∠ACB＝∠DFE， 找另一角（∠ABC＝∠DEF或∠BAC＝∠EDF），通过AAS证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026春•茂南区期末）如图，已知AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上，∠BAE＝∠BAD+∠B，且AE＝BC．求证：△ABC≌△DAE． 【变式1-1】（2026•亭湖区三模）如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝40°，求∠AEB的度数； （2）若∠EDC＝∠C，求证：△AEC≌△BED． 【变式1-2】（2026•大理州模拟）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E是边BC延长线上一点，BD＝EC，点F为△ABC外一点，连接DF，EF，∠A＝∠F，AC∥DF，求证：△ABC≌△FED． 【变式1-3】（2026春•章丘区期末）如图，已知：在△ABC中，AM是△ABC的中线，MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC，且BP⊥MP于点P，CQ⊥MQ于点Q． （1）求证：MP⊥MQ； （2）求证：△BMP≌△MCQ． ▌题型07 已知两角找夹边（ASA） 已经具备两角对应相等：∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， 找夹边（BC＝EF），通过ASA证明△ABC≌△DEF。 【典例1】（2026•桥东区二模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝40°，求∠E的度数． 【变式1-1】（2026•白河县校级模拟）如图，在△ABC中，D为边AB上的一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，连接CF，使得CF∥AB．求证：AD＝CF． 【变式1-2】（2026春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E，F为直线CD上的点，连接AE，BF，且AE∥BF． （1）求证：△ADE≌△BDF； （2）若CF＝15，CE＝8，求DE的长． 【变式1-3】（2026春•高安市期末）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O是正方形OEFG的一个顶点，OE交AB于点M，OG交BC于点N． （1）求证：△AOM≌△BON； （2）如果两个正方形的边长都是a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？请写出证明过程． ▌题型08 已知直角与直角边找斜边（HL） 已经具备直角∠ABC＝∠DEF＝90°，一组直角边对应边相等：AB＝DE（或BC＝EF）， 找斜边（AC＝DF），通过HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF。 【典例1】（2026春•南海区校级月考）如图，A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD，AE＝DB，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF． 【变式1-1】（2025秋•苍南县校级期末）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，且AB＝EF，AD＝CE，求证：△ABC≌△EFD． 【变式1-2】（2026春•南海区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC． 【变式1-3】（2025秋•丰满区校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM、ON上，点C在∠MON的内部，已知AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E，且AD＝BE，求证：OC平分∠MON． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 三角形全等的判定思路 （题型突破·举一反三） ▌题型01 已知两边找第三边（SSS） 【典例1】 【解答】解：∵点A、B、E、D在同一条直线上，AE＝BD， ∴AE﹣BE＝BD﹣BE， ∵AB＝AE﹣BE，DE＝BD﹣BE， ∴AB＝DE． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【变式1-1】 【解答】证明：∵点E是线段BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SSS）． 【变式1-2】 【解答】证明：连接BD， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∴∠A＝∠C． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SSS）， ∴∠D＝∠B． （2）由（1）得，△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠CFB， ∵∠AED+∠AEO＝180°，∠CFB+∠CFO＝180°， ∴∠AEO＝∠CFO， ∴AE∥CF． ▌题型02 已知两边找夹角（SAS） 【典例1】 【解答】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE． ∵BF＝CE， ∴BF﹣BE＝CE﹣BE， 即EF＝CB． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1-1】 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∵BC＝BF+FC，EF＝CE+FC， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1-2】 【解答】证明：∵∠ECB＝∠ACD， ∴∠ECB﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， 即∠ACB＝∠ECD， ∵AC＝EC，BC＝DC， ∴△ABC≌△EDC（SAS）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）等腰△ABC和等腰△ADE的位置如图1所示，分别连接BD、EC并延长交于点F，则： ①因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 所以∠BAD＝∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中， ， 所以△ABD≌△ACE（SAS）， 所以CE＝BD＝7． ②因为AD＝AE，∠DAE＝130°， 所以， 因为△ABD≌△ACE， 所以∠ADB＝∠AEC， 因为∠F＝∠EDB﹣∠FED ＝∠EDA+∠ADB﹣∠FED， ＝∠ADE+∠AEC﹣∠FED ＝∠ADE+∠AED ＝25°+25° ＝50°． （2）现计划对该种植田进行扩建，在AC右侧找一点D，连接BD、AD、CD，沿BD、CD、BC设置隔离栏（宽度忽略不计）， 因为EG＝ED，AE⊥BD， 所以AG＝AD， 所以∠AGD＝∠ADG， 所以∠GAD＝180°﹣∠ADG﹣∠AGD＝180°﹣2∠ADG． 因为AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB， 所以∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ACB， 因为∠ADB＝∠ACB， 所以∠BAC＝∠GAD， 所以∠BAC﹣∠GAC＝∠GAD﹣∠GAC， 即∠BAG＝∠CAD， 因为在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD（SAS）， 所以BG＝CD， 因为BE＝100米，EG＝ED， 所以BD+CD＝BG+EG+ED+CD＝2（BG+EG）＝2BE＝200米， 所以总长度为BD+CD+BC＝200+160＝360（米）． ▌题型03 已知一角与邻边找该角的另一边（SAS） 【典例1】 【解答】解：△BCE与△BDE全等，理由如下： ∵AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，AB＝AB， ∴△ACB≌△ADB（SAS）， ∴BC＝BD，∠CBE＝∠DBE， ∵BE＝BE， ∴△BCE≌△BDE（SAS）． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABF与△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠B＝∠D； （2）解：BF＝DE，BF∥DE， 理由：∵△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED， ∴DE∥BF． 【变式1-2】 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， 则∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴BC＝DE． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． ▌题型04 已知一角与邻边找该边的另一角（ASA） 【典例1】 【解答】（1）∵DE∥BC， ∴∠GBH＝∠E（两直线平行，内错角相等）， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE； （2）∵G为BE的中点， ∴BG＝EG， 在△BGH和△EGF中， ， ∴△BGH≌△EGF（ASA）， ∴BH＝EF， ∴BD＝DE＝DF+EF＝DF+BH． 【变式1-1】 【解答】证明：∵DC＝DE+EC，且CE+BC＝DC， ∴CE+BC ＝ DE+EC， ∴BC＝DE， ∵DF∥BC， ∴∠FDE＝∠ACB， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（ASA）， ∴AC＝DF． 【变式1-2】 【解答】证明：∵∠ACE＝∠B+∠A，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠B＝∠ACD， ∴∠A＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ∴△ABC≌△CED（ASA）， ∴AC＝CD． 【变式1-3】 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△AEF与△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（ASA）， ∴AF＝CD． ▌题型05 已知一角与邻边找该边的对角（AAS） 【典例1】 【解答】证明：∵AE∥BF， ∴∠A＝∠B， ∵AD＝BC， ∴AC＝BD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（AAS）． 【变式1-1】 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠D， ∵DE＝BF， ∴DE﹣EF＝BF﹣EF， ∴DF＝BE． 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（AAS）． 【变式1-2】 【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）． 【变式1-3】 【解答】证明：∵AB与CD相交于点O， ∴∠AOC＝∠BOD， ∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）． ▌题型06 已知一边与对角找另一角（AAS） 【典例1】 【解答】证明：∵AB∥DE，点A、C、D在同一条直线上， ∴∠BAC＝∠D， ∵∠BAE＝∠BAD+∠B，且∠BAE＝∠BAD+∠DAE， ∴∠BAD+∠B＝∠BAD+∠DAE， ∴∠B＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵∠A＝∠B，∠BOE＝∠AOD，点D在AC边上，AE和BD相交于点O， ∴∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2，∠2＝40°， ∴∠AEB＝∠1＝∠2＝40°； （2）证明：∵∠EDC＝∠C， ∴EC＝ED， 由（1）知∠AEB＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AED＝∠AEB+∠AED， 即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 【变式1-2】 【解答】证明：∵BD＝EC， ∴BD+DC＝EC+DC， 即BC＝ED， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠FDE， 在△ABC与△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（AAS）． 【变式1-3】 【解答】证明：（1）∵MP平分∠AMB，MQ平分∠AMC， ∴∠AMP∠AMB，∠AMQ∠AMC， ∴∠PMQ＝∠AMP+∠AMQ∠AMB∠AMC （∠AMB+∠AMC） 180° ＝90°， ∴MP⊥MQ； （2）由（1）知，MP⊥MQ， ∵BP⊥MP， ∴BP∥QM，∠BPM＝90°，∠CQM＝90°， ∴∠PBM＝∠QMC， ∵AM是△ABC的中线， ∴BM＝MC， 在△BMP和△MCQ中 ， ∴△BMP≌△MCQ（AAS）． ▌题型07 已知两角找夹边（ASA） 【典例1】 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠PAC＝∠CAE+∠PAC， ∴∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE， ∴∠E＝∠ACE． ∵∠BAD＝∠CAE＝40°， ∴∠E＝∠ACE（180°﹣40°）＝70°． 【变式1-1】 【解答】证明：在△ABC中，D为边AB上的一点，E为AC的中点， ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE， ∵∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（ASA）， ∴AD＝CF． 【变式1-2】 【解答】（1）证明∵CD是AB边上的中线， ∴AD＝BD， ∵AE∥BF， ∴∠EAD＝∠FBD， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）； （2）解：∵CF＝15，CE＝8， ∴EF＝CF﹣CE＝15﹣8＝7， ∵△ADE≌△BDF， ∴DE＝DF， ∵DE+DF＝EF＝7， ∴DEEF7＝3.5． 【变式1-3】 【解答】（1）证明：在正方形ABCD和OEFG中， ∠OAB＝∠OBC＝45°，AO＝BO，∠AOB＝90°， ∵∠MOB+∠BON＝90°，∠AOM+∠MOB＝90°， ∴∠AOM＝∠BON． 在△AOM和△BON中， ， ∴△AOM≌△BON（ASA）； （2）解：∵△AOM≌△BON， ∴S△AOM＝SBON， ∴ ▌题型08 已知直角与直角边找斜边（HL） 【典例1】 【解答】证明：A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD， ∵AE＝DB， ∴AE+EB＝EB+BD， 即AB＝DE， 在Rt△ABC与Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， 即△ABC≌△DEF． 【变式1-1】 【解答】证明：∵点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE，FD⊥AE，AD＝CE， ∴∠ACB＝∠EDF＝90°，AD﹣CD＝CE﹣CD，即AC＝ED． 在Rt△ABC和Rt△EFD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL） 【变式1-2】 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 【变式1-3】 【解答】证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）， ∴CD＝CE， ∵点C在∠MON的内部，且点C到OM、ON的距离相等， ∴点C在∠MON的平分线上， ∴OC平分∠MON． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $