专题5：多位数乘一位数（思维拓展）人教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 5：多位数乘一位数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：口算乘法与算理 3 考点二：笔算乘法与进位规则 4 考点三：因数中间、末尾有 0 的乘法 6 考点四：乘法估算与决策问题 7 考点五：实际问题与方案优化 8 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：笔算乘法忘记加进位数 10 易错点 2：因数中间有 0 漏乘 10 易错点 3：末尾有 0 漏写 0 10 易错点 4：估算方向错误 10 易错点 5：归一问题数量关系颠倒 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版三年级上册第四单元核心内容，以 “口算算理→笔算进阶→特殊因数→估算应用→问题解决” 为主线，系统覆盖整十整百数口算乘法、多位数乘一位数笔算进位、因数中间与末尾有 0 的乘法、乘法估算、乘除两步实际问题五大核心模块，渗透算理迁移、有序运算、推理估算、优化决策等核心数学素养。 专题遵循 “整十数口算→两位数乘一位数→笔算进位→连续进位→中间有 0→末尾有 0→估算解决问题” 的教材认知路径，结合教材原生情境深化理解 “先分后合、满几十进几” 的笔算算理；熟练掌握多位数乘一位数的口算、笔算方法，能正确处理因数中间、末尾有 0 的乘法，能用估算解决 “够不够” 类问题，能解决归一、归总两步实际问题，并延伸错中求解、乘法竖式谜、积的规律、方案优化等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续多位数乘两位数、运算律学习筑牢思维基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 口算乘法 整十、整百、整千数乘一位数；两位数乘一位数口算；算理理解 拆分法、添 0 法 漏写末尾的 0，算理混淆 特殊因数乘法 因数中间有 0 的乘法；因数末尾有 0 的乘法 简便竖式法、0 占位法 中间有 0 漏乘，末尾有 0 多写 / 少写 0 乘法估算 往大估、往小估；判断够不够类问题 极值估算法、对比验证法 估算方向错误，导致判断相反 实际应用 归一问题、归总问题；方案优化问题 分步建模法、方案对比法 数量关系弄反，单位不统一 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 拆分口算法 两位数乘一位数口算 ①把两位数拆成整十数和个位数；②分别乘一位数；③积相加 拆数分乘，再求和 进位笔算法 多位数乘一位数笔算 ①从个位乘起；②满几十进几；③加上进位数 从个位，依次乘，满几十，就进几 简便竖式法 末尾有 0 的乘法 ①把 0 前面的数对齐；②先算非 0 部分；③补 0 末尾 0，放一边，先算数，再补 0 极值估算法 判断够不够问题 ①往大估或往小估；②计算估算结果；③对比判断 估大够，实际够；估小不够，实际不够 逆推还原法 错中求解问题 ①根据错误结果倒推；②还原正确算式；③计算正确结果 看错数，先还原，再计算 三、数学思维提升 1. 迁移类推思维 核心要点：从表内乘法迁移到多位数乘一位数，把整十数看成几个十、整百数看成几个百，用已有的表内乘法知识解决新的计算问题，培养知识迁移能力。 专题示例：计算 20×3，把 20 看成 2 个十，2 个十乘 3 得 6 个十，就是 60，就是迁移类推思维的应用。 2. 有序运算思维 核心要点：笔算乘法从个位乘起，依次乘多位数的每一位，满几十向前一位进几，有序计算，标记进位，培养严谨有序的计算习惯。 专题示例：笔算 125×3，从个位 5×3 开始，再算十位 2×3 加进位，最后算百位 1×3 加进位，体现了有序运算思维。 3. 估算推理思维 核心要点：不需要精确计算时，通过往大估或往小估，快速判断结果的范围，解决 “够不够”“能不能” 类问题，培养估算意识与推理能力。 专题示例：判断带的钱够不够买门票，把人数往大估，算出来的钱都够，实际就一定够，就是估算推理思维的应用。 4. 优化决策思维 核心要点：购物、租车等问题存在多种方案，通过计算对比不同方案的结果，选择最优方案，培养优化决策与统筹规划能力。 专题示例：买东西有不同包装，选择最省钱的购买方案，就是优化思维的应用。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：口算乘法与算理 能力进阶（★★★）—— 口算算理与逆向推算 题目： 小明计算一道两位数乘 3 时，把两位数拆成整十数和个位数分别相乘，得到的结果分别是 120 和 15。这道题的正确结果是多少？这个两位数是多少？ 解题步骤： ① 分析口算算理：两位数乘一位数，把两位数拆成整十数和个位数，分别乘一位数，再把两个积相加，这是 “拆分法” 口算的核心原理。 ② 两个部分积相加就是总结果：； ③ 逆向推算两位数：整十部分乘 3 得 120，整十数是；个位部分乘 3 得 15，个位数是，合并得两位数是。 【答案】正确结果是 135，这个两位数是 45。 【知识点睛】本题考查两位数乘一位数的口算算理，对应教材口算乘法的核心知识点。解题核心：理解 “先拆分、再合并” 的口算逻辑，正向计算用拆分法，逆向推算用除法分别求部分再合并。这类题型能深化对乘法意义的理解，避免口算机械化。 思维拓展（★★★★）—— 积的规律探究 题目： 观察下面的算式，你发现了什么规律？不用计算，直接写出最后一道算式的结果。 ？ 解题步骤： ① 观察积的数字特征：99 乘几，积的百位比乘数少 1，十位都是 9，个位和乘数凑成 10。比如 99×2，百位 1、十位 9、个位 8，2+8=10。 ② 验证规律：。比如 99×3=300-3=297，99×4=400-4=396，完全符合。 ③ 应用规律计算：。 【答案】891 【知识点睛】本题考查 99 乘一位数的规律探究，属于经典奥数规律题。规律总结：99 乘一位数（1-9），积等于几百减几，即；也可以记忆为 “首位比 n 少 1，末位与 n 凑十，中间固定是 9”。这类规律探究题能培养观察归纳能力，也可以用来快速验算计算结果。 考点二：笔算乘法与进位规则 能力进阶（★★★）—— 连续进位笔算 题目： 动物园里有 156 只猴子，孔雀的数量是猴子的 3 倍。孔雀有多少只？用竖式计算。 解题步骤： ① 分析数量关系：求一个数的几倍是多少用乘法，列式。 ② 竖式计算，从个位乘起，满几十进几： · 个位：，个位写 8，向十位进 1； · 十位：，十位写 6，向百位进 1； · 百位：，百位写 4。 · ③ 最终结果：。 竖式书写： Plain Text 1 5 6 × 3 ------- 4 6 8 【答案】孔雀有 468 只。 【知识点睛】本题考查多位数乘一位数的连续进位笔算，对应教材笔算乘法的核心重难点。笔算规则：从个位乘起，用一位数依次乘多位数的每一位；哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几。注意事项：每一位相乘后，不要忘记加上进上来的数；进位标记要写在对应数位的右下角，避免遗漏或错加。 思维拓展（★★★★）—— 乘法竖式谜 题目： 在下面的竖式方框里填上合适的数字，使竖式成立。 Plain Text □ 3 □ × 5 ------- □ 7 0 解题步骤： ① 从个位突破：个位数字 ×5，积的末位是 0，说明个位数字可能是 0、2、4、6、8；且会产生进位，进位可能是 0、1、2、3、4。 ② 分析十位：十位上，加上个位的进位后，末位是 7。15 加进位末位为 7，说明进位是 2，因此个位数字 ×5=20，个位数字是 4。 ③ 推导百位：百位数字 ×5，加上十位的进位 1，结果是一位数（积是三位数）。若百位为 2，，积就成了四位数，不符合；因此百位只能是 1，，积的百位是 6。 ④ 整体验算：，完全符合竖式结构。 【答案】百位填 1，个位填 4，积的百位填 6，即。 【知识点睛】本题考查乘法竖式谜，属于经典奥数题型。解题方法：从低位到高位逐步分析，结合进位情况推理每个数位的数字。关键技巧：先确定能唯一确定的数位，再结合进位限制推导未知数位，最后一定要整体验算，确保符合所有数位要求。 考点三：因数中间、末尾有 0 的乘法 能力进阶（★★★）—— 末尾有 0 的简便计算 题目： 学校图书室买了 3 套科普丛书，每套 280 元。一共花了多少钱？用简便竖式计算。 解题步骤： ① 分析列式：求总价用 “单价 × 数量”，列式。 ② 简便竖式计算：把一位数和 280 末尾 0 前面的 8 对齐，先算，再看因数末尾共有 1 个 0，就在积的末尾添上 1 个 0。 ③ 结果：元。 简便竖式： Plain Text 2 8 0 × 3 ------- 8 4 0 【答案】一共花了 840 元。 【知识点睛】本题考查因数末尾有 0 的乘法简便计算，对应教材的核心考点。简便方法：计算末尾有 0 的乘法，可以先把 0 前面的数相乘，再看因数末尾一共有几个 0，就在积的末尾添上几个 0。竖式书写时，一位数和非 0 的末位对齐，计算更简便。注意：不要漏写末尾的 0，也不要多写 0。 思维拓展（★★★★）—— 中间有 0 的错中求解 题目： 小马虎计算一道三位数乘 4 时，把三位数十位上的 0 漏掉了，当成两位数计算，结果得到 328。正确的结果应该是多少？ 解题步骤： ① 求出看错后的两位数：乘法中积 ÷ 因数 = 另一个因数，所以看错的两位数是。 ② 还原正确的三位数：三位数十位上的 0 漏掉后变成了 82，说明原三位数的百位是 8、十位是 0、个位是 2，即正确的三位数是 802。 ③ 计算正确结果：。 【答案】正确的结果是 3208。 【知识点睛】本题是因数中间有 0 的错中求解问题，属于经典拓展奥数题型。解题核心：抓住不变的一位数乘数，先根据错误的积求出看错的因数，再根据题意还原出正确的多位数因数，最后计算正确的积。方法总结：错中求解乘除法，先通过逆运算还原错误因数，再按题意修正因数，最终计算正确结果。 考点四：乘法估算与决策问题 能力进阶（★★★）—— 估算判断够不够 题目： 学校组织 987 名学生去植物园参观，门票 8 元 / 人。带 8000 元买门票够吗？ 解题步骤： ① 分析题意：判断钱够不够，不需要精确计算，用估算即可快速判断。 ② 选择估算方向：要判断钱够不够，把人数往大估，估出来的总钱数都够，实际就一定够。把 987 看成 1000，元。 ③ 对比判断：因为，所以实际总票价一定小于 8000 元，带 8000 元够。 【答案】带 8000 元买门票够。 【知识点睛】本题考查乘法估算的实际应用，对应教材估算解决问题的核心题型。解题原则：判断钱够不够时，通常把数量往大估，遵循 “估大够，实际够” 的逻辑。注意：估算要根据问题选择合适的估算方向，不能随意估算，否则会导致判断错误。 思维拓展（★★★★）—— 极值估算与位数判断 题目： 三位数乘一位数，积最大是多少？最小是多少？积最多是几位数？最少是几位数？ 解题步骤： ① 求最大积：最大的三位数是 999，最大的一位数是 9，积最大为。 ② 求最小积：最小的三位数是 100，最小的一位数是 1，积最小为。 ③ 判断位数：最大的积 8991 是四位数，最小的积 100 是三位数，因此积最多是四位数，最少是三位数。 【答案】积最大是 8991，最小是 100；最多四位数，最少三位数。 【知识点睛】本题考查极值估算与位数判断，属于拓展奥数题型。解题关键：找最大积用最大的多位数乘最大的一位数，找最小积用最小的多位数乘最小的一位数。规律总结：三位数乘一位数，积可能是三位数也可能是四位数；也可以通过首位判断：首位相乘满十，积就是四位数，不满十就是三位数。 考点五：实际问题与方案优化 能力进阶（★★★）—— 归一问题 题目： 小丽买 3 支钢笔花了 24 元。照这样计算，买 7 支同样的钢笔需要多少钱？ 解题步骤： ① 先求单一量：“照这样计算” 说明单价不变，先算每支钢笔的价格，元。 ② 再求总量：单价 × 数量 = 总价，元。 ③ 列综合算式验证：元。 【答案】买 7 支需要 56 元。 【知识点睛】本题考查归一问题，是本单元典型的乘除两步实际问题。解题思路：先求出一份的数量（单一量），再用单一量乘对应份数求出总量。关键特征：题目中出现 “照这样计算”，说明单一量不变。 思维拓展（★★★★）—— 购买方案优化 题目： 超市里的酸奶有两种包装：大箱 8 瓶，每箱 24 元；小箱 6 瓶，每箱 20 元。班级买 40 瓶酸奶，怎样买最省钱？ 解题步骤： ① 先算单价对比：大箱每瓶元，小箱每瓶元，大箱单价更低，优先买大箱。 ② 枚举所有可行方案： 方案一：5 箱大箱，共瓶，正好满足，总费用元； 方案二：4 箱大箱 + 2 箱小箱，共瓶，总费用元； 方案三：3 箱大箱 + 3 箱小箱，共瓶，总费用元； ③ 对比费用：，买 5 箱大箱最省钱。 【答案】买 5 箱大箱最省钱。 【知识点睛】本题是购买方案优化问题，属于奥数应用题型。解题原则：优先买单价低的包装，尽量买整箱且数量刚好满足时最省钱。注意：要把所有可行的方案都枚举出来，通过计算对比确定最优，不能只凭感觉判断。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：笔算乘法忘记加进位数 错误示例：计算，个位，十位直接算，结果得 64，忘记加个位进的 2。 正确分析：哪一位相乘满几十，就要向前一位进几，下一位相乘后必须加上进上来的数。 修正方法：计算时用小数字标记进位，每算完一位先加进位，再写得数。 易错点 2：因数中间有 0 漏乘 错误示例：计算，直接算，跳过了中间 0 的乘法。 正确分析：因数中间的 0 也要乘，0 乘任何数都得 0，有进位时还要加上进位。 修正方法：从个位起依次乘每一位，中间的 0 不能跳过，0 乘几得 0，有进位加进位。 易错点 3：末尾有 0 漏写 0 错误示例：计算，先算，忘记补末尾的 0，结果得 100。 正确分析：因数末尾有几个 0，积的末尾至少有几个 0，计算完非 0 部分后，要把末尾的 0 都补上。 修正方法：算完后检查因数末尾 0 的个数，积的末尾至少添同样多的 0。 易错点 4：估算方向错误 错误示例：判断带的钱够不够，把人数往小估，估算的钱够，就认为实际够。 正确分析：判断够不够，要根据问题选择估算方向。判断钱够不够，要往大估，估大都够才真的够；判断能不能运完，要往小估，估小都能运完才真的能。 修正方法：先想清楚 “估大了都够→实际够”“估小了都不够→实际不够” 的逻辑，再选估算方向。 易错点 5：归一问题数量关系颠倒 错误示例：3 支笔 24 元，买 7 支多少钱，错误列式，数量关系弄反。 正确分析：先求单价，用总价 ÷ 数量 = 单价，再乘新的数量。 修正方法：读题先找单一量，先除后乘是归一，先乘后除是归总。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 要求：计算类题目能简算的用简便竖式，应用类题目列综合算式解答。 1. 口算： 2. 竖式计算： 3. 用简便竖式计算： 4. 一个看台有 108 个座位，8 个看台一共有多少个座位？ 5. 同学们做纸花，4 人做了 32 朵。照这样计算，9 人可以做多少朵？ 6. 估算：296×8≈ 512×7≈ 7. 判断：一辆载重 2 吨的货车，装 6 台 280 千克的机器，超载了吗？ 8. 学校买了 4 箱粉笔，每箱 25 盒，每盒 2 元。一共花了多少钱？ 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 要求：写出必要的解题过程。 9. 小马虎计算一道两位数乘 5 时，把两位数个位和十位看反了，结果得 135。正确的结果是多少？ 10. 在下面的竖式方框里填上合适的数字，使竖式成立。 □ 2 □ × 4 ------- □ 8 4 11. 观察规律，直接写出结果。 ？ 12. 三年级 210 名师生去秋游，大车限坐 30 人，租金 150 元；小车限坐 20 人，租金 120 元。怎样租车最省钱？ 13. 一根绳子对折 3 次后，每段长 125 厘米。这根绳子原来长多少米？ 14. 把 1、2、3、4 填入下面的方框，使乘积最大，应该怎么填？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】100；900；9000 解题步骤： ① ； ② ，先算，末尾添 1 个 0，得 900； ③ ，先算，末尾添 3 个 0，得 9000。 【知识点睛】本题考查多位数乘一位数的口算，巩固末尾有 0 的口算方法：先算非 0 部分，再补对应个数的 0。 2. 【答案】890 解题步骤： ① 个位：，个位写 0，向十位进 4； ② 十位：，十位写 9，向百位进 3； ③ 百位：，百位写 8； 最终。 【知识点睛】本题考查连续进位的笔算乘法，注意每一位计算后都要加上进位数。 3. 【答案】2520 解题步骤： ① 简便竖式对齐方式：7 和 6 对齐，先算； ② 因数末尾有 1 个 0，在积的末尾添 1 个 0，得 2520。 【知识点睛】本题考查末尾有 0 的乘法简便计算，先算非 0 部分，再补 0，注意不要漏 0。 4. 【答案】一共有 864 个座位。 解题步骤： ① 总座位数 = 每个看台座位数 × 看台数，列式； ② 计算：个。 【知识点睛】本题考查中间有 0 的乘法应用，注意中间的 0 也要参与乘法运算。 5. 【答案】9 人可以做 72 朵。 解题步骤： ① 先求每人做的朵数（单一量）：朵； ② 再算 9 人做的总朵数：朵； 综合算式：朵。 【知识点睛】本题考查归一问题，先求单一量，再求总量。 6. 【答案】2400；3500 解题步骤： ① ，把 296 看成 300，； ② ，把 512 看成 500，。 【知识点睛】本题考查乘法估算，把多位数看成接近的整十整百数再计算。 7. 【答案】没有超载。 解题步骤： ① 统一单位：2 吨 = 2000 千克； ② 估算验证：把 280 看成 300，千克，，往大估都没超载，实际更不会超载； ③ 精确计算验证：千克，，确实没超载。 【知识点睛】本题考查估算的实际应用，判断载重问题，往大估都没超，实际就没超。 8. 【答案】一共花了 200 元。 解题步骤： ① 先算总盒数：盒； ② 再算总价：元； 综合算式：元。 【知识点睛】本题考查连乘的实际应用，也可以先算每箱的价格，再算 4 箱总价。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的结果是 360。 解题步骤： ① 求出看错后的两位数：； ② 还原正确的两位数：个位和十位看反了，所以正确的两位数是 72； ③ 计算正确结果：。 【知识点睛】本题是乘法错中求解问题，先根据错误积求出看错的因数，还原后再计算正确的积。 10. 【答案】（或，答案不唯一） 解题步骤： ① 个位分析：□×4 末位是 4，可能是 1 或 6。 ② 十位分析：，加上个位进位后末位还是 8，说明个位没有进位，因此个位只能是 1（6×4=24 会进位，十位结果会变成 0，不符合）。 ③ 百位分析：百位 ×4 结果是一位数，所以百位可以是 1 或 2（1×4=4，2×4=8）。 ④ 验证：、，均符合竖式要求。 【知识点睛】本题考查乘法竖式谜，从个位开始，结合进位情况逐步推理，注意考虑所有可能的情况。 11. 【答案】99999 解题步骤： ① 观察规律：由几个 1 组成的数乘 9，积就是由几个 9 组成的数。 ② 11111 是 5 个 1，所以积就是 5 个 9，即 99999。 【知识点睛】本题考查算式规律探究，观察因数和积的数字特征，归纳规律后直接应用。 12. 【答案】租 7 辆大车最省钱。 解题步骤： ① 计算单价对比：大车每人元，小车每人元，大车更便宜，优先租大车。 ② 方案计算：辆，正好坐满无空位，总费用元。 ③ 对比其他混合方案，费用都高于全租大车，因此租 7 辆大车最省钱。 【知识点睛】本题是租车方案优化问题，当总人数正好坐满大车时，全租大车最省钱。 13. 【答案】这根绳子原来长 10 米。 解题步骤： ① 对折 3 次，一共折成段； ② 计算总长度：厘米； ③ 单位换算：1000 厘米 = 10 米。 【知识点睛】本题考查对折问题与乘法的结合，对折 n 次，段数就是 n 个 2 相乘。 14. 【答案】 解题步骤： ① 要使乘积最大，一位数要选最大的数字 4，剩下的 1、2、3 从大到小排列组成最大的三位数 321； ② 验证对比：，，，因此乘积最大。 【知识点睛】本题考查数字组合求最大乘积，规律：把最大的数字作为一位数，剩下的数字从大到小排列组成多位数，乘积最大。 1 学科网（北京）股份有限公司 $