湖北襄阳市第六中学2026-2027学年高三上学期数学周测8.29

**基本信息** 聚焦数学抽象与逻辑推理，融合新定义情境（如对偶互存集、阶聚合点集）与实际应用（养老调查、服装厂利润），覆盖集合、函数、几何等模块，适配周测巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算（2题）、函数性质（6题）|新定义辨析（1题）、充分必要条件判断（6题）| |多选题|3|不等式应用（9题）、函数单调性（10题）|多结论判断，考查逻辑推理（11题阶聚合点集）| |填空题|3|函数解析式（12题）、参数范围（13题）|抽象函数与不等式结合，强调数学运算| |解答题|6|立体几何距离与夹角（16题）、统计概率（17题）、导数证明（19题）|跨模块综合（16题空间向量应用）、实际建模（17题养老调查）、创新证明（19题对数平均数不等式）|

高中数学周测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列不是对偶互存集的是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知命题，，则（    ） A．是假命题，， B．是假命题，， C．是真命题，， D．是真命题，， 4．设集合，集合，集合，则的非空子集共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5．在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 6．已知函数，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7．.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量件与单价元之间的关系为，生产件所需成本为元，其中元，若要求每天获利不少于元，则日销售量的取值范围是       (    ) A. B. C. D. 8．已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 评卷人 得分 二、多选题 9．已知实数，满足，，则（   ） A． B． C．的最大值为15 D．的最小值为 10．已知函数(且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 11．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 评卷人 得分 三、填空题 12．若对于定义域内的任意实数都有，则___________ 13．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为______ 14．若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 评卷人 得分 四、解答题 15．的顶点，分别在矩形的边，上运动，且，，，记，的面积为． 写出的解析式； 求的最小值． 16．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.    (1)求直线到直线的距离； (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 17．中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)若显著性水平，是否有95%的把握能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中，． 18．已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 19．对于正实数，，我们熟知基本不等式：，其中为，的几何平均数，为，的算术平均数现定义，的对数平均数：． 设，求证：，并证明 若不等式对任意正实数，恒成立，求正实数的取值范围． 答案 1．C 【分析】根据“对偶互存集”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，为全体奇数构成的集合， 当为奇数时，也为奇数，故B正确； 对于C，，则， 但，故C错误； 对于D，，当时，，故D正确． 故选：C 2．C 【分析】化简集合得，，然后两集合取并集即可. 【详解】由， 可得，， 则. 故选：C 3．C 【分析】构造函数，结合导数与单调性及最值的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定形式判断即可. 【详解】 令，定义域为，求导得. 当时，，故，因此在上单调递增. 所以，即对任意，，也即恒成立， 故命题是真命题，A，B错误. 命题的否定为：，C正确，D错误. 4．设集合，集合，集合，则的非空子集共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集及集合的子集，根据题意先求得，进而利用交集的定义可得，从而即可求得结果． 【解答】 解：， 因此， 所以的非空子集共有个． 故选C． 5．D 【分析】由等差数列的性质可得，再利用“”的妙用求最小值. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：D. 6．已知函数，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，涉及对数函数和幂函数，属中档题，判定函数为奇函数，同时为单调增函数，然后， 【解答】 解：， 是奇函数， 也是奇函数，且显然在上是单调递增函数， 是上的单调递增的奇函数， 也是奇函数，且在上是单调增函数， 是上的单调递增的奇函数， ， 故选C． 7．.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量件与单价元之间的关系为，生产件所需成本为元，其中元，若要求每天获利不少于元，则日销售量的取值范围是       (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设该厂每天获得的利润为元，  则，，，  根据题意，可得，解得，  故当，且时，每天获得的利润不少于元． 8．已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题设，得， 同时当  时，方程为 ，根为  和 ， 导致原式分母  无意义，故需  且 ， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为． 故选：． 9．ABC 【分析】根据不等式的基本性质同向可加性可判断AB，把分别转化，再利用不等式的性质可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，又， 所以，即的最大值为15，故C正确； 因为，又， 所以，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10．BCD 【分析】对于A，代值计算即可判断；对于B，根据基本不等式求解即可；对于CD，根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，当时，， 则，故A错误； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则的值域为，故B正确； 对于C，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确. 【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】将已知等式中的x用代替，然后解方程组可得函数解析式. 【详解】由题意将已知等式中的x用代替可得：，解方程组得：， 故答案为：. 【点睛】本题考查利用解方程组的方法求函数解析式，属于基础题. 13． 【分析】解不等式求出其对应的集合，根据是的必要不充分条件，可得集合间的包含关系，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】解，其中，可得， 解，即，可得， 因为是的必要不充分条件， 又 ，则：或，， 则或， 所以或，解得 或， 故实数的取值范围为， 故答案为： 14． 【分析】根据分段函数解析式，由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当 时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当 时，，当且仅当 时等号成立； 若最小值为，可得， 即，解得： 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 15．的顶点，分别在矩形的边，上运动，且，，，记，的面积为． 写出的解析式； 求的最小值． 【答案】解：在中，，得， 在中，，得， 从而， 所以； 由， 设， 则， 因，得，从而， 所以， 当，取最大值，取最小值， 所以的最小值为．  16．(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到直线的距离； （2）利用向量法求得点到平面的距离； （3）通过法向量求两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，， 因为，所以， 所以直线到直线的距离等于点到的距离， ，， 所以，， 所以直线到直线的距离为.    （2），， 设平面的法向量为，则有， 令则，，故为平面的一个法向量， 又，，所以直线平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以点到平面的距离为， 故直线到平面的距离为. （3）易知，，设平面的法向量为， 则有，令则，， 故为平面的一个法向量， 平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．(1)， (2)没有95%的把握能认为居家养老与性别有关 (3) 【分析】（1）通过表格的行列加和关系补全列联表数据， （2）将列联表的数据代入卡方公式进行独立性检验即可求解， （3）利用超几何分布概率公式及组合数公式即可求出随机变量的分布列与数学期望. 【详解】（1）由题意得，解得， ，解得. （2）由题意得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 因此，没有的把握能认为居家养老与性别有关. （3）已知名单身男性老人中，有名“不居家养老”，名“居家养老”， 由题意得“不居家养老”的人数服从超几何分布，其可能的取值为， ，， ， 的分布列如下: . 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据题意寻找方程，求解基本量 （2）设直线方程，引入参数，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入斜率之和为零的等式中计算未知数的值即可 【详解】（1）由题意，得，解得， 故． 代入点，得，解得， 故． 由，得，故离心率. （2） 设直线的方程为，由题意可知存在且． 联立消去，得， 设， 则， 由韦达定理，得． 由已知，得， 所以． 整理得． 代入得． 解得，符合． 所以直线的方程为，即. 19．对于正实数，，我们熟知基本不等式：，其中为，的几何平均数，为，的算术平均数现定义，的对数平均数：． 设，求证：，并证明 若不等式对任意正实数，恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】证明：令， 则， ，得在上单调递减， 又，故当时，， 因此，当时，， 即 ． 要证， 只要证， 只要证， 即证， 令， 由有，即得， 因此，， 所以得证． 解：由恒成立， 得恒成立， 即得恒成立， 令， 有恒成立， 得恒成立， 恒成立， 令， 有， 又， 当，即时， 方程有一根大于，一根小于， 可得在上单调递增，故有，不符合； 当时，有， ，从而在上单调递减， 故当时，恒有，符合． 综上所述，正实数的取值范围为，  学科网（北京）股份有限公司 $