4.2.1 课时2 等差数列的性质及应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的性质及应用，涵盖定义、通项公式、等差中项等核心知识，通过设备折旧等实际问题导入，衔接定义与递推公式，构建从基础概念到性质应用的学习支架。 其亮点在于结合实例与几何解释，以设备折旧问题培养数学眼光观察现实世界，通过性质推导发展数学思维推理能力，练习题与总结提升数学语言表达。学生能深化理解，教师可系统教学，提升效率。

4.2.1 课时2 等差数列的性质及应用 等差数列的定义: an－an-1 = d (d为常数, n≥2 , n∈N*) 2. 等差中项： 3. 通项公式: 4. 等差数列与一次函数的关系 5. 通项公式的应用 应用 通项公式 函数与方程 的思想 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一 个常数的数列. 递推公式： a, A , b成等差数列 2A=a+b. an=a1+(n-1)d 一、等差数列的应用 例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围. 220×5%＝11 (万元) 问题1：如何确定d 的取值范围？ 问题2：用等差数列解决实际问题的步骤是什么？ 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 设变量，建立数学模型 判断等差数列 解决该等差数列问题 还原，得出结论 由已知条件，得an － an－1＝－d（n≥2）． 则数列{an}是 首项220－d、公差为－d的等差数列. 所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. a10＝220－10d≥11， a11＝220－11d＜11. 解得19＜d≤20.9 所以， d的取值范围为19＜d≤20.9 例2 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 【思路分析】 （１） 把a1，a2表示为{bn}中的项 利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式 {an}是一个确定的数列 （2） 判断b29是不是{an}的项 设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项 根据条件可以求出n与cn的关系式 例2 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn} 的通项公式. a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 b5 解：（1） 例2 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由. （2） 因为bn=2n, 则b29=2×29=58. 由题意可得an=2+(n-1)×8=8n-6. 令58=8n-6, 解得n=8. 所以，b29是数列{an}的第8项. 例2 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由. 问题1: 如果插入k个数，公差为多少？ 问题2: 还有其他方法能判断b29是否为数列{an}的项吗？ 例3 已知等差数列{an}的通项公式an=3n-1. （1)计算下列各式： a1+a9 = ; a2+a8 = ; a3+a7 = ; a5 +a5 = ; a10 = . a1+a14 = ; a3+a12 = ; a5+a10 = ; a15 = . (2)观察（1）中的结果，你能得到什么结论吗？ 28 28 28 28 44 43 43 （3）你能写出（2）中结论的一般形式并证明它吗？ 29 43 a1+a9=a2+a8 = a3+a7 =a5 +a5 a1+a14=a3+a12 = a5+a10 二、等差数列的性质 例4：已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t,∈N*,且p+q=s+t, 求证ap + aq = as + at. 设数列{an}的公差为d, 则ap =a1+(p-1)d, aq =a1+(q-1)d, as =a1+(s-1)d, at =a1+(t-1)d. 所以ap + aq =2a1+(p+q-2)d, as + at =2a1+(s+t-2)d. 因为p+q=s+t,所以ap + aq = as + at. 证明： 1.判断：等差数列中，下列各式是否正确？ 等差数列的性质可推广到三项，四项等. 注意：等式两边作和的项数必须一样多. √ √ √ 练一练 等差数列的项的对称性： 18 10 15 2.已知数列{an}是等差数列， (1)若a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________. (2)a6+a9+a12+a15=20，则a1+a20= ； (3)a3+a11=10，则a6+a7+a8= ； 练一练 若a1,a2,a3,…,an是有穷等差数列，则与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1 3.已知数列{an}是等差数列， 若a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5＝______. 法一： (a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝30， ∴3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝30 即a1＋6d =10 ∴a3－2a5＝a1＋3d－2(a1＋4d) =－a1－6d =－(a1＋6d) =－10 -10 法二： 根据等差数列性质， 可得a4＋a10＝2a7 a4＋a7＋a10＝30＝3a7 即a7 =10 ∴a3－2a5＝a3－(a3+a7) =－a7=－10 练一练 1.若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为   的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为    的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为    的等差数列． 2.若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为         的等差数列． 等差数列的性质拓展： 思考： 你能结合下列图形，从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 在等差数列{an}中，若p＋q＝s＋t (p，q，s，t∈N*) ，则ap＋aq＝as＋at . 思路一：中位线相等 思路二：斜率相等 S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 结论：等差数列{an}，其通项公式为an＝dn＋b.那么数列{an}上任一有序数对(n，an)对应的点都在直线y＝dx＋b上，且数列{an}的公差d等于该直线的斜率． 4.下列说法是否正确？并说明理由． 数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等． 正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 练一练 一、等差数列通项公式及推广 二、等差数列的性质 (1)特别地，m+n=2k(m,n,k∈N*)时，am+an=_____. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1 (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列； ③{an+an+k(k为常数，k∈N*)是公差为___的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列，则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为________的等差数列. 1．在等差数列{an}中，若a1＋a7＝14，则a4＝( 　 ) A．7 B．8 C．14 D．16 [答案]　A 2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10＝________. [答案]　4 [解析]　a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10， ∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝6(a4＋a10)＝24， ∴a4＋a10＝4. 3．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝________. [答案]　90 [解析]　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90. 2d pd1＋qd2 d cd 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) cd 2d pd1＋qd2 2ak d [解析]　在等差数列{an}中，a1＋a7＝2a4，所以a4＝＝7. $