2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”核心知识点，承接直线与圆的位置关系，系统梳理用代数法（联立方程、消元后讨论二次项系数与判别式）判断相交、相切、相离的方法，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的特殊情形，构建从特殊到一般的认知支架。 资料通过“随学随练-题型示例-基础通关-素养提升”分层设计，结合椭圆与直线相切求离心率等例题，培养数学思维（推理与运算能力）和数学语言（模型观念）。课中助力教师系统授课，课后梯度练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章 平面解析几何 2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 课标要点 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线的位置关系.2.会由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围． 学习重难点 重点： 用代数法判断直线与圆锥曲线公共点的个数． 难点： 由直线与圆锥曲线的公共点个数求参数的取值范围． 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离． 2．直线与圆锥曲线相切 一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切． 直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件． 随学随练 1．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 联立直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的方程并消去一个未知数后，得到ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 随学随练 3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 题型直线与椭圆的位置关系 ▌例1（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，已知直线与椭圆恰有一个公共点与圆相交于两点，点与点关于坐标原点对称，若的面积可取到最大值，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2025·山东济宁·二模）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型直线与双曲线的位置关系 ▌例1已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． ▌对点练1-1（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 题型 直线与抛物线的位置关系 ▌例1（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． ▌对点练1-1已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 基础通关 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（25-26高二下·广西柳州·期中）已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆·期中）已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·上海·期中）已知，，在曲线上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 10．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 素养提升 1．（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 2．（25-26高二下·浙江·期中）已知抛物线的焦点为为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足为是的中点，则（    ） A．的最小值为4 B． C． D．若，则直线的斜率为2 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 4．（25-26高二下·安徽·期中）已知点F是抛物线C：的焦点，设直线：与抛物线C有唯一公共点P，过点P作直线的垂线交x轴于点R，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 6．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 8．（25-26高二下·浙江·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上的不同两点，且，则（    ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．对任意实数，都有 D．对任意实数，都有 9．（25-26高二下·湖北·期中）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的斜率为 B．若为等边三角形，则 C．若，则直线的倾斜角为 D．若的面积为，则 10．（25-26高二下·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A．曲线的方程为 B．设，为曲线位于第一象限上的一点，则周长的最小值为 C．点到点的距离最小值为6 D．若为曲线在点处的切线，则直线平分 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 课标要点 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线的位置关系.2.会由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围． 学习重难点 重点： 用代数法判断直线与圆锥曲线公共点的个数． 难点： 由直线与圆锥曲线的公共点个数求参数的取值范围． 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与椭圆的位置关系 当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离． 2．直线与圆锥曲线相切 一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切． 直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件． 随学随练 1．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程写出焦点、准线，设点及其垂足的坐标，再由等腰梯形两腰相等，列距离公式求出的横坐标，接着代入抛物线方程得的纵坐标与的关系；最后用梯形面积公式列方程，结合已知面积求解的值即可. 【详解】因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 设 ，则垂足 ， 由四边形 为等腰梯形，得 ，且 ， 所以，解得 ， 将 代入抛物线方程 ，得： 等腰梯形面积： 因为 ，，，代入得： ， ， ， 又因为 ，所以 . 【点睛】 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 联立直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的方程并消去一个未知数后，得到ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 随学随练 3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线和双曲线方程，根据题意可得直线、的斜率互为相反数，进而结合韦达定理建立关于的方程并求解，再根据双曲线离心率公式求解. 【详解】设，，由 整理得， 则，且， ，. 因为的角平分线与轴始终垂直，所以，恒有， 即，所以， 则， 整理得， 则， 所以， 又，所以， 因此双曲线的离心率为. 4．（25-26高二下·上海松江·期中）过点作斜率为的直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设出直线，联立双曲线，由韦达定理和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】过点作斜率为的直线方程为， 将与联立可得， 显然，， 解得， 设直线与双曲线右支相交的两点分别为， 则， 故，解得， 综上，，显然只有满足要求. 题型直线与椭圆的位置关系 ▌例1（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，已知直线与椭圆恰有一个公共点与圆相交于两点，点与点关于坐标原点对称，若的面积可取到最大值，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆的方程，根据相切，利用判别式可得，进而根据对称以及面积关系得，即可根据点到直线的距离公式，结合离心率公式求解. 【详解】根据题意联立 得， 由．化简整理，得； 因点与点关于坐标原点对称，故到直线的距离是到距离的两倍， 故的面积是的面积的两倍，则的面积取到最大值， 由于的面积为， 故，此时，从而原点到直线的距离， 又，故，代入，可得， 从而，即， 故选：B． ▌对点练1-1．（2025·山东济宁·二模）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解. 【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点， 所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形是矩形， 所以，，所以点在圆上， 则，解得，代入椭圆方程， 又，可得： ， 设（），则上式可化为， 化简可得， 即， 因为，所以，解得. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 题型直线与双曲线的位置关系 ▌例1已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 ▌对点练1-1（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为、． (1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； （2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程； 【详解】（1）由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 题型 直线与抛物线的位置关系 ▌例1（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据题意，转化为点到点的距离等于到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，根据，得到，代入韦达定理，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由点到点的距离比它到直线的距离小1， 则点到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为. （2）解：直线过点，由已知直线的斜率不为， 故设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，所以 因为，可得，所以， 则，解得， 所以直线的方程为或. ▌对点练1-1已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. (1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长； (2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以焦点坐标为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即， 联立，整理得， 设，，所以，， 所以； （2） 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 所以且， 所以，， 所以， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以, 又，，所以，即， 解得，满足且， 所以直线的方程为，即. 基础通关 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由抛物线的定义可得， 所以. 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 3．（25-26高二下·广西柳州·期中）已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：由题有，由双曲线性质有， 所以.所以， 所以.又双曲线方程，则， 所以，则双曲线离心率. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 5．（25-26高二下·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 6．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆：（，）的左右焦点分别为，，离心率，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于，两点（在轴上方），且满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件确定椭圆方程，再设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由离心率 ，故 ，得 ， 椭圆方程可写为：， 将点 代入得 ， 解得 ，， 因此椭圆方程为，则，，， 由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为 ，设 ，由题意， 因, 由 可得 ​，即 ， 由，消去并化简得， 则①，②， 又③， 由①②③可得，则, 解得，则，所以， 所以. 7．（25-26高二下·重庆·期中）已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离. 【详解】 设双曲线上第一象限的点， 则由双曲线可得渐近线方程为，即 所以由点到直线的距离公式可得： 由， 由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得， 即，则代入双曲线得：， 则过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 所以. 8．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点坐标可求出抛物线方程，也可得到直线方程，联立曲线，可得与交点纵坐标有关韦达定理；借助韦达定理计算可得，即可得，即可得A；计算可得B；借助弦长公式计算可得C；借助抛物线定义及韦达定理计算可得D. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为； ，联立，则，恒成立， 设、，则，， 对A：由 ， 故，故A错误； 对B：， 故，故B错误； 对C： ，故C错误； 对D：，， 则 ，故D正确. 9．（25-26高二下·上海·期中）已知，，在曲线上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设,则， ，直线方程为：，即， 所以到直线的距离为 设，由于，显然单调递减， ，无最小值， 即边上的高有最大值，无最小值，又为定值，故面积有最大值，无最小值. 10．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上点到顶点、的斜率之积为，结合直线与倾斜角互补的条件，即可求出，进而求得离心率. 【详解】由双曲线，左右顶点为，则， 因为，所以，得，即. 设，满足，所以， 所以， 设，满足，所以， 所以， 因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以， 又因为，所以，即，所以， 所以. 素养提升 1．（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、过焦点弦的性质及最值问题，结合抛物线定义与坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 2．（25-26高二下·浙江·期中）已知抛物线的焦点为为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足为是的中点，则（    ） A．的最小值为4 B． C． D．若，则直线的斜率为2 【答案】ACD 【详解】 抛物线的焦点为，准线为， 设过点的直线的方程为，联立抛物线方程得： ，由韦达定理得：， 由抛物线定义，则， ， ， 当时，取最小值，最小值为4，故A正确； ，故B错误； 已知是过两点作准线的垂线的垂足，是中点， ，，， ， 故，C正确； ，则，故， 又， ，解得， 直线的方程为，即，斜率为2，故D正确． 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 4．（25-26高二下·安徽·期中）已知点F是抛物线C：的焦点，设直线：与抛物线C有唯一公共点P，过点P作直线的垂线交x轴于点R，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 抛物线：，焦点， 直线：与抛物线有唯一公共点，即相切， 将代入抛物线得， 由得，化简得，故A正确，B错误. 切点坐标：，， 过点作直线的垂线，斜率为，方程为， 令得，即， 计算， ， ， 故恒成立，故C错误，D正确. 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．的面积为3 【答案】AC 【详解】 由题意得，，，即，，. 焦点，，离心率，渐近线方程为，所以A对、B错； 设，则，又，所以，解得或（舍去），所以或， 所以，C对； ，高为，面积，D错. 6．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据抛物线方程求出准线方程；对于选项B，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和向量的数量积判断是否成立；对于选项C，当时，求出直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求出的面积；对于选项D，根据弦长公式和韦达定理进行分析. 【详解】选项A，在抛物线中，，则，所以准线方程为，故A错误. 选项B，抛物线的焦点，设，. 联立，消去x可得. 根据韦达定理，，. 则16. 所以0，则，故B正确. 选项C，当时，直线的方程为，即. 联立，消去可得. 根据韦达定理，，. 则， 点到直线的距离. 所以的面积，故C正确. 选项D，设，因为点在直线上， 联立，消去可得， ，解得或. 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以， 则， ， ， 要验证，即验证： 化简得：， 因为，且. 所以， 所以和同号，即 . 因为， 或时，，与右边相等， 故D正确. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 8．（25-26高二下·浙江·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上的不同两点，且，则（    ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．对任意实数，都有 D．对任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】对于A，设直线的倾斜角为，由条件求出，，代入，求出的值判断；对于B，设直线方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用向量数量积计算即可判断；对于C，利用抛物线的焦半径公式代入后根据基本不等式即可计算判断；对于D,将代入整理，通过换元后利用基本不等式即可得证. 【详解】由可得,不妨设直线的倾斜角为,则. 对于A，若，则,设为锐角，则， 于是，即存在实数，使得，故A正确； 对于B，依题意，知直线经过点，则可设其方程为，代入，可得， 显然，设，则， 于是,故为钝角，故B错误； 对于C，根据B项可得，则， 因，则，则，当且仅当时取等， 即对任意实数，都有，故C正确； 对于D，因，则，将代入，可得， ，则， 设，则，且， 则， 当且仅当，即时取等，故D正确. 9．（25-26高二下·湖北·期中）已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则的斜率为 B．若为等边三角形，则 C．若，则直线的倾斜角为 D．若的面积为，则 【答案】ABD 【分析】先求得p值，设直线l方程并与抛物线联立，由韦达定理得表达式，根据焦半径求出A点坐标，代入斜率公式判断A；根据条件求直线l的斜率，进而求出的值，由弦长公式，即可判断B；由与韦达定理联立求出的值，即可判断C；根据面积公式，求出的值，再求出和结合韦达定理，计算即可判断D. 【详解】依题意，抛物线的准线方程为，解得， 则抛物线C的方程为，， 设直线l的方程为， 联立，得， 则， 选项A：由抛物线定义，得， 代入抛物线方程得，即， 又，所以的斜率，故A正确； 选项B：若为等边三角形，则直线l的倾斜角为，斜率为， 即，解得， 所以，故B正确； 选项C：直线l的方程为，令，得， 则， 因， 由，得， 整理得，由，得， 又，所以，解得， 则直线的斜率，故C错误； 选项D：若的面积， 又，解得， 又，所以， 同理， 则 ，故D正确. 10．（25-26高二下·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A．曲线的方程为 B．设，为曲线位于第一象限上的一点，则周长的最小值为 C．点到点的距离最小值为6 D．若为曲线在点处的切线，则直线平分 【答案】ABD 【分析】对A，根据题意列式求解；对B，由双曲线定义将线段进行转化，结合几何图形得到最值；对 C，由题可得，利用两点间距离公式列式求解；对D，求出曲线在点处的切线方程，求出点，到切线的距离，结合角平分线定理求解判断. 【详解】对于A，点到直线的距离为，到直线的距离为， 由题可得，所以， 又，即，故， 所以曲线的方程为，故A正确； 对于B，由A可知，，，故，所以， 为曲线位于第一象限上的一点，连接， 则， 由双曲线定义可知，所以， 则， 显然当三点共线时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为，周长的最小值为，B正确； 对于C，要使得点到点的距离最小，则点要在双曲线的右支上， 所以，且， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以点到点的距离最小值为，故C错误； 对于D，设点在双曲线上，满足， 则双曲线在点处的切线的方程为，即， 点到切线的距离， 点到切线的距离， 又， ， 所以，即，所以， 结合图象可知，，所以直线平分，故D正确. 试卷第11页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $