河北衡水中学教育集团2026-2027学年高三上学期9月第一次限时训练数学试题

2026年9月高三年级第一次限时训练 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，则 A． B． C． D． 4．已知函数（）为偶函数，且，则 A． B． C． D． 5．水平放置的正方形的边，分别平行于，轴．若用斜二测画法得到的直观图面积为，则 A． B． C． D． 6．已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为 A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，且，．当时，，则 A． B． C． D． 8．设．若方程恰有3个不同的实数解，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则 A． B． C． D．，，…，中的最大值为70 10．已知椭圆，点在的第一象限部分上．在点处的切线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，为坐标原点，则 A．切线的方程为 B． C． D．当时，直线的斜率为 11．在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为，面积为．若，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．圆被直线截得的弦长为4，则所有满足条件的实数的和为____________． 13．已知实数，满足，则的最大值为____________． 14．将数字，，…，等可能地随机排成一列，依次记为，，…，．已知，若，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设正项数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式，并证明． （2）对于实数，令．若对任意，恒有，求的取值范围． 16．（15分）已知抛物线的焦点为．过的直线交于，两点，其中在轴上方，在轴下方．过，分别作的切线，两切线交于点． （1）证明：点在一条定直线上，且． （2）记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 17．（15分）某工厂采用，两种工艺生产同一种产品．为研究生产工艺与产品是否合格之间的关系，随机抽取160件产品，得到如下列联表： 合格 不合格 合计 60 20 80 20 60 80 合计 80 80 160 （1）根据小概率值的独立性检验，判断生产工艺与产品是否合格是否有关；并用样本频率分别估计采用工艺A，B时产品合格的概率． 附：，． （2）将第（1）问所得估计值作为相应的实际概率．工厂按下面规则连续生产：第一次以相等概率选择工艺或；若某件产品合格，则下一次继续使用本次工艺；若不合格，则下一次改用另一种工艺．在给定本次所用工艺的条件下，每次产品是否合格与此前的生产情况无关．记前件产品中合格产品的件数为． 已知：对随机变量，，…，，有 （ⅰ）设表示第一次采用工艺，若，求． （ⅱ）求． 18．（17分）如图，在四面体中，，，，． 点为的中点． （1）证明：平面，且． （2）点，分别在线段，上，且． （ⅰ）设平面与平面所成的锐二面角为，求的取值范围． （ⅱ）设平面与平面的夹角为．设锐角满足，证明：，并求等号成立时与的值． 19．（17分）设函数，．对于实数，考虑方程． （1）证明：当时，． （2）求实数的取值范围，使得方程在区间内恰有三个不同的实数解． （3）当时，记方程在内的唯一解为．分别求实数，的最小值，使得对于任意，恒有． 学科网（北京）股份有限公司 $