3.1.3 函数的奇偶性-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第-一册人教B版 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 例1判断下列函数的奇偶性： 学习目标 (1)fx)=x+1-lx-1l. 1.能够结合具体函数，了解函数奇偶性 (2)fx)=Vx2-1+V1-x2」 的概念及几何意义，明确奇偶性就是函数图 (3)fx)=2x 象的对称性 x-1 2.能够正确判断简单函数的奇偶性， x+1,x>0, (4)f(x)= 3.能够利用奇偶性求函数的解析式 1-x,x<0. 分析 一定要注意奇、偶函数的定义 要点精析 域是关于原点对称的 川要点1函数奇偶性的判断 1.偶函数 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定 义域为D,如果对D内的任意一个x,都 有-x∈D,且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶 函数. (2)图象特征：函数图象关于y轴对称. 2.奇函数 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定 义域为D,如果对D内的任意一个x,都 有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇 函数， (2)图象特征：函数图象关于原点对称. 思考在研究函数的奇偶性时，函数 ,的定义域应该满足什么条件？ (66)学 第三章函数。 变式训练1 (多选题)下列说法正确的有() A)+士是奇函数 Bg)=Y二既不是奇两数也不是偶 函数 C.F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数 D.h(x)=Vx24-V4-x2既是奇函数又是 偶函数 川要点2奇、偶函数的图象 例2已知函数yf(x)是定义在R上的 偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画 出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. 变式训练2 已知f代(x)是R上的偶函数，g(x)是R上 2 +-+---f -- 的奇函数，它们的部分图象如图所示，则 -2012-1x f(x)g(x)的图象大致是() 111 图3-1-3 (1)请补充完整函数y=f(x)的图象. f(x) g(x) (2)根据图象写出函数y代x)的增区间. (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值 图1 图2 集合 图3-1-4 分析奇函数图象关于原点对称，是 中心对称图形；偶函数图象关于y轴对称， 是轴对称图形. g 学(67 N 高中数学必修第一册人教B版 反思感悟 要点3利用函数的奇偶性求函数值、函 数解析式 (1)对于函数f(x)=ao+ax+a22+…+ ax(n∈N) 例3(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b 若其为奇函数，则f八-x)=-f(x),即ao 是偶函数，且定义域为[a-1,2a],则 a+a2x2+…+an(-x)=-a-at-a22-…-ax,所 a= ,b= 以ao+a2x2+a44+…=0,即x的偶次项的系数 (2)若已知函数f(x)=r+b是定义在 为零 1+x2 若其为偶函数，则f(-x)=f(x),即ao (山，1)上的奇函数，且行)=号，求函数 ax+ax2+…+an(-x)P=ao+ax+a2x2+…+ax，所 f(x)的解析式 以a1+ax3+ax+…=0,即x的奇次项的系数 为零 (2)f(x)为奇函数，如果f(0)有意义， 由f(-0)=-f(0),则f(0)=0. 但是一定要注意，函数f(x)为奇函数 不是f0)=0的充分条件，比如fx)=1 (3)一般地，在定义域存在的情况下， 对于函数f(x)和g(x),它们的奇偶性与它 们之间进行四则运算或复合得到的新函数 的奇偶性，有如下结论： 奇函数±奇函数是奇函数； 偶函数±偶函数是偶函数； 奇函数±偶函数一般情况是非奇非偶 函数； 奇函数×奇函数是偶函数； 奇函数×偶函数是奇函数； 偶函数×偶函数是偶函数」 若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则 f(g(x),g(f(x))为奇函数； 若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则 f八g(x)),g(f(x)为偶函数； 若f(x)为偶函数，g(x)为偶函数，则 f八g(x),g(f(x)为偶函数 68)学 第三章函 数 3变式训练 P变式训练4 已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1, 若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a, 若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= b∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞， 例4若函数f(x)是定义在R上的奇函 4], 则该函数的解析式f(x)= 数，当x>0时，f(x)=x2-2x-1,求函数f(x) 数学文化 的解析式。 分析要注意f(0)=0,对于x<0时解 例我国著名数学家华罗庚曾说：“数 析式的求法，可以通过取具体的数去体会， 缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合 比如求f(-2),由具体到一般 百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习 和研究中，常用函数的图象来研究函数的性 质，也常用函数的解析式来研究函数图象的 特征.“北”字的甲骨文为个，其可抽象 出一个图象如图3-1-5所示，则其对应的函 数可能是( -101 图3-1-5 A./)- B.f(x)=- 1 x-1 C. D.fx)=,1 x2+1 分析通过函数解析式判断图象，第 看定义域，第二看特殊点，第三看对称 性，第四看单调性 学(69 N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时 函数奇偶性的应用 学习目标 变式训练1 1.能够利用奇偶性判断函数的单调性 已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递 2.能够利用函数的奇偶性，研究对称区： 增，则满足f(2x-1)<f(x+1)的x的取值范 间上函数的性质， 围是 3.能够将函数的奇偶性推广到一般函数 例2若定义在R上的奇函数f(x)在 的对称性来研究问题， (-0,0)上单调递减，且f(2)=0,则满 足xf(x-1)>0的x的取值范围是() 要点精析 A.[-1,1]U[3,+∞) B.[-3,-1]U[0,1] 要点1函数的奇偶性与单调性的综合 问题 C.[-1,0]U[1,+∞) D.[-1,0]U[1,3] 例1已知定义在(-1,1)上的函数 分析若偶函数f(x)在(0，+∞)上为 ) 增函数，则其在(-∞，0)上为减函数； (1)试判断f(x)的奇偶性及其在(-1,1) 若偶函数f(x)在(0，+∞)上为减函数， 上的单调性 则其在(-，0)上为增函数； (2)解不等式：ft-1)+f(2t)<0 若奇函数f(x)在(0，+∞)上为减函数， 分析奇函数f(x)如果在R上为增函 则其在(-∞，0)上为减函数； 数，则a+b>0等价于f(a)+fb)>0. 若奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数， 则其在(-∞，0)上为增函数 B变式训练② 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为减函 数，且f(-1)=0,则不等式fx)f-)<0 的解集为 要点2任意一个定义域关于原点对称的 函数怎么构造奇函数和偶函数 例3已知f(x)是定义在R上的函数， 设g(x)=fx)±f-x,h(x)=fx)f-x) (70)学 第三章函 (1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性 (2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系. 变式训练3 (3)由此你能猜想出什么结论？ 已知偶函数f(x)和奇函数g(x)均定义 分析任意一个定义域关于原点对称 的函数都可以构造成一个奇函数和一个偶 在R上，且满足x)tg)=3-华+5，则 函数之和 f-1)+g(3)= 点3一般的中心对称函数和轴对称 函数 例4 设函数f(x)=1x 则下列函数中 1+x 为奇函数的是( A.fx-1)-1 B.f(x-1)+1 C.fx+1)-1 D.f(x+1)+1 分析 (1)函数f(x)关于x=a对称等 价于f(a+x)=f(a-x)[或f(2a+x)=f(-x)或 f2a-x)=f(x),其实都是一个意思]，特殊 地，当a=0时，f代x)为偶函数 函数f(x)与函数f(x+a)有如下关系： f(a+x)是偶函数←一f代a+x)关于x=0对称 a>0,左移动a个单位长度 a<0,左移动ladl个单位长度 f(a+x)=f(a-x)一f(x)关于x=a对称 (2)函数f(x)关于(a,b)对称等价 于f(a+x)+f(a-x)=2b[或f2a+x)+f(-x)=2b 或f2a-x)+f(x)=2b,其实都是一个意思]， 特殊地，当a=b=0时，f(x)为奇函数. 函数f(x)与函数f(x+a)有如下关系： f(a+x)是奇函数→f(a叶x)关于(0,0)对称 a心0，左移动a个单位长度 a<0,左移动1d个单位长度 f(a+x)=f(a-x)→f(x)关于(a,0)对称 学 N 高中数学必修第一册人教B版 反思感悟 数学文化 在给出的函数关系式中，当自变量的 例德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,. 和为定值时，可以考虑函数是否具有对 称性 1805一1859)在数学领域成就显著.19世 纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”： ⑧变式训练④ y=f(x)= 1,x∈0， 其中R为实数集，Q *已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有 0,x∈RQ, 为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命 f3++分--2成立，则f日+8 题：①f(f(x))=0;②函数f(x)是偶函数； ③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x) 对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x, f(x),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3)),使得 △ABC为等边三角形.其中真命题的个数 是() A.1B.2C.3D.4 (72)学N 高中数学必修第一册人教B版 fx)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5). 令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4，.f(t)=-(t+3)(t-5)=16 (t-1)2≤16，故f(x)的最大值为16. 例4D【解析】由x<g(x)=x2-2,得x2-x-2>0,则x<-1 或x>2. 因此x≥g(x)=x2-2的解集为-1≤x≤2. 于是fx)= x2++2,x<-1或x>2, x2-x-2,-1≤x≤2 当x<-1或>2时，fx)>2. 当-1≤≤2时，2-2， 可得-}≤fx)≤0， 因此e)的值域是-是，0]U(2,+x, 故选D. 变式训练4B【解析】由题可得y=min(2x-1,-x+5}= 2x-1,x≤2， .当x=2时，ym=3.故选B -+5,>2, 例5ACD【解析】A选项，对于f(x+1),令t=+1,则 x=t-1e[-2,2),则te[-1,3),f(t),即f(x)的定 义域为[-1,3)，A选项正确；对于B,f(x)的定义域 为{x≠O,g(x)的定义域为R,不是同一个函数，B选 3≤行，即函 项不正确；对于C,+3≥3,0<1 数y=的值拔为0，兮]，C选项正确：对于D, 由2f(x)-f(-x)=x+1,可得2f(-x)-f(x)=-x+1,由 2fx)-f-x)=x+1, 12f(-x)-f(x)=-x+1. 可得f代x)=号+1，D选项正确.故选 ACD 数学文化 例B【解析】由高斯函数的定义，可得 当0≤x<1时，[x]=0,则x-[x]=x; 当1≤<2时，[x]=1,则x-[x]=x-1； 当2≤x<3时，[x]=2,则x-[x]=x-2: 当3≤x<4时，[x]=3,则x-[x]=x-3. 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示. 例题答图 46 观察可得函数有最小值0，没有最大值.故选B. 3.1.3函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 要点精析 例1解：(I)xeR,-xeR. 又f-x)=-x+1--x-1l =x-1-x+1l=-(Ix+1l-x-1l) =-f(x), f(x)为奇函数. (2):函数f(x)的定义域为-1,1)， 关于原点对称，且f(x)=0. .f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), .f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)fx)的定义域为(-0,1)U(1,+∞)，不关于原点 对称， f(x)为非奇非偶函数， (4)fx)的定义域是(-0,0)U(0,+0),关于原点对 称 当x>0时，-x<0,f孔-x)=1-(-x)=1+fx); 当x<0时，-x>0,f-x)=1+(-x)=1-=寸fx). 综上可知，对于x∈(-∞，0)U(0,+∞)，都有f(-x)= f(x),·f(x)为偶函数 变式训练1ACD【解析】对于A,定义域为(-，0)U ao)2 =-f(x),f(x)是奇函数，故A正确；由1-x2≥0，lx+ 2-2≠0，得-1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称， g写平，满是8a 故g(x)是奇函数，故B错误；：F(-x)=f(-x)f(x)=F(x), 故C正确；h(x)的定义域为(-2,2}，且h(x)=0, h(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确.故选ACD. 例2解：(1)由题意，作出函数fx)图象如图所示. 2个2 111-1i17 例2答图 (2)据图可知，单调递增区间为(-1,0)，(1，+∞). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0) U(0,2) 变式训练2C【解析】由f(x)是R上的偶函数，g(x) 是R上的奇函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f-x) ·g(-x)=-f(x)g(x),∴.函数f(x)g(x)为奇函数，其图象 关于原点对称，A,B错误；由图象，可得当x>0时， f(x)>0,g(x)>0,.f(x)g(x)>0,D错误.故选C 例3()号0【解析】：偶函数的定义域关于原点 对称，-1-24，解得了 又~函数e)写+bx+b+1为二次函数，结合偶函 数图象的特点，易得b=0 (2)解：f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数， 0-0,即00.b-0 1 2a2 又} 4 变式训练3-1【解析】y=f(x)+2是奇函数，f(-x) +(-x)2=-[f(x)+x2],f(x)+f-x)+2x2=0,f(1)+f(-1)+ 2=0.f1)=1,f-1)=-3.g(x)=fx)+2,g(-1)=f-1)+ 2=-3+2=-1. 例4解：当x<0时，->0， f-x)=(-x)2-2(-x)-1=x242x-1, 函数fx)是奇函数，f(x)=f-x), x<0时，fx)=-x2-2x+1, x2-2c-1,x>0, 故fx)=0,x=0, -x2-2x+1,x<0. 变式训练4-22+4【解析】fx)=(x+a)(b.x+2a)=bx2+(2a+ ab)x+2d是偶函数，图象关于y轴对称，值域为(-o, 4],.2a+ab=0,b<0,2d=4,.fx)=-2x2+4. 数学文化 例B【解析】首先该函数是偶函数，排除A,其次该 函数x≠±1，排除D,最后该函数过点(0,1)，排除 C.故选B. 第2课时函数奇偶性的应用 要点精析 例1解：))本 .任取xe(-1,1),则-x∈(-1,1)， -帝 故)幸为奇函数 参考答案。 任取，x2∈(-1,1)且x<, f-杂备 3光1 =(+1)-x(+1) (x+1)(x+1) =（-x)(1-x2) (x+1)(x+1） x2-x>0,1-x>0,且分母xi+1>0,+1>0, .f(x2)>f(x), 故)幸在(-山，1D上为增函数 (2).·定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数， 由ft-1)+f2t)<0,得ft-1)<-f(2t)=f(-2t). 0<t<2, -1<t-1<1. -<行·解得0cK行 1 .有{-1<-2t<1,即 t-1<-2t, 故不等式f1-1)+2)<0的解架为40<兮} 变式训练1(0,2)【解析】2x-1和x+1的取值不 确定，而已知条件中f(x)在[0，+∞)上单调递增，. 将2x-1和x+1取绝对值，这样就转化到同一个单调递 增区间[0，+∞)，即2x-1<x+1l→12x-1P<x+1P→x2-2x< 0→0K<2. 例2D【解析】f(x)是定义在上的奇函数， f(x)图象关于原点(0,0)对称， .f(x-1)图象关于点（1,0)对称. 又f(x)在(-∞，0)上单调递减 :f(x-1)在(-0,1)上单调递减， 且fx-1)在(1，+∞)上也单调递减. 又f2)=0,∴y=fx)图象过点(2,0). y=f(x)是奇函数，f(-2)=-f2)=0, y=f(x)图象过点(-2,0)， y=f-1)图象过点(-1,0)和(3,0). 画出yf(x-1)的示意图. 例2答图 当-1≤x≤0时，f(x-1)≤0，：fx-1)≥0： 当1≤x≤3时，fx-1)≥0，f(x-1)≥0. 综上，满足f(x-1)≥0的x的取值为[-1,0]U 47 N 高中数学必修第一册人教B版 [1,3].故选D. 变式训练2(-1,0)U(1,+∞)【解析】fx)是偶函 数，且f(-1)=0,.f1)=f(-1)=0.又f(x)在(0，+) 上是减函数，∴f(x)在(-o,0)上是增函数. ①当>0时，由f)+-<0,得fx)<0,又由于 f(x)在(0，+∞）上为减函数，且f(1)=0,∴f(x)f(1), 得>1. ②当x<0时，由fx)=0,得fx>0,又-1) 0,fx)在(-0,0)上是增函数，fx)>f-1),.-1< x<0.综上所述，不等式解集为(-1,0)U(1,+∞). 例3解：(1)g(-x)=-=g(x), 2 h(-x)=fx=-h(x),g(x)是偶函数，h(x) 2 是奇函数， (2)g(x)+h(x)-R(x)f))-f()fx). 2 (3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这 个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 变式训练3号【解析】x)+g)3之华+5，① -x)g-w)345 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， x)gx)-3+40+5,② 联立①②，解得fx)=3+5,gx)=- x2+9 f-1)+g(3)=3(-1)245-4x3=22 32+93 例4B【解析】由题意，可得x)=-1+x,对 1+x 于A,fx-1)-12-2不是奇函数：对于B,fx-1)+1 是是奇函数：对于C,f+1-1石22，定义域不关于 原点对称，不是奇函数：对于D,儿+1+1子2定义 域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. 变式训练42【解析】2+x)+2=2,即自变量 分++分1时，232，面g+冬 1,g8-2 数学文化 例C【解析】当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数 48 时，fx)=0..当x为有理数时，ff(x)=f1)=1;当x为 无理数时，ff(x)=f(0)=1,无论x是有理数还是无理 数，均有ff(x)=1,故①不正确.有理数的相反数还 是有理数，无理数的相反数还是无理数，.对任意龙∈ R,都有f(-x)=一f(x),故②正确.当T∈Q时，若x是有 理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是 无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理 数T,f(x+T)=f(x)对xeR恒成立，故③正确.取= ,0,,0.1,f-0, 45,0,B0.10,c-Y写，0.△ABc拾好 为等边三角形，故④正确.故选C. >"3.2函数与方程、不等式之间的 关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点 及其与对应方程、不等式解集之间的关系 要点精析 例1解：(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, .函数fx)存在零点，且零点为-2. (2)令-)，4+3)=0，解得=l, x-3 .函数f代x)存在零点，且零点为1. 变式训练1解：(1)当m=4时，x+4=4,得到± 4x+4-0,方程有两个根x=+2,故零点个数为2.(2)f(x)= n4有四个零点，即4nm0有四个根，40，解得 m<4且m≠0.或者画函数g(x)=x+m的图象进行分析 例2解：(1)△=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为 =-3,2,作出函数)=2+5x-3的图象，如图1所 示.由图可得原不等式的解集为x-3<K号】 图1 图2 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，△=12>0，解方