奥数培优第2讲 数阵图——封闭型数阵（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数培优 · ★★★★★ 第2讲 数阵图——封闭型数阵 讲 次 第 2 讲 专 题 数阵图——封闭型数阵 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 第 1 讲辐射型数阵；1～20 以内求和；整除判断；有序枚举 核心方法 整体求和；重叠数之和分析；数字组合筛选；分组配对；试填与验算 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 认识封闭型数阵，能分辨封闭型与辐射型；理解“顶点即重叠数、每个顶点被多加 1 遍”的含义；掌握封闭型数阵核心等式（全部数字之和＋重叠数之和＝每边和×边数）；会解“已知公共和”“公共和未知”“复合型”三类题；能筛选合法数字组合、分组配对并试填验算。 过程与方法 经历“求总和→算重叠数之和→筛选数字组合→分组配对→试填→逐条验算”的完整过程；体会整体思想、枚举与排除思想。 思维品质 提升综合推理能力与数感；养成“先整体、后局部，不盲目试猜”的严谨习惯；能分辨多解与无解。 情感态度 感受数阵的逻辑之美，体验从整体到局部的分析方法，培养耐心推敲、严谨验算的数学素养。 【知识导入】 回顾：上一讲我们学习了辐射型数阵——只有 1 个中心重叠数，线条从中心向外发散。 想一想：如果把图形“封闭”起来，围成三角形、四边形或相交圆环，重叠的位置还会只有 1 个吗？ 发现：封闭图形有几个“顶点”（或相交处），就有几个重叠数。每个顶点都只被重复多加 1 遍。 本讲重点：封闭型数阵一般不求“某一个重叠数”，而是先求“所有重叠数加起来的和”，再一步步回推出每个数。 一、知识导航 3.1 什么是封闭型数阵 把一些数填入一个封闭图形的若干个“圈”里，使每条边（或每个圆）上的数字之和都相等，这样的图形叫做封闭型数阵。 记法：封闭型 m－n 图。m 表示边（或圆）的条数，n 表示每条边（或每个圆）上数字的个数。 例如：三角形每条边放 3 个数，叫封闭型 3－3 图；四边形每条边放 3 个数，叫封闭型 4－3 图。 两类数阵对比： 类型 重叠位置 重叠次数 辐射型 1 个中心 中心被重叠 2 次或更多 封闭型 多个顶点（或相交处） 每个顶点只被多加 1 遍 封闭型结构示意：橙色圈为顶点（重叠位置），蓝色圈为边上位置 3.2 核心公式（重中之重） 全部数字之和 ＋ 所有重叠数之和 ＝ 每边（圆）的数字之和 × 边（圆）的条数 为什么？把所有边（圆）全部相加一遍，每个顶点（重叠数）被算了 2 次，比原来多算了 1 次。所以要在“全部数字之和”上，再加一遍“所有重叠数之和”。 用符号表示： T ＋ V ＝ S × n　　（其中 V ＝ S × n － T） T：全部数字之和；V：所有重叠数（顶点）之和；S：每条边（圆）的公共和；n：边（圆）的条数。 3.3 三类常见题型 题型 已知条件 解题思路 类型 A 已知每边（圆）的和 直接套公式，算出全部重叠数之和，再在给定数字中找组合 类型 B 公共和未知 重叠数之和必须能被边数整除，枚举其全部合法取值，再求公共和 类型 C 复合型（多圆相交、重叠次数不同） 分清每个位置重叠几次，分别统计，再列等式求解 3.4 解题六步法 ① 求总和：把题目给出的全部数字相加，记作 T。 ② 数图形：数清有几条边（几个圆），标出哪些位置是重叠的顶点。 ③ 代公式：用核心等式算出“重叠数之和”V。 ④ 筛组合：在给定数字里找出所有相加等于 V 的组合。 ⑤ 分组配：算每条边（圆）除去顶点后还差多少，把剩余数字分组配对。 ⑥ 试填验：把数字填入图中，位置不合适就调换，最后逐条求和验算。 二、典例精讲 例 1【类型 A：三角形封闭型，已知每边和】 【题目】将 1、2、3、4、5、6 这六个数填入三角形数阵（如图），使三角形每条边上的 3 个数之和都等于 12。 分析：三角形有 3 条边、3 个顶点，每个顶点都是重叠数（被多加 1 遍）。全部数字之和 T＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21；每边和 S＝12，边数 n＝3。 详解：第一步，求重叠数之和：V＝S×n－T＝12×3－21＝15，即 3 个顶点上的数加起来是 15。 第二步，筛组合：从 1～6 中选 3 个不同的数相加得 15，只有 4＋5＋6＝15 这一组，所以 3 个顶点填 4、5、6。 第三步，算边上：每条边还差“12－两个顶点之和”——边 4—5 中间填 12－4－5＝3；边 5—6 中间填 12－5－6＝1；边 6—4 中间填 12－6－4＝2。 第四步，验算：4＋3＋5＝12，5＋1＋6＝12，6＋2＋4＝12，三条边都等于 12，全部数字只用一遍。✓ 例1 填法 方法点睛：已知每边和时，先用公式算出“重叠数之和”，再从数字集合中找出符合的组合。顶点确定后，边上数字用“每边和－两个顶点”逐个算出。 例 2【类型 A：双圆相交，已知圆周和】 【题目】将 1～8 这八个数填入两个相交大圆（如图），使每个大圆上的 5 个数之和都等于 20。 分析：两个大圆相交，中间有 2 个位置同时属于两个圆，这 2 个数就是重叠数。全部数字之和 T＝1＋2＋…＋8＝36；每个圆和 S＝20，圆数 n＝2。 详解：第一步，求重叠数之和：V＝S×n－T＝20×2－36＝4，即两个重叠数加起来是 4。1～8 中两数相加得 4，只能是 1＋3。 第二步，定重叠数：中间两处填 1 和 3。 第三步，分组配：每个圆除去 1、3 后，其余 3 个数之和＝20－4＝16。剩余数字 {2、4、5、6、7、8} 分成两组，每组 3 个数、和为 16：2＋6＋8＝16，4＋5＋7＝16。 第四步，验算：左圆 1＋3＋2＋6＋8＝20 ✓，右圆 1＋3＋4＋5＋7＝20 ✓。 例2 填法（每圆和=20） 方法点睛：相交封闭图形，“重叠数之和”＝圆周和×圆数－数字总和。算出重叠数之和后，再把剩余数字分组配对，凑出每个圆还缺的和。 例 3【类型 B：三角形封闭型，边和未知】 【题目】将 2、3、4、5、6、7 这六个数填入三角形数阵，使每条边上的 3 个数之和都相等。问：公共和可能是多少？ 分析：6 个数的总和 T＝2＋3＋4＋5＋6＋7＝27。边和 S 未知，由核心等式 V＝S×3－27，3 个顶点的和必须能被 3 整除，且在一定范围内。 详解：第一步，找 V 的范围：3 个顶点是 2～7 中不同的 3 个数，最小 2＋3＋4＝9，最大 5＋6＋7＝18。 第二步，用整除筛选：V 必须能被 3 整除，9≤V≤18，所以 V 可取 9、12、15、18。 第三步，逐个试填：V＝9（顶点 2、3、4）时边和 S＝12；V＝12（顶点 2、4、6）时 S＝13；V＝15（顶点 3、5、7）时 S＝14；V＝18（顶点 5、6、7）时 S＝15。注意 V＝12 时顶点 2、3、7 或 3、4、5 会产生中间数重复或超范围，应排除。 第四步，逐组验算：四种填法分别验算，每条边和都相等。✓ 边和=12 边和=13 边和=14 边和=15 答：公共和可能是 12、13、14、15，共 4 种不同填法。 方法点睛：公共和未知时，利用“重叠数之和必须能被边数整除”锁定其全部可能值，再一一试填筛选，多解要全部列出。 例 4【类型 A：四边形封闭型，已知每边和】 【题目】将 1、2、3、4、5、6、8、9 这八个数填入四边形数阵（如图），使四边形每条边上的 3 个数之和都等于 14。 分析：四边形有 4 条边、4 个顶点，4 个顶点都是重叠数。全部数字之和 T＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＝38；每边和 S＝14，边数 n＝4。 详解：第一步，求重叠数之和：V＝S×n－T＝14×4－38＝18，即 4 个顶点上的数加起来是 18。 第二步，筛组合：从给定数字中选 4 个不同的数相加得 18，候选有 {1,2,6,9}、{1,3,5,9}、{1,3,6,8}、{1,4,5,8}、{2,3,4,9}、{2,3,5,8}、{3,4,5,6} 共 7 组。 第三步，排除筛选：关键！每边中间数＝14－相邻两个顶点之和，它必须是题目给的数（不能是 7、0 或重复数字）。逐个试填，只有 {2,3,5,8} 可行——边 2—3 中间填 9，边 3—5 中间填 6，边 5—8 中间填 1，边 8—2 中间填 4。其余 6 组都会出现中间数为 7（不在集合里）或数字重复，全部排除。 第四步，验算：2＋9＋3＝14，3＋6＋5＝14，5＋1＋8＝14，8＋4＋2＝14，四条边都等于 14，全部数字只用一遍。✓ 例4 填法（每边和=14） 方法点睛：多边形封闭数阵除了“总和”约束，还有“取值范围”约束——边上中间数必须是题目给的数。找出全部候选组合后，一定要逐个试填，把产生超范围或重复数字的组合排除。 例 5【类型 C：三圆相交复合型】 【题目】将 1、2、3、4、5、6、7 填入三圆相交数阵（如图），使每个圆内的 4 个数之和都等于 14。 分析：这是复合型数阵，重叠次数不一样：最中间的数同时属于 3 个圆，被多加 2 次；三个圆两两相交处的数各属于 2 个圆，各被多加 1 次；最外圈的 3 个数各只属于 1 个圆，不重复。全部数字之和 T＝1＋2＋…＋7＝28；3 个圆，每个圆和 S＝14。 详解：第一步，列等式：把 3 个圆全部相加，42＝28＋中间数×2＋三个中层数之和，所以中间数×2＋中层三数之和＝14。 第二步，定中间数：取中间数＝1，则中层三数之和＝12，可填 2、4、6；取中间数＝2，中层三数和＝10，可填 1、4、5 也可行。中间数取更大值时，剩余数字无法凑出相应和，排除。 第三步，配外层：外层数＝每圆和 14－中间数－该圆两个中层数。以中间数 1、中层 2、4、6 为例：圆1（含 2、4）外层 14－1－2－4＝7；圆2（含 4、6）外层 14－1－4－6＝3；圆3（含 6、2）外层 14－1－6－2＝5。 第四步，验算：1＋2＋4＋7＝14，1＋4＋6＋3＝14，1＋6＋2＋5＝14，三个圆都等于 14，全部数字只用一遍。✓ 例5 填法（每个圆和=14） 方法点睛：复合型数阵一定要分清每个位置被多加了几次——重叠 1 次、重叠 2 次的要分别统计，再列等式求解。这是本讲最考验读图能力的一类题。 三、方法总结与口诀 题型 突破口 核心方法 检验要点 封闭型·已知公共和 先算重叠数之和 V＝S×n－T，再找数字组合 组合要试填，部分无解 封闭型·公共和未知 重叠数之和能被边数整除 枚举 V 的全部合法取值，再求 S 多解要全部列出 多边形封闭（三角、四边形） 顶点即重叠数，各重叠 1 次 先求 V，再筛组合、分组配对 边上中间数必须属于给定数字 复合型相交数阵 区分每个位置重叠次数 分别统计重叠 1 次、重叠 2 次 不要统一当作重叠 1 次 📢【解题口诀】 封闭数阵有规律，先看图形数分明； 顶点都是重叠点，几个顶点几重叠； 先求数字总和数，边数乘和减总和，就是顶点总数值； 找到组合先莫慌，试填验算才放心； 范围之外不能用，数字重复要排除； 最后逐条加一遍，不重不漏才算赢！ 四、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 把封闭型当成辐射型，只求某一个重叠数 封闭型先求所有重叠数之和，再回推每个数 算出重叠数之和后，不筛选直接乱填 必须用题目给的数，按“和相等”找组合 找到组合就直接填，不试填 候选组合不一定可行，要试填筛选，部分无解 忽略取值范围，中间数随便填 边上中间数必须是题目数字集合里的数 复合型把所有重叠位置都当重叠 1 次 分清重叠 1 次、重叠 2 次，分别统计 填完只验算一条边 把每一条边（每一个圆）全部求和核对 五、分层训练 A 组｜基础过关 【题目】A1. 将 1、2、3、4、5、6 这六个数填入三角形数阵，使每条边上的 3 个数之和都等于 10。 【题目】A2. 将 1～8 这八个数填入两个相交大圆，使每个大圆上的 5 个数之和都等于 22。 B 组｜能力提升 【题目】B3. 将 1、2、3、4、5、6、7、9 这八个数填入四边形数阵，使每条边上的 3 个数之和都等于 13。 【题目】B4. 将 3、4、5、6、7、8 这六个数填入三角形数阵，使每条边上的 3 个数之和都相等。问：公共和可能是多少？ C 组｜挑战冲刺 【题目】C5. 将 2、4、6、8、10、12、14 填入三圆相交数阵，使每个圆内的 4 个数之和都等于 26。 【题目】C6. 将 1～9 这九个数填入加密三角形数阵（每条边 4 个数、共 9 个圈），使每条边上的 4 个数之和都等于 20。 六、参考答案与详细解析 A 组 【题目】A1. 解析：T＝1＋2＋…＋6＝21；每边和 S＝10，边数 3。V＝10×3－21＝9，即 3 个顶点之和为 9。 1～6 中 3 个数相加得 9 的候选：{1,2,6}、{1,3,5}、{2,3,4}。逐个试填：{1,2,6} 中边 1—2 的中间数需 10－1－2＝7，超范围，排除；{2,3,4} 中边 3—4 的中间数 10－3－4＝3，与顶点重复，排除。只有 {1,3,5} 可行。 答：顶点填 1、3、5，边上依次填 6、2、4。验算：1＋6＋3＝10，3＋2＋5＝10，5＋4＋1＝10。✓ A1 填法 【题目】A2. 解析：T＝1＋2＋…＋8＝36；每圆和 S＝22，圆数 2。V＝22×2－36＝8，即两个重叠数之和为 8。 1～8 中两数和为 8 的候选：{1,7}、{2,6}、{3,5}，都可行： · 重叠 {1,7}：每圆其余 3 数和＝22－8＝14，剩余 {2,3,4,5,6,8} 分成 {2,4,8} 与 {3,5,6}； · 重叠 {2,6}：每圆其余 3 数和＝14，剩余 {1,3,4,5,7,8} 分成 {3,4,7} 与 {1,5,8}； · 重叠 {3,5}：每圆其余 3 数和＝14，剩余 {1,2,4,6,7,8} 分成 {1,6,7} 与 {2,4,8}。 答：中间可填 1、7（或 2、6，或 3、5），相应分组配对，填法不唯一。下图取重叠 {1,7} 一组。 A2 填法（取重叠 1、7） B 组 【题目】B3. 解析：T＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋9＝37；每边和 S＝13，边数 4。V＝13×4－37＝15，即 4 个顶点之和为 15。 候选组合：{1,2,5,7}、{1,3,4,7}、{1,3,5,6}、{2,3,4,6}。逐个试填：{1,2,5,7} 边 1—2 中间数 10，超范围；{1,3,5,6} 边 3—5 中间数 5，与顶点重复；{2,3,4,6} 边 2—3 中间数 8，不在数字集合；只有 {1,3,4,7} 可行。 答：顶点填 1、3、4、7，边上依次填 9、6、2、5。验算：1＋9＋3＝13，3＋6＋4＝13，4＋2＋7＝13，7＋5＋1＝13。✓ B3 填法 【题目】B4. 解析：T＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33。V＝S×3－33，3 个顶点之和：最小 3＋4＋5＝12，最大 6＋7＋8＝21。V 必须能被 3 整除，可取 12、15、18、21。 · V＝12（顶点 3、4、5），S＝(33＋12)÷3＝15，可行； · V＝15（顶点 3、5、7），S＝16，可行（顶点 4、5、6 会产生重复，排除）； · V＝18（顶点 4、6、8），S＝17，可行（顶点 3、7、8 会产生重复，排除）； · V＝21（顶点 6、7、8），S＝18，可行。 答：公共和可能是 15、16、17、18，共 4 种填法。 公共和=15 公共和=16 公共和=17 公共和=18 C 组 【题目】C5. 解析：T＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56；每圆和 S＝26，圆数 3。3×26＝56＋中间数×2＋中层三数之和，即中间数×2＋中层三数之和＝78－56＝22。 尝试：中间数＝2 时，中层三数之和＝22－4＝18，可填 4、6、8；中间数取更大值时，剩余数字凑不出相应和，排除。 外层数＝26－2－对应两中层数：圆1（含 4、6）外层 14；圆2（含 6、8）外层 10；圆3（含 8、4）外层 12。 答：中间填 2，中层填 4、6、8，外层填 14、10、12。验算：2＋4＋6＋14＝26，2＋6＋8＋10＝26，2＋8＋4＋12＝26。✓ C5 填法 【题目】C6. 解析：T＝1＋2＋…＋9＝45；每边和 S＝20，边数 3。V＝20×3－45＝15，即 3 个顶点之和为 15，可取 1、5、9。 每条边除去两个顶点后还差：边 1—5 还差 20－1－5＝14，填 6、8（和 14）；边 5—9 还差 20－5－9＝6，填 2、4（和 6）；边 9—1 还差 20－9－1＝10，填 3、7（和 10）。 答：顶点填 1、5、9；三条边分别补 6、8；2、4；3、7。验算：1＋6＋8＋5＝20，5＋2＋4＋9＝20，9＋3＋7＋1＝20。✓ C6 填法 七、本讲小结 ✦ 封闭型数阵：三角形、四边形、五边形、相交圆环等封闭图形，顶点即重叠数，每个顶点只被多加 1 遍。 ✦ 核心等式：全部数字之和 ＋ 所有重叠数之和 ＝ 每边（圆）的数字之和 × 边（圆）的条数。 ✦ 三类题型：已知公共和（直接算 V 再筛组合）；公共和未知（用整除约束锁定 V）；复合型（分清重叠次数，分别统计）。 ✦ 解题流程：求总和 → 认图形 → 算重叠数之和 → 筛组合 → 分组配对 → 试填验算。 ✦ 重要提醒：算出重叠数之和只是第一步，候选组合不一定可行，必须试填验算，会存在无解情况。 八、学习建议 1. 拿到题目先判断：辐射型（1 个中心重叠）还是封闭型（多个顶点重叠）？两者公式不同。 2. 先整体求和，再算重叠数之和，不要一上来就猜数字。 3. 把满足条件的数字组合全部写出来，逐个试填筛选，不要只写一组就填。 4. 多边形注意相邻两个顶点之和不能太大也不能太小，防止中间数超出数字集合。 5. 复合型数阵，先用笔标出每个位置重叠几次，再列等式。 6. 验算必不可少：把每条边（每个圆）全部求和核对，做到不重不漏。 —— 祝贺你完成第本讲的学习！—— 学科网（北京）股份有限公司 $