2.2.2 不等式的解集-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 2.2.2 不 学习目标 1.理解不等式解集的概念，并能用集合 表示不等式（组）的解集 2.掌握绝对值不等式的解法。 3.理解绝对值概念的几何意义，并利用 几何意义推导数轴上两点间距离公式和中点 坐标公式. 4.在解不等式的过程中，体会化归与转 化、数形结合的思想方法，发展数学运算 直观想象和逻辑推理等数学素养. 要点精析 要点1不等式的解集与不等式组的 解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称 为不等式的解集.对于由若干个不等式联立 得到的不等式组来说，这些不等式的解集的 交集称为不等式组的解集， 例1解不等式组，并把解集在数轴上 表示出来 2x+3>1, x-x+1>1 (1) (2) 22 x-2<0. x+8<4x-1. 分析 分别求出各不等式的解集，再 求出各个解集的交集，并在数轴上表示出 来即可 36)学 等式的解集 B变式训练① 5x-3<3x+5, 不等式组 的解集为{xx< x<a 4},则a满足的条件是() A.a<4 B.a=4 C.a≤4 D.a≥4 川要点2绝对值不等式 含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. 例2解下列不等式. (1)2x+51<7. (2)12x+5>7+x. (3)2≤x-21≤4. 反思感悟 形如lax+b1≤c(c>0)和lax+b|≥c(c> 0)型的不等式，均可采用等价转化法进行 求解，即 lax+bl≤c台-c≤ax+b≤c, lax+bl≥c台ax+b≤-c或ax+b≥c. ⑧变式训练② 不等式2<2x+3引≤4的解集为() 2 2 n子-或≤分 2 例3解下列不等式 (1)x-1>2x-3引. (2)x-1l+lx-2>2. 反思感悟 形如lx-al±lx-bl≤c和lx-al±lx-b1≥c的 不等式在求解时有三种方法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意 义求解，这种方法体现了数形结合的思想， 是解绝对值不等式最简单的方法 方法二：令每个绝对值符号里的一次 式为0，求出相应的根，把这些根由小到 大排序，它们把数轴分为若干个区间，然 后利用区间分段讨论法去掉绝对值符号进 行求解，这种方法体现了分类讨论的思想， 是解绝对值不等式最常用的方法】 方法三：构造函数法，利用函数图象 求解， 第二章等式与不等式。 B变式训练3 解不等式：x+1-x-3引<3. 川要点3数轴上两点间的距离及中点坐 标公式 1.距离公式：一般地，如果实数a, b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a), B(b),则线段AB的长为la-bL. 2.中点坐标公式：A(a),B(b),线段AB 的中点M对应的数为x,则x=+b 例4设数轴上点A与数3对应，点B 与数x对应，已知线段AB的中点到原点的 距离不大于5，求x的取值范围. 学(37 N 高中数学必修第一册人教B版 B变式训练④ 已知数轴上点P与-8对应，点Q与m 对应，点R与2对应，若PQ中点到线段 PR中点的距离大于1，求实数m的取值 范围 例5已知数轴上的三点A,B,P的坐 标分别为A(-1),B(3),P(x). (1)点P到A,B两点的距离都是2时， 求P(x).此时P与线段AB是什么关系？ (2)在线段AB上是否存在一点P(x), 使得P到A和B的距离都是3？若存在，求 P(x);若不存在，请说明理由. 分析根据数轴上两点间的距离公式 及中点坐标公式求解」 (38)学 变式训练⑤ 已知集合M={AId(A,B)<3,B(2),A为 数轴上的点}，集合N={Ald(A,B)≤3，B(2), A为数轴上的点}，则集合M与N的关系为 数学文化 例有一支队伍长Lm,以速度v匀速 前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头， 到达排头后立即返回，往返速度不变.如果 传令兵回到排尾时，全队正好前进了Lm, 求传令兵行走的路程. 分析由题中条件，设传令兵的行进 速度为v',则可表达出往返所用时间.N 高中数学必修第一册人教B版 则销售量减少10(x-10)件 因此，每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元， 则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式 (x-8)[100-10(x-10)]≥300 变式训练1C【解析】收人x应满足x≤20O0,故A 错误；x,y应满足x<y,故B错误；变量x至少是a, 即x可取到的最小值为a,故x≥a,故C正确；变量y 不超过a,即y可取到的最大值为a,故y与a的关系可 表示为y≤a,故D错误.故选C 例2解：设租用大卡车x辆、农用车y辆.根据题意 两种车应满足如下的不等关系： (1)两种车辆的总载质量应该不低于100t; (2)运输成本之和不超过10000元： (3)大卡车不能超过10辆； (4)农用车不能超过20辆： (5)x∈N,y∈N. 可以用下面的不等式组来表示以上不等关系： 8x+2.5y≥100. 960x+360y≤10000 0≤x≤10，x∈N 0≤y≤20，yeN, 16x+5y≥200， 即24+9y≤250. 0≤x≤10，x∈N 0≤y≤20，yeN. 例3解：(1).(x+3)(x-5)-(x+2)(x-4)》 =(x2-2x-15)-(x2-2x-8)》 =-7<0. .(x+3)(x-5)<(x+2)(x-4) (2)(a+b3)-(a2+ab2) =3+b3-d2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b） =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), .a心0，b>0且a≠b,∴.(a-b)20,a+b>0, ..(d+b3)-(2b+ab2)>0,即d+b2b+ab2 变式训练2B【解析】M-N=(x+y41)-2(x+y-1)=(x-140- 1)2+1>0,.N.故选B. 例4(1)②④【解析】c2≥0，.只有c≠0时才成 立，①不正确； a<b<0→a>ab,a<b<0→ab>b2,.②正确： 若0>a>b,则2<2，如-1>-2， 但（-1)2<(-2)2，③不正确： 34 a<b<0,.-a>-b>0, .(-a)>(-b)2,即>b2 又0，沾0，bb ab ab' 公>合，④正确 故正确命题的序号是②④. (2)证明：①.a+2b+3c=0,心b>c,c<0,心0. b,eo6e>0.。 又0.2> ②.a>b,.a-b>0. 又a>c,∴a(a-b)>c(a-b), 即a2-ab>ac-bc,整理，得a2+bc>ac+ab, 即ad2+bc>a(b+c). c<d<0=cd>0 变式训练3D【解析】方法一： c<d<0 -1>-10 <0与1<1<0d a-b4<b a>b>0 --4> 方法二：取a=2,b=1,c=-2,d=-1. 代人验证，ABC均错，只有D正确 例5解：1<a<4,2<b<8, .2<2a<8,6<3b<24,.8<2a+3b<32. .2<b<8,.-8<-b<-2. 又1<a<4,.1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故8<2a+3b<32,-7<a-b<2. 变式训练4A【解析】由-1<a<1,-1<B<1,得-1<1， -2<a-B<2.又a<3,-2<aB<0.故选A 数学文化 例带【解析】<易 63 第一次使用“调日法”可得近似分数为113+63 36+20 176_22≈3.1429， 567 ·第二次使用“调日法”可得近似分数为113+22 36+7 器 2.2.2不等式的解集 要点精析 例1解：(1)解不等式2x+3>1,得>-1， 解不等式x-2<0,得x<2, 则不等式组的解集为{xl-1<<2. 将解集表示在数轴上如图1. 0 图1 (2解不等式x号>分，得2。 解不等式x+8<4-1,得>3， 则不等式组的解集为{x>3}, 将不等式组的解集表示在数轴上如图2. -1012345 图2 例1答图 变式训练1D【解析】解不等式组，得， x<4, I5x-3<3x+5, 的解集为x<4,.a≥4.故选D. lx<a 例2解：(1)原不等式台-7<2x+5<7. .∴.-12<2x<2,.-6<<1, .原不等式的解集为(-6,1) (2)由不等式2x+5>7+x, 可得2+5>7+x或2+5<-(7+x), .x>2或x<-4 .原不等式的解集为(-∞，4)U(2,+∞). 「lx-21≥2，① (3)原不等式等价于-21≤4.② 由①，得x-2≤-2或x-2≥2， .x≤0或x≥4. 由②，得-4≤x-2≤4」 .-2≤x≤6. .原不等式的解集为[-2,0]U[4,6]. 变式训练2C【解析】由2<2x+31≤4，可得2<2x+3≤4 或-4≤2+3<-2，解得-7<x≤}或-子≤<-月放 选C 例3解：(1)-1>2x-3引>0， .(x-1)2>(2x-3)2,即(2x-3)2-(x-1)2<0, ∴.(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0， 参考答案。 3x-4k0, 「30-4>0， 即(3x-4)(x-2)<0台 或 x-2>0 x-2<0 x>2 、4 或 23 0u号，2 x<2 即原不等式的解集为专，2小 (2)方法一：利用绝对值几何意义，x-1+lx-2>2 表示数轴上的点x到1和2的距离和大于2，∴点x应 在线段AB的延长线上又M-1,K号或o A B 0 12 图1 x≤1， 方法二：分类讨论.原不等式一 或 1-x+2-x>2 1<x<2, x≥2， x≤1， 或 1<<2,或 x-1+2-x>2 xl1+-22台 或-1>0 x≥2， 原不等式的解集为-0，U各，+ 方法三：函数思想 3-2x,x<1, 令y=lx-1l+lx-2l=1,1≤x≤2， 2x-3,x>2, 画出y=x-1l+x-21图象，如图2所示. 0123 图2 例3答图 若2x-3=2.求出=号 35 N 高中数学必修第一册人教B版 若3-22，求出=号 满足--22的x值为-之，号U(子+0 x≤-1， 变式训练3解：原不等式台 或 -(x+1)+(x-3)<3 x≥3， -1<x<3, -1<x<3, x≤-1， 或 x+1+x-3<3 +I-(-3)3ER 或5 或 2 x≥3， x∈O 台<多原不等式的解集为<多引 例4解：AB的中点对应的数为3+ 2 由题意，可知3空≤5， 即I3+x≤10，因此-10≤3+x≤10， .∴.-13≤x≤7，因此x的取值范围是[-13,7] 变式训练4解：由短意，可划821，即 受11，受-1>1或受-1<-1，解得m4或m<0 实数m的取值范围是(-0,0)U(4,+∞). x+1=2, 例5解：(1)由题意，知 +1l=2, 可以化为 e-31=2, x-3=2 或+1=2，或 +l=-2或 x+1=-2, 解得x=1 x-3=-2x-3=-2x-3=2, .点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点. (2)不存在这样的P(x),理由如下： .AB=3-(-1)=4<6, ∴.在线段AB上找一点P,使IPA+HPBI=3+3=6是不 可能的. 变式训练5MN【解析】由已知，得M=(-1,5), N=[-1,5],故MN. 数学文化 例解：设传令兵的行进速度为'，则传令兵从排尾到 排头所需时问为名，从排头到排尾所需时问为本。 。一。+，十，往返所走路程为.由传 往返共用时间t=L+ L 令兵回到排尾时全队正好前进了L,则L=vt,故t(2 v2)=2'L, (2-v2)=2tm'L,.(tw')2-2L(tm'）-L2=0. 解以't为变量的一元二次方程，有't=(1+V2)L 即传令兵行走的路程为(1+V2)L. 36 2.2.3一元二次不等式的解法 要点精析 例1解：（0如图1，方程2-3-20的解是=子 x2=2, 图1 函数是开口向上的抛物线， 小不等式的解架是<子或2 (2)如图2，不等式可化为32-6x+2<0. 图2 ·.3x2-6x+2=0的判别式△=36-4x3x2=12>0. .方程3x2-6x+2-0的解是x=1-Y3,1+Y3 3 3 函数)=3x2-6x+2是开口向上的抛物线 不等式的解集是x1-Y3<1+Y3 3 3 （3)方程4-4+1-0的解是=子，函数)=4 4x+1的图象是如图3所示的开口向上的抛物线， 原不等式的解集是小x子}】 图3 图4 例1答图